专题1.3 多面体与旋转体（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（原卷版）

2/37专题1.3多面体与旋转体教学目标通过空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的核心素养.教学重难点教学重点：通过对实物模型的观察，归纳认知多面体、旋转体的结构特征．教学难点：能运用面体、旋转体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．知识点01多面体1、多面体定义：由三角形或平面多边形围成的；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体；2、多面体可以用它的面的数量进行命名：有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是；长方体（四棱柱）有六个面，是．一般地，一个棱锥,有一个底面和个侧面，所以是；棱柱或棱台有两个底面和个侧面，所以是；由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥;3、与平面上的正多边形类比：在空间中可以考虑正多面体；如果一个多面体的所有面都是全等的或，每个顶点聚集的棱的条数都，这个多面体就叫做；【即学即练】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？①四面体；

②四棱锥；

③四棱柱；④五棱锥；

⑤五棱柱；

⑥六棱锥；⑦七面体．（找出可能的结果，并将序号填在横线上）知识点02正四面体正四面体（四个面都是三角形的三棱锥）在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用；将正四面体放在正方体中。1、若正四面体棱长设作1，则对应的正方体棱长为________,外接球半径为________；正四面体的体积________,正四面体的高________结论1：正四面体的对棱相互垂直结论2：（体积）结论3：(高)利用正方体对角线可求外接圆半径和正四面体的高(直接法，等体积法，结论3法)（简单实用）【即学即练】在正四面体中，设，则四面体的体积等于（

）.A．1 B． C． D．知识点03多面体的折叠与展开1、由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图；2、由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推；3、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题；【即学即练】如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为，那么折叠的的面积为（

）A．30 B．20 C． D．知识点04旋转体由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为；这条直线叫做该；与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为；圆柱、圆锥和圆台的概念（1）圆柱、圆锥和圆台的定义将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、、所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；（2）与圆柱、圆锥、圆台有关的概念绕着旋转的这条直线叫做；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做；无论旋转到什么位置，这条边都叫做；【即学即练】已知中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积是．题型01多面体的概念【典例1】若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD­A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为（

）A．2，8 B．4，12C．2，12 D．12，8【变式1】下列多面体中，属于五面体的是（

）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱锥【变式2】下列说法中，正确的是（

）A．底面是正多边形，而且侧棱长与底面边长都相等的多面体是正多面体B．正多面体的面不是三角形，就是正方形C．若长方体的各侧面都是正方形，它就是正多面体D．正三棱锥就是正四面体【变式3】如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则是正多面体.（写出所有正确的序号）

题型02正四面体和正三棱锥【典例1】卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【变式1】已知正四面体（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，设能装下正四面体的最小正方体的体积为，正四面体的外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则（

）A． B． C． D．【变式2】在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【变式3】已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（

）A． B． C．2 D．1【变式4】在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为．

题型03折叠与展开面问题【典例1】如图，已知中，是边上的高，以为折痕折叠，使为直角.求证：平面平面，平面平面.

【变式1】如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（

）A． B． C． D．【变式2】圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（

）A．0 B． C． D．【变式3】在平行四边形ABCD中，，，将此平行四边形沿对角线BD折叠，使平面平面CBD，则三棱锥A-BCD外接球的体积是.【变式4】如图,､､分别为正三角形的三边中点,的中点为,若沿着､､折叠,使点､､重合,在折叠后的四面体中,直线与所成角的余弦值为.题型04多面体性质探究【典例1】多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V､棱数E与面数F有关系.请运用欧拉定理解决问题：碳具有超导特性､抗化学腐蚀性､耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图所示，碳的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，则32个面中正五边形面的个数是.【变式1】一个多面体共有10个顶点，每个顶点都有4条棱，面的形状只有三角形和四边形，则三角形个数与四边形个数分别为（

）A．4、8 B．6、6 C．7、5 D．8、4【变式2】下列说法：①只有正多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理②所有凸多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理③所有简单多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理④所有多面体的顶点数、面数、棱数满足欧拉定理其中正确的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【变式3】萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状.在如图所示的正八面体EABCDF中，EA与平面ABCD所成的角为（

）A． B． C． D．【变式4】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的所有棱长和为．题型05由平面图旋转得旋转体【典例1】如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为．

【变式1】平面直角坐标系中以四个点为顶点的直角梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，则（

）A． B．C． D．大小无法计算【变式2】在梯形ABCD中，，，且，将梯形绕着边BC所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（

）A． B． C． D．【变式3】分别以锐角三角形的边AB，BC，AC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（

）A． B． C． D．【变式4】如图，点M为矩形ABCD的边BC的中点，，，将矩形ABCD沿DM剪去，将剩余部分绕直线BM旋转一周，则所得到的几何体的表面积为．

题型06由旋转体找出旋转图形【典例1】如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（

）A． B． C． D．【变式1】下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是（

）A． B． C． D．题型07简单组合体的表面积和体积【典例1】如图，在梯形中，，则将此梯形绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为（结果用含的式子表示）．【变式1】如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有．①圆锥母线与底面所成的角为

②圆锥PO的侧面积为③挖去圆柱的体积为

④剩下几何体的表面积为【变式2】高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内.已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为cm².【变式3】“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正八面体（每个面都是棱长相等的正三角形）的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去六个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为．

【变式4】魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速､盲拧､单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是.

1．在正三棱台中，，，棱台的高为，则该棱台的体积为.2．某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为．3．一个圆台上、下底面的半径分别为和，若两底面圆心的连线长为，则这个圆台的母线长为，该圆台的轴截面的面积为．4．给出下列命题：①正棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的矩形；②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；③各个面都是三角形的几何体是三棱锥；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；⑤圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．其中正确的命题是．（填序号）5．三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选取了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口饮料杯，如图所示.盛满饮料后约定：先各自饮杯中饮料一半.设剩余饮料的高度从左到右依次为，则它们的大小关系是.6．用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为cm．7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是等边三角形，若侧面PAB和底面ABCD所成角的正切值为，则四棱锥的体积为．8．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上，下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，圆台的高为，则圆台的体积为．9．某班级学生到工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，cm，且，则下列说法错误的是（

）A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的高为1cmC．该圆台的侧面积为6 D．该圆台的体积为10．如图，圆柱高8cm，