2．1　认识实数导学案 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

第二章实数2．1认识实数学习目标【知识与技能】1．通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。2．能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。3．了解实数的意义，会对实数进行分类，了解实数范围内绝对值、倒数和相反数的意义。【过程与方法】1．亲自动手实践，感受无理数存在的必要性和合理性，培养动手能力和合作精神。2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练思维判断能力。3．通过讲解及练习，正确理解实数的意义以及实数的分类。学习重难点【重点】1．感知生活中确实存在着不同于有理数的数。2．会判断一个数是否为有理数或无理数。3．理解实数的概念。【难点】1．把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。2．判断一个数是否为有理数。3．运用所学知识解决问题。学习过程一、创设情境，引入新课我们已经学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？二、学习新课1．拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。做法总结如下：(1)假设拼成的大正方形的边长为a，那么a应满足什么条件呢？分析：①a是正方形的边长，所以a肯定是正数。②因为两个小正方形的面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形的面积公式可知a2＝2。③由a2＝2可判断a应是1点几。……(2)前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？分析：①因为12＝1，22＝4，32＝9，…，可知整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数。②因为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，…，两个相同分数的乘积都为分数，所以a不可能是分数。因此在等式a2＝2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了。2．(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，那么b应满足什么条件呢？(3)b是有理数吗？先回忆一下勾股定理的内容。在直角三角形中，若两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则有a2＋b2＝c2。在这道题中，两条直角边长分别为1和2，斜边长为b，根据勾股定理得b2＝12＋22，即b2＝5，那么b是有理数吗？讨论①：因为22＝4，32＝9，22<b2<32，所以b在2，3之间，不可能是整数。讨论②：没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数。讨论③：因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数。3．面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？(1)如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由；(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索；(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？边长a面积S1<a<21<S<41.4<a<1.51.96<S<2.251.41<a<1.421.9881<S<2.01641.414<a<1.4151.999396<S<2.0022251.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449事实上，a＝1.41421356…是一个无限不循环小数。同样，对于体积为2的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长为1.25992105…，它也是一个无限不循环小数。把下列各数表示成小数：3，eq\f(4,5)，eq\f(5,9)，－eq\f(8,45)，eq\f(2,11)。通过计算，发现了什么？这些数可以用有限小数表示，或者可以用无限循环小数表示。事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。我们把无限不循环小数称为无理数。我们十分熟悉的圆周率π＝3.14159265…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数。还有如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是无理数。有理数和无理数统称实数。实数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数有限小数或无限循环小数,无理数无限不循环小数))像有理数一样，无理数也有正负之分。无理数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正无理数如：π，…,负无理数如：－π，…))由于非零有理数和无理数都有正、负之分，所以实数可以这样分类：实数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正有理数,正无理数)),0,负实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(负有理数,负无理数))))每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数也可以用数轴上的点来表示。4．阅读下列问题：(1)如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？解：因为这个圆的周长为π。所以点O′在数轴上对应的数是π。(2)如何在数轴上表示a，使a2＝2?解：如图所示。归纳：(1)每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，即数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数；(2)实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数；(3)在数轴上，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于倒数、相反数和绝对值的意义同样适合于实数。三、例题学习【例1】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－eq\f(4,3)，0.eq\o(57,\s\up6(··))，0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。解：有理数：3.14，－eq\f(4,3)，0.eq\o(57,\s\up6(··))；无理数：0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。【例2】把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)。eq\f(8,3)，－π，1.5，－1.7eq\o(3,\s\up6(·))。分析：对于π等无理数，可以取其适当的近似值，把它们近似地表示在数轴上，如取π≈3。解：把eq\f(8,3)，－π，1.5，－1.7eq\o(3,\s\up6(·))表示在数轴上，如图所示，所以－π<－1.7eq\o(3,\s\up6(·))<1.5<eq\f(8,3)。四、巩固练习1．填空：－π的相反数是____，0的相反数是____，π的倒数是____，|－π|＝____，|0|＝____。解：π0