专题01 柱体（高效培优专项训练）数学沪教版2020必修第三册（解析版）

2/37专题01柱体题型一：棱柱的结构特征题型二：棱柱的展开图及最短距离问题题型三：棱柱的体积题型四：棱柱的侧面积和表面积题型五：圆柱的结构特征题型六：圆柱的体积题型七：圆柱的表面积题型八：柱体表面积，体积公式的应用题型一：棱柱的结构特征1．已知是单位正六棱柱（即所有的棱长都是1，如图所示），黑、白两个蚂蚁同时从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．黑蚂蚁爬行的路线是，白蚂蚁爬行的路线是．它们都遵循如下规则：所爬行的第段与第i段所在的直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑、白两蚂蚁走完2025段后各停留在正六棱柱的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是．【答案】0【分析】根据已知条件先分析出黑、白蚁路线的规律，然后考虑走完2025段相当于走了多少个周期，从而确定出最终位置即可求解出黑、白两蚁的距离．【详解】因为蚂蚁爬行的第段与第段所在直线必须是异面直线，则黑蚂蚁爬行的路线是，因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行，而，于是黑蚂蚁走完2025段后停留在正六棱柱的点处，白蚂蚁爬行的路线是，因此每隔18段后回到点，并重复按原来线路爬行，于是白蚂蚁走完2025段后停留在正六棱柱的点处，所以黑、白两蚂蚁的距离是0．故答案为：02．给出下列命题：①平行六面体是斜四棱柱；②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱.其中正确的是个数是.【答案】【分析】根据棱柱的几何特征逐项判断即可.【详解】对于①，平行六面体可以是斜棱柱，也可以是直棱柱，①错；对于②，有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱，②对；对于③，各侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如直四棱柱，底面是菱形，底面边长和高相等，但该四棱柱不为正方体，③错；对于④，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱，如下图所示：该几何体不是棱柱，④错.故答案为：.3．给出下列四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；③直棱柱的侧面是矩形；④正棱柱的侧面是全等的矩形．其中真命题的序号是（填所有真命题的序号）．【答案】①②③④【分析】利用棱柱的性质判断①；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，②正确；利用直棱柱的性质判断③；利用正棱柱的性质判断④．【详解】①中，棱柱的侧棱互相平行，侧面都是平行四边形，正确；②中，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，正确；③中，直棱柱的侧棱垂直于底面，且侧棱平行且相等，即侧面是矩形，正确；④中，正棱柱为底面为正多边形的直棱柱，侧面是全等的矩形，正确；故答案为：①②③④4．关于棱柱，下列说法正确的是．（选填序号）①所有的棱长都相等；②相邻两个面的交线叫做侧棱；③棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；④棱柱中至少有两个面的形状完全相同；⑤在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有2个．【答案】④⑤【分析】依据棱柱的定义和分类去判断即可解决.【详解】①棱柱的所有的侧棱长都相等，所有的棱长不一定相等.判断错误；②相邻两个侧面的交线叫做侧棱，相邻两个面的交线可能是底面的边.判断错误；③正四棱柱中相对的两个侧面互相平行.判断错误；④棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同.判断正确；⑤在斜棱柱的所有侧面中，最多互相平行的两个侧面可以是矩形，则矩形最多有2个．判断正确；故答案为：④⑤5．①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题有．【答案】②④⑤⑥【分析】根据直棱柱、正四棱柱、平行六面体的概念和结构特征依次判断选项即可.【详解】①侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，底面是长方形的直四棱柱才是长方体.底面如果不是长方形，则该直四棱柱不是长方体，故①错误；②上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故②正确；③底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形且侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故③错误；④有两个相邻的侧面是矩形，说明侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，所以，有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故④正确；⑤底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故⑤正确；⑥直棱柱的侧棱垂直于底面，因此侧棱长与高相等，故⑥正确.故答案为：②④⑤⑥6．下列命题中，①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；③棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形；④棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.其中错误的有．【答案】①②③【分析】构造合适的图形，结合棱柱的定义可判断①②③④的正误.【详解】由棱柱的定义可知，只有④正确，分别构造图形如下：图1中平面与平面平行，但四边形与不全等，故①错；图2中正六棱柱的相对侧面与平行，但不是底面，②错；图3中直四棱柱底面是平行四边形，③错.故答案为：①②③.题型二：棱柱的展开图及最短距离问题7．长方体的长、宽、高分别为，由顶点A沿长方体的表面到顶点路径长度的最小值为．【答案】5【分析】设出边长，将长方体侧面从不同方向展开，计算展开后的矩形的对角线长度，最短即为所求解.【详解】不妨设，将侧面与展成一个矩形，此矩形长宽，对角线，同理，将与展成一个矩形，对角线长为，将与是成一个矩形，对角线长为，综上，由A到最小值为．故答案为：.8．如图所示，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，沿棱柱表面，从到的最短路径长为【答案】3【分析】分析可得沿棱柱的表面从E到F可能经过棱，，，再分别展开直观图求解即可.【详解】若从到经过棱则沿棱展开如图，过作于，则，，故.若从到经过棱，则沿棱展开如图，，，则.若从到经过棱，则沿棱展开如图，因为，，所以，，，则.若从到经过棱，则沿棱展开如图，由题意，为等腰直角三角形，四边形为正方形，故为等腰直角三角形，故四边形为直角梯形.又，，故.综上，故沿棱柱的表面，从到的最短路径长度为.故答案为：9．如图所示，在三棱柱中，平面，，，M为的中点，P是棱上的点，且，则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为.【答案】【分析】由P沿棱柱侧面到M的方式有两种，一种是沿侧面和侧面，另一种是沿侧面和侧面，故分别按这两种方式展开相应的侧面再根据两点之间线段最短原理计算展开图中线段的长度再比较两个结果即可得解.【详解】因为，所以，如图，两种方式展开三棱柱的侧面：故图1中，图2中，因为，所以最短路线长为.故答案为：.10．正三棱柱的底边长侧棱长都是2，为的中点，为的中点，则在棱柱表面上，从到的最短路程是．【答案】【分析】根据不同的展开方式，求展开图两点间距离的长度.【详解】如图，三棱柱表面由点到的展开图有如下情况，如图，若过时，此时，若过时，与过一样，此时；第二种情况，当过时，，，，若过与过一样，此时，由所以从到的最短路程是.故答案为：11．在正方体中，为棱的中点，分别为上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】将正方体的侧面与展开到同一平面，点到的距离就是.【详解】将正方体的侧面与展开到同一平面在同一平面内可知的最小值就是点到的距离，正方体中，为棱的中点，所以，，是正方形，所以故答案为：【点睛】12．如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为．【答案】【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可.【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有，如图，

当三点共线时，则即为的最小值，在三角形中，，，由余弦定理得，所以，即，在中，，，由勾股定理可得且.

同理可求，因为，所以为等边三角形，所以，所以在中，，，由余弦定理得.故答案为：.13．已知棱长为的正方体中，为棱上一动点，则的最小值为.【答案】【分析】将平面绕翻折到与平面共面，连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理计算出即可.【详解】如图将平面绕翻折到与平面共面（如下平面图形），连接交于点，此时取得最小值，又，，所以，则，即的最小值为.故答案为：题型三：棱柱的体积14．一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为.【答案】4【分析】设正三棱柱的底面积为，高为，利用等体积法求出即可.【详解】设正三棱柱的底面积为，高为，则水的体积，因为分别为所在棱的中点，所以，，所以图（2）中水的体积为，又，，解得.所以该正三棱柱容器的高为4.故答案为：4.15．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，，则该组合体的体积为；【答案】【分析】根据题意，利用锥体和柱体的体积公式，列式计算，即可求解.【详解】因为该组合体得到上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体，正四棱锥的高为1，且，所以该组合体的体积为：.故答案为：.16．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为．【答案】9【分析】设斜三棱柱的体积，易知，割补法求得，即可得出，从而得解.【详解】设斜三棱柱的高为h，，斜三棱柱的体积为，所以，易知，所以，又三棱锥的体积大小为3，所以，所以，即三棱柱的体积大小为9，故答案为：917．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为．【答案】【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解即可.【详解】设的面积为，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面水平放置时，水的体积为，当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，液面高为.故答案为：18．如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为．【答案】4【分析】根据题意，结合柱体和锥体的体积公式，结合，即可求解.【详解】在长方体中，，则三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，所以.故答案为：.19．在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为．【答案】6【分析】根据几何关系，结合基本不等式求底面面积的最大值，即可求解体积的最大值.【详解】如图，，，则，由，则，当时，等号成立，即的最大值为6，

此时三棱柱的体积最大，最大体积为.故答案为：6题型四：棱柱的侧面积和表面积20．已知侧面都是矩形的四棱柱，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则这个棱柱的侧面积是．【答案】【分析】根据题意，由棱柱侧面积公式，计算可得答案.【详解】根据题意，该四棱柱的侧面积都是矩形，侧棱长为5，底面是边长为2的菱形，则其侧面积为；故答案为：21．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.4m，制造这个滚筒需要铁板（精确到，）．【答案】4.7【分析】求六棱柱的表面积即可.【详解】因为正六棱柱的底面棱长为0.4m，所以底面积为：，棱柱的侧面积为：.所以正六棱柱的表面积为：.故答案为：4.722．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要铁板（精确到）.【答案】【分析】根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可.【详解】由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为，所以底面正六边形的边长是．所以侧面积.所以表面积.故制造这个滚筒约需要铁板．故答案为：23．若正三棱柱的所有棱长均为，且其侧面积为12，则.【答案】2【分析】根据三棱柱侧面积公式即可求解.【详解】因为正三棱柱的所有棱长均为，所以三棱柱的侧面是边长为的正方形，所以侧面积，所以.故答案为：224．若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于.【答案】120【分析】根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】设是斜三棱柱的高，因此侧棱与底面所成角为，所以有，因为相邻两侧棱之间距离为5，所以该三棱柱的侧面积等于，故答案为：12025．正六棱柱高5，最长的对角线为13，则它的侧面积是.【答案】180【分析】设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，再由题意，根据勾股定理，求出，即可求出结果．【详解】设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，所以由，解得，所以侧面积为．故答案为：．26．长方体的高为h，底面积为S，垂直于底面的对角面的面积为S，则长方体的侧面积是.【答案】【分析】设长方体的底面长为a，宽为b，则底面对角线长为，由已知得，，再根据长方体表面积的计算公式计算即可得到答案．【详解】如图，设长方体的底面长为a，宽为b，则底面对角线长为，由已知得，，所以，，所以，所以，故答案为：．题型五：圆柱的结构特征27．下列命题中正确的是（

）A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体C．直线绕定直线旋转形成柱面D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱【答案】D【分析】根据母线的性质判断A，通过举反例判断B、C，通过圆柱的概念即可判断D.【详解】对于A，根据圆柱的定义和性质，圆柱的母线与底面垂直，A错误；对于B，当两个截面与底面不平行时，截得的平面不是一个圆柱体，B错误；对于C，直线绕定直线旋转有也可能形成一个锥面，C错误；对于D，以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱，D正确.故选：D28．如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（

）A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形【答案】B【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案.【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，可得分别为圆柱的母线，所以且，又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以，所以截面为矩形.故选：B.29．一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆柱的特征直接得到结果.【详解】将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱.故选：B.30．证明：(1)过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形；(2)任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】根据圆柱的几何特征，研究截面关系从而得证；【详解】（1）设过圆柱的轴的任一平面与圆柱相截所形成的截面为，且都是底面圆的直径，如图11-1-4（1）所示.因为圆柱的底面平行，所以由两个平面平行的性质定理，.又因为，所以是平行四边形.由垂直于底面，知垂直于底面，因此.所以是矩形，其一组对边的长是底面的直径，另一组对边的长是圆柱的高，它们都是完全确定的，即这些截面互相都全等.（2）任作一个平行于底面并与圆柱相交的平面，把平面截圆柱侧面所形成的封闭曲线记为，设是上的任意一点，如图11-1-4（2）所示.由圆柱的形成过程，知圆柱侧面上任意一点到圆柱的轴的距离都等于圆柱的底面半径，所以到点的距离必等于底面半径，从而所围出的截面是一个与底面全等的圆.题型六：圆柱的体积31．如果圆柱轴截面的周长为定值12，那么该圆柱体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出圆柱的底面半径和高，根据已知条件求得底面半径和高的关系式，结合基本不等式求得体积的最大值．【详解】设圆柱的底面半径为，高为，均为正数，则，即圆柱的体积，当且仅当时等号成立．所以该圆柱体积的最大值为.故选：B．32．已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆柱的底面半径为，根据它的表面积与体积的数值之比为2，求出，再求体积．【详解】设圆柱的底面半径为，所以圆柱的表面积为，体积为，因为它的表面积与体积的数值之比为2，所以，解得，故该圆柱的体积为．故选：B.33．某车间生产一种六角螺母，每一个六角螺母是由棱长和高均为的正六棱柱形的工件加工而成，需要在工件底面的中心处打一个圆柱形通孔（如图），若通孔内凹槽忽略不计，则六角螺母表面积的最大值为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】设通孔的半径为，利用棱柱、圆柱的表面积公式把六角螺母表面积表示为的函数，再求出函数最大值作答.【详解】设通孔的半径为，则六角螺母表面积，因此当时，，所以六角螺母表面积的最大值为.故选：A34．已知某圆柱的侧面展开图是边长为6和8的矩形，则该圆柱最大体积为（答案保留）．【答案】【分析】根据圆柱侧面展开图与圆柱的关系，分别求出以边长和为底面周长时圆柱的体积，再比较大小得出最大体积.【详解】当圆柱底面周长，高时，根据圆的周长公式，可得底面半径.再根据圆柱的体积公式，得此时圆柱体积.当圆柱底面周长，高时，同样根据圆的周长公式，可得底面半径.再根据圆柱的体积公式，可得此时圆柱体积.因为，所以，即该圆柱的最大体积为.故答案为：.35．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比；【答案】【分析】设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，列出方程，解出即可.【详解】设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有，由①得，由②得，∴，则题型七：圆柱的表面积36．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，求解即可.【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为，由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高，则圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，则，故B正确.故选：B.37．已知圆柱的底面半径为2cm，体积为，则该圆柱的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆柱的表面积和体积公式即可求解.【详解】设圆柱的高为，因为圆柱的底面半径为2cm，体积为，则圆柱的底面周长为，，所以圆柱的表面积为，故选：D38．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，全面积为，而侧面积为，所以全面积与侧面积之比这．故选：A39．动点P，Q分别位于圆柱的上下底面，且的最小值为3，最大值为5，则圆柱的表面积为.【答案】20π【分析】本题根据题意可判断出圆柱的母线长为3，由勾股定理求出圆柱底面的直径为4，从而求出圆柱的表面积.【详解】如图所示：

由题意知，圆柱的母线长为3，底面的直径为，因此圆柱的表面积为．故答案为：.40．如图，某圆柱体的高为，是该圆柱体的轴截面.已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是.【答案】【分析】作出圆柱的侧面展开图，根据最短路径可求得，由此可得圆柱侧面积.【详解】作出该圆柱体的侧面展开图如下图所示，则从点出发沿着圆柱体的侧面到点的最短路径为上图中的，，，该圆柱体的侧面积.故答案为：.41．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为，母线长最短，最长，则斜截圆柱的侧面面积.【答案】【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．【详解】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形。由题意得该斜截圆柱的侧面面积.故答案为：题型八：柱体表面积，体积公式的应用42．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱.(1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）；(2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批