2．3　二次根式导学案（3课时） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

2．3二次根式第1课时二次根式的定义与乘除运算学习目标【知识与技能】1．了解二次根式及最简二次根式的概念。2．会化简二次根式。3．会进行简单的二次根式乘除运算。【过程与方法】经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程，提高归纳概括能力和语言表达能力。学习重难点【重点】理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念，化简二次根式。【难点】二次根式的乘除运算。学习过程一、创设情境，引入新课1．什么叫作平方根？一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。2．什么叫作算术平方根？正数的正的平方根以及零的平方根，统称算术平方根。3．非负数a的算术平方根用eq\r(a)(a≥0)表示。一般地，例如eq\r(a)(a≥0)的式子，我们叫作二次根式。二、学习新课1．一般地，形如eq\r(a)(a≥0)的式子，叫作二次根式，a叫作被开方数。那么二次根式具有什么性质呢？请完成以下填空：eq\r(4×9)＝6，eq\r(4)×eq\r(9)＝6；eq\r(4×25)＝10，eq\r(4)×eq\r(25)＝10；eq\r(100×0.01)＝1，eq\r(100)×eq\r(0.01)＝1；eq\r(\f(9,16))＝eq\f(3,4)，eq\r(9)÷eq\r(16)＝eq\f(3,4)。2．根据上面的猜想，估计下列式子是否相等，再借助计算器验证。eq\r(\f(3,2))与eq\r(3)÷eq\r(2)。3．通过探究，我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质。即：(1)积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数)，即eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；(2)商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。(被除式必须是非负数，除式必须是正数)，即eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)。4．二次根式的乘除运算法则。eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b>0)。即将二次根式的性质等式左右两边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则。三、例题学习【例1】化简：(1)eq\r(81×64)；(2)eq\r(25×6)；(3)eq\r(\f(5,9))。解：(1)eq\r(81×64)＝eq\r(81)×eq\r(64)＝9×8＝72。(2)eq\r(25×6)＝eq\r(25)×eq\r(6)＝5eq\r(6)。(3)eq\r(\f(5,9))＝eq\f(\r(5),\r(9))＝eq\f(\r(5),3)。例1的化简结果5eq\r(6)，eq\f(\r(5),3)中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。【例2】化简：(1)eq\r(50)；(2)eq\r(\f(2,7))；(3)eq\f(1,\r(3))。解：(1)eq\r(50)＝eq\r(25×2)＝eq\r(25)×eq\r(2)＝5eq\r(2)。(2)eq\r(\f(2,7))＝eq\f(\r(2),\r(7))＝eq\f(\r(2)×\r(7),\r(7)×\r(7))＝eq\f(\r(14),7)。(3)eq\f(1,\r(3))＝eq\f(1×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)。小结：判断最简二次根式的方法：通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后，不含能开得尽方的因数或因式，即为最简二次根式。【例3】先化简，再求出下面算式的近似值(精确到0.01)。(1)eq\r(（－18）·（－24）)；(2)eq\r(1\f(1,49))；(3)eq\r(0.001×0.5)。解：(1)eq\r(（－18）·（－24）)＝eq\r(2×9×3×8)＝eq\r(24×33)＝eq\r(24)·eq\r(33)＝12eq\r(3)≈20.78。(2)eq\r(1\f(1,49))＝eq\r(\f(50,49))＝eq\f(\r(50),\r(49))＝eq\f(5,7)eq\r(2)≈1.01。(3)eq\r(0.001×0.5)＝eq\r(10－3×10－1×5)＝eq\r(（10－2）2×5)＝10－2×eq\r(5)＝0.01×eq\r(5)≈0.02。【例4】计算：(1)eq\r(1\f(1,3))×eq\r(\f(27,10))；(2)eq\f(2,\r(3))；(3)eq\f(\r(5.2×107),\r(1.3×109))。解：(1)eq\r(1\f(1,3))×eq\r(\f(27,10))＝eq\r(\f(4,3)×\f(27,10))＝eq\r(\f(4×9,10))＝eq\f(3,5)eq\r(10)。(2)eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2×\r(3),\r(3)×\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)。(3)eq\f(\r(5.2×107),\r(1.3×109))＝eq\r(\f(5.2×107,1.3×109))＝eq\r(\f(4,102))＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)。小结：二次根式的乘除运算的一般步骤：(1)运用法则，化归为根号内的实数运算；(2)完成根号内乘除运算；(3)化简二次根式。四、巩固练习1．计算：(1)eq\r(121×225)；(2)eq\r(42×7)；(3)eq\r(\f(5,9))。解：(1)165。(2)4eq\r(7)。(3)eq\f(\r(5),3)。2．化简：eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,13)))\s\up12(2))－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,13)))\s\up12(2))。解：原式＝eq\f(8,13)－eq\f(2,13)＝eq\f(6,13)。3．若b>0，x<0，化简：－eq\r(\f(b4,（－x）2))。解：原式＝－eq\f(\r(b4),\r(（－x）2))＝－eq\f(|b2|,|－x|)＝－eq\f(b2,－x)＝eq\f(b2,x)。第2课时二次根式的性质与加减运算学习目标【知识与技能】1．了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的。2．会进行简单的二次根式加减运算。【过程与方法】进一步了解数学知识之间是相互联系的。学习重难点【重点】二次根式的加减运算。【难点】熟练地进行二次根式的加减运算。学习过程一、创设情境，引入新课1．二次根式的性质：(1)(eq\r(a))2＝a(a≥0)；(2)eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)；(3)eq\r(a2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）；))(4)eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b>0)。2．想一想：你能计算吗？(1)eq\r(4)×eq\r(9)eq\r(4×9)；(2)eq\r(36)×eq\r(100)eq\r(36×100)。3．提出问题。(1)两列火车分别运煤2xt和3xt，问这两列火车共运煤多少吨？(2)两列火车分别运煤2xt和3yt，问这两列火车共运煤多少吨？这是以前学过的多项式加减法，同类项可以合并，想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗？4．请尝试计算以下几题。(1)3eq\r(2)＋4eq\r(2)；(2)eq\r(5)＋eq\r(2)；(3)eq\r(8)＋eq\r(18)＋4eq\r(2)。二、学习新课1．二次根式的加减运算法则。与合并同类项类似，我们可以把相同二次根式的项合并。2．下列计算结果哪些正确，哪些不正确？eq\r(3)＋eq\r(2)＝eq\r(5)；a＋eq\r(b)＝aeq\r(b)；eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\r(a－b)；aeq\r(a)＋beq\r(a)＝(a＋b)eq\r(a)；eq\f(1,3)eq\r(3a)－eq\f(1,2)eq\r(2a)＝eq\r(a)－eq\r(a)＝0。三、例题学习【例1】先化简，再求出近似值(精确到0.01)。eq\r(12)－eq\r(\f(1,3))－eq\r(1\f(1,3))。解：原式＝eq\r(22×3)－eq\r(\f(3,32))－eq\r(\f(4×3,32))＝2eq\r(3)－eq\f(1,3)eq\r(3)－eq\f(2,3)eq\r(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)－\f(2,3)))eq\r(3)＝eq\r(3)≈1.73。【例2】计算：(1)eq\r(\f(3,2))－eq\r(\f(2,3))；(2)eq\r(18)－eq\r(8)＋eq\r(\f(1,8))；(3)eq\r(\f(25,2))＋eq\r(99)－eq\r(18)。解：(1)eq\r(\f(3,2))－eq\r(\f(2,3))＝eq\r(\f(3×2,2×2))－eq\r(\f(2×3,3×3))＝eq\f(1,2)eq\r(6)－eq\f(1,3)eq\r(6)＝eq\f(1,6)eq\r(6)。(2)eq\r(18)－eq\r(8)＋eq\r(\f(1,8))＝eq\r(9×2)－eq\r(4×2)＋eq\r(\f(2,16))＝3eq\r(2)－2eq\r(2)＋eq\f(1,4)eq\r(2)＝eq\f(5,4)eq\r(2)。(3)eq\r(\f(25,2))＋eq\r(99)－eq\r(18)＝eq\r(\f(25×2,2×2))＋eq\r(99)－eq\r(9×2)＝eq\f(5,2)eq\r(2)＋eq\r(99)－3eq\r(2)＝－eq\f(1,2)eq\r(2)＋3eq\r(11)。第3课时二次根式的混合运算学习目标【知识与技能】1．巩固对二次根式的四则混合运算的掌握。2．进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算。【过程与方法】引导从特殊到一般，用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题。学习重难点【重点】进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算。【难点】熟练进行二次根式的四则混合运算。学习过程一、创设情景，引入新课1．二次根式的四则混合运算。二次根式既可以进行乘除运算，也可以进行加减运算。以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。2．说说下列算式的运算顺序，并计算出结果。(1)(eq\r(2)＋eq\r(3))×eq\r(2)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),7)＋\f(\r(5),8)))×56eq\r(2)；(3)eq\r(7)×eq\r(5)＋eq\r(14)×eq\r(3)。二、例题学习【例1】计算。(1)eq\r(27)－3eq\r(6)×eq\r(2)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(3,8))－3\r(3)))×eq\r(6)；(3)(eq\r(48)－eq\r(27))÷eq\r(3)。分析：(1)二次根式混合运算的运算次序：先乘除，后加减；(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用；(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简。解：(1)原式＝3eq\r(3)－6eq\r(3)＝－3eq\r(3)。(2)原式＝eq\r(\f(3,8))×eq\r(6)－3eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\r(\f(3,8)×6)－3eq\r(3×6)＝eq\f(3,2)－9eq\r(2)。(3)原式＝eq\r(48)÷eq\r(3)－eq\r(27)÷eq\r(3)＝eq\r(16)－eq\r(9)＝4－3＝1。【例2】计算：(1)3eq\r(2)×2eq\r(3)；(2)eq\r(12)×eq\r(3)－5；(3)(eq\r(5)＋1)2；(4)(eq\r(13)＋3)(eq\r(13)－3)；(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(12)－\r(\f(1,3))))×eq\r(3)；(6)eq\f(\r(8)＋\r(18),\r(2))。解：(1)3eq\r(2)×2eq\r(3)＝3×2×eq\r(2×3)＝6eq\r(6)。(2)eq\r(12)×eq\r(3)－5＝eq\r(12×3)－5＝6－5＝1。