2.1：直线的倾斜角与斜率 解析版-2025-2026学年高二数学精讲与精练高分突破系列人教A版2019选择性必修第一册

.1：直线的倾斜角与斜率【考点归纳】【知识梳理】知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).知识点三两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点四两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【例题详解】题型一、直线的倾斜角与斜率的定义【例1】．（23-24高二上·辽宁朝）根据下列条件，求直线的倾斜角；(1)斜率为；(2)经过两点；(3)一个方向向量为．【答案】(1) (2) (3)【分析】（1）由斜率和倾斜角的关系求倾斜角；（2）由直线的斜率公式求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角；（3）由方向向量的定义求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求倾斜角.【详解】（1）设直线的倾斜角为，∵直线的斜率为，∴，又∵，∴；（2）由已知得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，∵，∴；（3）由直线的一个方向向量为，可得斜率，∵，∴.【跟踪训练1】．（23-24高二上·全国）求经过下列两点的直线的斜率、倾斜角：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)斜率为，倾斜角为(2)斜率为，倾斜角为(3)斜率为，倾斜角为(4)斜率不存在，倾斜角为【分析】（1）（2）（3）（4）应用两点式求斜率，结合斜率和倾斜角的关系求倾斜角的大小.【详解】（1）设直线倾斜角为，则直线斜率为，故.（2）设直线倾斜角为，则直线斜率为，故.（3）设直线倾斜角为，则直线斜率为，故.（4）由两点横坐标相等，则直线斜率不存在，倾斜角为.【跟踪训练2】．（22-23高二·江苏·假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．（3）∵，∴直线的斜率不存在．题型二、求直线的斜率或参数问题【例2】．（25-26高二上·上海宝山·阶段练习）已知直线过点(1)若直线的倾斜角为，求实数的值；(2)求直线的斜率.【答案】(1)；(2)且.【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值；（2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值.【详解】（1）由题设，可得，即；（2）由题设，当时，直线不存在斜率，所以，则.【跟踪训练1】．（25-26高二上·广东广州·阶段练习）已知三点.(1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值；(2)若三点共线，求出的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据斜率公式计算即可；（2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解.【详解】（1）由题意，解得；（2），因为三点共线，所以，即，解得.【跟踪训练2】．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值．【答案】，．【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为经过点，的直线的倾斜角为，所以，解得，所以，，设AB的中点为D，则AB的中点D的坐标为，所以，因为，所以，即，解得．题型三、斜率与倾斜角的变化关系【例3】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围.【详解】直线的斜率为，即，所以直线倾斜角的取值范围为：.故选：D.【跟踪训练1】．（2025高三·全国·专题练习）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合正弦函数性质确定其范围，即可求得答案.【详解】由题意知直线的方程为，，即，即直线的斜率．由，得．又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为．故选：B．【跟踪训练2】．（25-26高二上·浙江·阶段练习）直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知斜率，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.【详解】设直线的倾斜角为，直线的斜率，即，且，可得α∈0,π所以直线的倾斜角的取值范围为.故选：C.题型四、直线与线段的相交关系求斜率范围【例3】．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】画出图形，求得，，结合图形即可得解.【详解】由题意知，，由图可知直线的斜率的取值范围是.故选：B.【跟踪训练1】．（25-26高二上·浙江·阶段练习）已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解.【详解】，，，，，过点的直线与线段有交点，如图：该直线斜率的取值范围是.故选：B.【跟踪训练2】．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知点和B33,0在直线的两侧，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直线，的倾斜角，数形结合可得答案.【详解】直线经过定点，斜率为，设直线的倾斜角为且，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，∵点和B33∴，∴，∵点和在直线的两侧，

∴由图可知直线的倾斜角的范围为.故选：C.题型五、两条直线平行的判定问题【例5】．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线与直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出，当时，由，得到或，又时，，，显然有，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【跟踪训练1】．（25-26高二上·山西长治·阶段练习）已知直线与直线，若，则（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由平行的性质计算出后验证是否重合即可得.【详解】由，则有，化简得，故或；当时，，，此时与重合，不符；当时，，，符合要求；综上所述：.故选：A.【跟踪训练2】．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由直线平行的判定列方程求参数值，注意重合情况即可.【详解】由，则，解得，当时，，，满足，故“”是“”的充要条件.故选：A题型六、两条直线垂直的判定问题【例6】．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】当时，，即，则，即；当时，，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C【跟踪训练1】．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）直线：，直线：，则直线是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】假设成立，去推导是否成立，假设去推导是否成立即可得.【详解】若，由，可得，若，即，则需，即，即可得时，，故不是的充分条件；若，则，，此时，故，综上，直线是的必要不充分条件.故选：B.【跟踪训练2】．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值.【详解】若则直线与垂直，满足题意，若则,则.综上所述，则或.故选：C题型七、垂直与平行的综合应用【例71】．（2024高三·全国·专题练习）给出两条直线：，：，其中．(1)当m为何值时，与重合？(2)设，求m；(3)设与相交，求m的取值范围；(4)求m的值，使得．【答案】(1)；(2)(3)且(4)【分析】直线，的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）与重合；（2）与平行；（3）与相交；（4）与垂直.【详解】（1）由，解得，所以当时，与重合.（2）由，解得，所以时，与平行.（3）当，即且时，与相交.（4）当时，即时，与相垂直.【跟踪训练1】．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：.(1)若，且经过点，求实数，的值；(2)若且，求实数，的值.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解；（2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，．【详解】（1）因为，，且，所以，又直线过点，所以，所以，所以，所以或；（2）若且，则或，解得，或，由于不能同时为，故这组解舍去，故【跟踪训练2】．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值；（2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值是【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系，列方程求解；（2）由方向向量和斜率关系，结合两直线垂直，推出，然后由基本不等式的妙用求解.【详解】（1）由题知，，即，解得；（2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在，于是，由可知，整理可得，即，则，当，即取得等号，即最小值是.【高分演练】一、单选题1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知点，，则直线的斜率为（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】已知两点的坐标，直接使用公式求解即可.【详解】，，，选项D正确.故选：D.2．（25-26高二上·陕西商洛·阶段练习）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】求出的斜率，结合图形可得结论.【详解】由题意，，，由图可知，故选：D.3．（25-26高二上·广西·阶段练习）图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到倾斜角，根据斜率和倾斜角的关系，结合正切函数单调性，得到.【详解】由图象可得，倾斜角，故，又在上单调递增，故.故选：A.4．（25-26高二上·河北保定·阶段练习）已知直线和直线，则“”是“”的（

）A．既不充分又不必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．充要条件【答案】D【分析】先由两直线平行求出参数，再由充要条件定义进行判断.【详解】若“”，则，所以“”是“”的充要条件.故选：D5．（25-26高二上·安徽·阶段练习）“直线与直线相互垂直”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两直线垂直，列出方程，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由直线与直线相互垂直，可得，解得或，所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要不充分条件.故选：B.6．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可.【详解】当时，；当时，，所以线段的最左端是，最右端是，表示点与点连线的斜率，当点在点A处时，；当点在点B处时，；

结合图象可知，的取值范围是．故选：C．7．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（）A． B．3 C．-1 D．3或-1【答案】A【分析】根据直线平行公式计算求参.【详解】当或时两直线不平行，当且时，因为，所以，故选:A．8．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（

）A．1 B．或 C． D．或【答案】B【分析】借助斜率与倾斜角的关系，结合两角差的正切函数公式计算即可得.【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由题意得直线斜率为2，有，则，依题意有或，当时，，即，解得，即直线的斜率为；当时，，即，解得，即直线的斜率为；综上所述，直线的斜率为或.故选：B．9．（25-26高二上·江苏无锡·阶段练习）已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别求出直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可求出.【详解】因，，，则斜率，，如图所示，

直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点，从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时；从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，所以此时，综上可得直线的斜率的取值范围为.故选：A.二、多选题10．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）下列叙述错误的是（

）A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行【答案】BCD【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可.【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确；对于B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角，如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误；对于C，设直线的倾斜角为，当，斜率，当，斜率，故C错误；对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误.故选：BCD.11．（25-26高二上·江西抚州·阶段练习）已知直线，下列选项正确的有（

）A．若，则斜率不存在B．若不经过第三象限，则C．若或-1，则D．若，则【答案】AC【分析】由确定直线方程，可判断A，通过满足题意可判断B，由两直线位置与斜率的关系可判断CD.【详解】对于A，当时，，斜率不存在，正确；对于B，当时，不经过第三象限，错误；对于C，当时，，此时；当时，，垂直，正确，对于D，当时，此时两直线重合，错误，故选：AC12．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，，若，则实数的值可能是（

）A． B．0 C． D．1【答案】AC【分析】利用两直线垂直的充要条件列式，求出的值即可.【详解】由题意得，化简得，解得或.故选：AC.13．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，，点P在x轴上，若为直角三角形，则点P的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据题意可设，再对直角进行分类讨论并利用直线垂直的斜率关系可求得的坐标，然后逐项判断即可.【详解】设，易知当或时，不合题意，因此当且时，可得，，当为直角时，，得的坐标为．当为直角时，，得的坐标为．当为直角时，，化简得，解得或，的坐标为或．故选：ACD14．（25-26高二上·全国·单元测试）对于直线，下列说法中正确的是（

）A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限【答案】ABD【分析】由直线方程求得直线的斜率，斜率公式，恒过顶点进行判断各个选项．【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确；对于B，直线整理为，则直线恒过定点．B正确；对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为，故直线的斜率，因此，则．C错误；对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确.故选：ABD.15．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（

）A．在y轴上的截距为 B．恒过点C．当时 D．当时，【答案】AC【分析】利用截距概念可判断A；根据直线方程可判断B；利用两直线垂直时，斜率之积为可判断C；举反例可判断D.【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确；对于B即令可得即直线恒过点故B错误；对于C，当时，即故故C正确；对于D，当时，令此时直线与直线重合，两直线不平行，故D错误.故选：AC.16．（24-25高二上·四川雅安·期末）下列说法中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为B．三点共线C．直线（其中）必过定点D．经过点，倾斜角为的直线方程为【答案】ABC【分析】对A，根据直线垂直轴判断；对B，由可判断B；对C，由题意可得出，即，解方程可判断C；对D，时，直线的斜率不存在可判断D.【详解】对于A，直线即，垂直轴，所以直线的一个方向向量为，故A正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，由可得：，则，解得：，所以直线必过定点，故C正确；对于D，当时，直线的斜率不存在，故D错误.故选：ABC.17．（24-25高三上·河北承德·期中）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（

）A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为【答案】ABC【分析】将三角形的顶点放到坐标原点，画出图象，结合等边三角形的性质及直线的斜率、倾斜角的定义判断即可.【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示），则，所以直线的斜率为，故A正确；因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确；边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确；边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误.故选：ABC18．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C．直线的倾斜角的取值范围是D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率【答案】BCD【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，则，解得或，所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；对于B选项，若直线与直线互相平行，则，解得，所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；对于C选项，直线的斜率为，当时，；当时，.因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；对于D选项，如下图所示：设线段交轴于点，直线交线段于点，，，当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.故选：BCD.三、填空题19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为．【答案】/【分析】根据直线的斜率公式，建立方程求解参数即可.【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且，可得，解得.故答案为：20．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线，，若，则实数的取值为.【答案】【分析】根据两直线平行时系数的关系，列出方程，求出a值，检验即可得答案.【详解】因为，所以，解得或，当时，，即，此时两直线重合，故舍去，当时，，，符合题意，综上，a的值为1.故答案为：121．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是.【答案】【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案．【详解】作出示意图如图所示：由题意知直线的斜率分别为，．因为直线与线段没有公共点，所以或，所以直线的斜率的取值范围是.故答案为：．22．（25-26高二上·广东清远·阶段练习）已知直线：，：，若满足，则【答案】/0.5【分析】由直线垂直条件直接列式计算．【详解】直线与直线垂直，，解得.故答案为：.23．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是．（用弧度制表示，写成区间形式）【答案】【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围．【详解】

因为，，，，，则使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围为又直线倾斜角的范围是：，且，所以直线l的倾斜角的范围为.故答案为：．四、解答题24．（24-25高二上·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线；(2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线．(3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线：(I)平行；(II)垂直．【答案】(1)平行(2)垂直(3)(I);(II)【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断；（2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断；（3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线