专题1.4 平面与平面的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第三册（原卷版）

2/37专题1.4平面与平面的位置关系教学目标1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.3.通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.4.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.教学重难点教学重点：①平面与平面平行的判定定理和性质定理②二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小③面面垂直的判定定理和性质定理教学难点：能求简单二面角平面角的大小知识点01平面与平面平行1、平面与平面位置关系位置关系定义符号表示平行平面与平面没有公共点∥相交平面与平面有且仅有一条公共直线2、平面与平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）（2）符号语言（3）图形语言3、平面与平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（2）符号语言（3）图形语言4、几个重要结论（1）垂直于同一条直线的两个平面平行（2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个（4）夹在两个平行平面中的平行线段相等（5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行5、半平面的定义一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面【即学即练】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，平面平面.证明：(1)；(2)平面平面.知识点02二面角1、二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．2、符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.3、画法第一种是卧式法，也称为平卧式：第二种是立式法，也称为直立式：【即学即练】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（

）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定知识点03二面角的平面角1、定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2、说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.3、二面角的平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.（4）面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角；（5）法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。【即学即练】设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为.知识点04平面与平面垂直1、平面与平面垂直定义（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言2、平面与平面垂直的判定定理（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，3、平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：，，.【即学即练】如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，各棱长均为为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面题型01平面与平面平行的判定【典例1】如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.(1)求证：，，，四点共面；(2)求证：平面平面；【变式1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，点分别是线段的中点．

(1)求证：平面；(2)若是线段的中点，证明：平面平面．【变式2】如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点．(1)求证：直线平面．(2)求证：平面平面．【变式3】如图所示，已知四棱锥的底面为矩形，，，分别为，，的中点．求证：平面平面PCE．【变式4】如图，在四棱锥中，，，四边形为菱形，，平面，E，F，Q分别是BC，PC，PD的中点.证明：平面平面；平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.题型02补全面面平行的条件【典例1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面

(1)证明：为的中点；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.【变式1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是的中点.在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由.【变式2】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；(1)求证：平面．(2)在上确定一点，使平面平面，并证明.【变式3】如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．【变式4】如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．题型03面面平行的性质【典例1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．(1)证明：平面；(2)过F点作平面平面交于点，交于点，（ⅰ）证明：；（ⅱ）求的值．【变式1】如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.(1)证明：；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【变式2】如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面.

(1)证明：；(2)证明：∥平面；(3)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【变式3】如图，在四棱锥中，，，，且四点共面.

(1)求证：底面为梯形；(2)是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.【变式4】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.(1)求证：//平面；(2)求证：；(3)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由.（1）如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面题型04二面角（定值）【典例1】如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为.【变式1】如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知是线段上的点，且则二面角的正切值为【变式2】在直三棱柱中，侧棱长为2，，且，D为中点，则二面角的正切值为.【变式3】在正方体中，二面角的平面角等于．【变式4】在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为.（1）定义法；（2）三垂线法（3）面积投影法题型05二面角（最值范围）【典例1】在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为.【变式1】在正方体中，N是上靠近点B的一个四等分点，M是棱上的动点，若平面与平面所成锐二面角的最小值为θ，则（

）A． B． C． D．【变式2】在直三棱柱中，，，，，为线段的三等分点，点在线段EF上（包括端点）运动，则二面角的正弦值的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】在正方体中，是棱的中点，是正方体棱上的一动点．(1)若为线段上的动点，求的最小值；(2)证明：平面平面；(3)若为线段上的动点，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．【变式4】如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值的取值范围．（1）基本不等式；（2）二次（可化为二次）型；题型06根据二面角求参数【典例1】如图，在四棱柱中，，平面．

(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．【变式1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点.(1)若，求证：平面；(2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值.【变式2】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．(1)证明：；(2)若二面角的余弦值为，求的值．【变式3】如图，四棱锥中，底面，，.(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的余弦值为，求.【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.(1)证明：；(2)证明：平面；(3)当MA为何值时，二面角的余弦值为．题型07证明面面垂直【典例1】在平行六面体中，.(1)求证:平面(2)求证:平面平面【变式1】如图，在三棱锥P-ABC中，，，，棱的中点分别为.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.【变式2】如图1，在中，，，，分别为，，的中点，将沿翻折到的位置，如图2.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)在棱上是否存在点，使得平面平面？请说明理由.【变式3】如图所示的四棱锥中，平面，，，，．(1)若是中点，证明平面．(2)证明：平面平面；【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)题型08补全面面垂直的条件【典例1】如图，在正三棱柱中，为的中点.(1)证明：平面.(2)求异面直线与所成角的余弦值.(3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【变式1】如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，且其所在平面垂直于底面．(1)求证：；(2)若为边的中点，则能否在棱上找到一点，使平面平面？并证明你的结论．【变式2】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点．(1)求证：；(2)当M在上的何处时，有平面平面.【变式3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．【变式4】如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点．(1)求证：；(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.题型09面面垂直的性质及其应用【典例1】如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形．(1)证明：平面平面．(2)若，平面平面，求【变式1】如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由【变式2】如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值；(3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．【变式3】如图，在三棱柱中，．(1)若平面平面，求证：∥；(2)若平面平面，，求证：平面.【变式4】如图所示，在三棱柱中，点D，E，F，G分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)证明：平面；(2)证明；平面.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．1．如图，是正三角形，、、互相平行且相等，且平面，，为的中点，则平面和平面所成的锐二面角的大小为.2．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为.3．如图，在正方体中，是的中点，二面角的平面角是，其正切值为．4．已知直线，，与平面，，，给出下列命题：①，；②，；③，；④，.其中正确的命题是填序号5．如图所示，在四棱锥中，底面A