2025年高考数学板块真题及答案

2025年高考数学板块真题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.[1,+∞)D.(-1,+∞)答案：B2.若复数z满足z²=i，则z的模长为A.1B.√2C.√3D.2答案：A3.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=25，则公差d为A.3B.4C.5D.6答案：C4.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标是A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)答案：C5.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像关于哪条直线对称A.x=π/4B.x=π/2C.x=3π/4D.x=π答案：C6.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，则向量a与向量b的夹角为A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C7.抛掷一枚均匀的硬币，连续抛掷3次，恰好出现两次正面的概率为A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2答案：B8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√2，则边b的长度为A.1B.√2C.√3D.2答案：A9.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值是A.-8B.0C.4D.8答案：D10.已知直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:x-2y+3=0相交，则两直线夹角的正切值为A.1/3B.3C.-1/3D.-3答案：B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在其定义域内单调递增的有A.y=x²B.y=log₂(x)C.y=e^xD.y=sin(x)答案：BC2.下列复数中，属于纯虚数的有A.2iB.3-iC.0D.-4i答案：AD3.在等比数列{bₙ}中，若b₁=2，b₄=16，则公比q为A.2B.-2C.4D.-4答案：AC4.圆x²+y²-6x+4y-12=0的离心率为A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1答案：BC5.函数f(x)=cos(2x-π/3)的周期为A.πB.2πC.π/2D.4π答案：AB6.向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a与向量b的线性组合能表示A.所有第一象限内的点B.所有第二象限内的点C.所有第三象限内的点D.所有第四象限内的点答案：AD7.在一次随机试验中，事件A发生的概率为1/3，事件B发生的概率为1/4，且A与B互斥，则事件A或B发生的概率为A.1/7B.3/4C.1/12D.7/12答案：AD8.在直角坐标系中，点(1,2)关于直线x+y=3的对称点为A.(2,1)B.(3,0)C.(0,3)D.(1,1)答案：AB9.函数f(x)=tan(x)在区间(0,π/2)上的图像特征有A.单调递增B.无界C.连续D.有间断点答案：AB10.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=1，则边c的长度为A.√3B.2C.2√3D.4答案：AC三、判断题（每题2分，共10题）1.函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上是单调递增的。答案：正确2.复数i²=-1。答案：正确3.在等差数列中，任意两项之差等于公差。答案：正确4.圆x²+y²=1的面积是π。答案：正确5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是2π。答案：正确6.向量a=(1,2)与向量b=(2,4)共线。答案：正确7.抛掷一枚均匀的骰子，出现点数为偶数的概率是1/2。答案：正确8.在直角坐标系中，点(1,1)关于y=x的对称点是(1,1)。答案：错误9.函数f(x)=x³在区间(-∞,+∞)上是单调递增的。答案：正确10.在△ABC中，若角A=60°，角B=60°，则△ABC是等边三角形。答案：正确四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数f(x)=x²-4x+3的顶点坐标和对称轴方程。答案：顶点坐标为(2,-1)，对称轴方程为x=2。2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a与向量b的夹角余弦值。答案：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=(3×1+4×2)/(√(3²+4²)×√(1²+2²))=11/(5×√5)=11√5/25。3.在等比数列{cₙ}中，若c₁=1，c₃=8，求c₅的值。答案：公比q=√(c₃/c₁)=√8=2√2，c₅=c₁q⁴=1×(2√2)⁴=1×32=32。4.求直线l₁:2x+y-1=0与直线l₂:x-2y+3=0的交点坐标。答案：联立方程组，解得x=1，y=-1，交点坐标为(1,-1)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值。答案：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，得x=±1。在区间[-2,-1)上单调递减，(-1,1)上单调递增，(1,2]上单调递减。极小值为f(-1)=2，极大值为f(1)=-2。2.讨论复数z=a+bi（a,b为实数）的模长与辐角范围。答案：模长|z|=√(a²+b²)，辐角θ范围为[0,2π)。当a>0,b≥0时，θ∈[0,π/2)；当a<0,b≥0时，θ∈(π/2,π)；当a<0,b<0时，θ∈(π,3π/2)；当a>0,b<0时，θ∈(3π/2,2π)。3.讨论等差数列{aₙ}的前n项和Sₙ的最小值问题。答案：Sₙ=n(a₁+aₙ)/2，若a₁>0，公差d<0，则Sₙ有最小值，最小值出现在aₙ≤0时。若a₁<0，公差d>0，则Sₙ有最小值，最小值出