【考前抢分30天】2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的对称+

2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的对称一．选择题（共10小题）1．（2025•雁塔区校级模拟）在刚刚过去的第33届夏季奥运会中，中国健儿创造了新的境外参加奥运会的最佳成绩．在以下给出的运动图标中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2025•安阳模拟）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（）A． B． C． D．3．（2025•河北模拟）如图，▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上A′处．若A'C＝5，则BD长为（）A．8 B． C．7.8 D．4．（2025•碑林区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为（）A． B． C．3 D．5．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（）A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝36．（2024•山西模拟）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线AB剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（）A．360° B．720° C．1080° D．1440°7．（2024•桥西区模拟）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝6，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点P处，过点P作BC的垂线，分别交AD，BC于M，N两点．①当点P为MN的中点时，NE＝；②当点P为MN的三等分点时，NE＝或；③当NP＝9时，∠BAP＝120°．以下选项正确的为（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．（2024•凉州区三模）如图，在长方形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB＝8，CE＝3，则折痕AE的长度为（）A． B．10 C． D．159．（2024•武汉模拟）对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN，给出如下定义：线段MN上各点到x轴距离的最大值，叫做线段MN的“轴距”，记作dMN.例如，如图，点M（﹣2，﹣3），N（4，1），则线段MN的“轴距”为3，记作dMN＝3．已知点E（﹣1，m），F（2，m+2），线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH．若dGH＝3，则m的值为（）A．1或7 B．5或﹣1 C．7或﹣1 D．1或510．（2024•邯山区校级三模）①～⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（）A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥二．填空题（共5小题）11．（2025•汕头模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，点D是BC边上的一点（不与B、C重合），连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，CD的长为．12．（2025•登封市一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是射线BC上一点，，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长AF，交CD的延长线于点M，则DM＝．13．（2025•崇明区一模）四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，AD＝8，将AB沿过点A的一条直线折叠，点B的对称点落在四边形ABCD的对角线上，折痕交边BC于点P（点P不与点B重合），那么PC长为．14．（2025•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，tanC＝2，D是AC上的动点，将△BCD沿BD翻折，如果点C落到△ABD内（不包括边），那么CD的取值范围是．15．（2025•普陀区一模）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，CD＝2，如图所示．点E在边AB上，将△BDE沿着DE翻折得△B′DE，其中点B与点B'对应，B′E交边AC于点G，B′D交AC的延长线于点H．如果△B′HG是等腰三角形，那么BE＝．三．解答题（共5小题）16．（2025•雁塔区校级一模）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上．（1）B点关于y轴的对称点的坐标为；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）条件下，点A1的坐标为；请求出△A1O1B1的面积．17．（2025•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是；（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；②在图2中，作出△ABO的高AQ．18．（2024•南宁一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．（3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为．19．（2024•香坊区校级四模）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图．（1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即可）（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹）20．（2024•丰台区二模）如图，在等边△ABC中，过点A在AB的右侧作射线AP，设∠BAP＝α（60°＜α＜90°），点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，CE，且BE，CE分别交射线AP于点D，F．（1）依题意补全图形；（2）求∠AFE的大小；（3）用等式表示线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．

2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的对称参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025•雁塔区校级模拟）在刚刚过去的第33届夏季奥运会中，中国健儿创造了新的境外参加奥运会的最佳成绩．在以下给出的运动图标中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、C、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2025•安阳模拟）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（）A． B． C． D．【考点】图形的剪拼；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】C【分析】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得（a+b）2＝b（b+a+b），设a＝1，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．【解答】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设a＝1，根据题意，得（a+b）2＝b（b+a+b），解得，（负值舍去），∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：．故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．3．（2025•河北模拟）如图，▱ABCD中，AB＝5，AD＝8，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上A′处．若A'C＝5，则BD长为（）A．8 B． C．7.8 D．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．【答案】C【分析】由平行四边形和折叠得到AB＝A′B＝CD＝5，AD＝A′D＝BC＝8，∠ADB＝∠A′DB＝∠CBD，过C作CF⊥BD于F，过A′作A′E⊥BD于E，再证明△BCF≌△DA′E（AAS），得到A′E＝CF，DE＝BF，即可得到DF＝BE，四边形A′EFC是矩形，A′C＝EF＝5，设DF＝BE＝x，则BF＝EF+BE＝5+x，BD＝DF+BF＝5+2x，再在Rt△BCF和Rt△DCF中，利用勾股定理得到CF2＝BC2﹣BF2＝DC2﹣DF2，代入列方程求解即可．【解答】解：过C作CF⊥BD于F，过A′作A′E⊥BD于E，则∠A′EB＝∠A′ED＝∠CFB＝∠CFD＝90°，由题意可得：AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵由折叠的性质可得：∴AB＝A′B＝5，AD＝A′D＝8，∠ADB＝∠A′DB，∴AB＝A′B＝CD＝5，AD＝A′D＝BC＝8，∠ADB＝∠A′DB＝∠CBD，∵∠A′ED＝∠CFB＝90°，A′D＝BC＝8，∠A′DB＝∠CBD，∴△BCF≌△DA′E（AAS），∴A′E＝CF，DE＝BF，∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，∵∠A′ED＝∠CFB＝90°，∴A′E∥CF，∵A′E＝CF，∴四边形A′EFC是矩形，∴A′C＝EF＝5，设DF＝BE＝x，则BF＝EF+BE＝5+x，BD＝DF+BF＝5+2x，∴CF2＝BC2﹣BF2＝82﹣（5+x）2，∴CF2＝DC2﹣DF2＝52﹣x2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x＝1.4，∴BD＝5+2x＝7.8．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．4．（2025•碑林区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若点E恰好是BC的中点，则线段CH的长为（）A． B． C．3 D．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【专题】平移、旋转与对称．【答案】D【分析】根据折叠可得DH＝EH，在直角△CEH中，设CH＝x，则DH＝EH＝6﹣x，根据E是BC的中点，可得CE＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：设CH＝x，则DH＝EH＝6﹣x，∵点E恰好是BC的中点，BC＝6，∴CE＝BC＝3，∵在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，∴（6﹣x）2＝32+x2，解得：x＝，即CH＝．故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．5．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则（）A．a＝2，b＝﹣3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝﹣2，b＝3【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】平面直角坐标系；符号意识．【答案】C【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可求出a、b的值．【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（2，﹣3）与点B（a，b）关于y轴对称，则a＝﹣2，b＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．6．（2024•山西模拟）如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线AB剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（）A．360° B．720° C．1080° D．1440°【考点】剪纸问题．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】C【分析】由题意得出剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，再根据多边形的内角和公式计算即可得出答案．【解答】解：将一张圆形纸片对折三次后，沿图④中的虚线AB剪下（点A和B为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形是正八边形，∴剩余部分展开后得到的平面图形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．7．（2024•桥西区模拟）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝6，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点P处，过点P作BC的垂线，分别交AD，BC于M，N两点．①当点P为MN的中点时，NE＝；②当点P为MN的三等分点时，NE＝或；③当NP＝9时，∠BAP＝120°．以下选项正确的为（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由AD∥BC，AB⊥BC，证明∠B＝∠DAB＝90°，而MN⊥BC于点N，则∠MNB＝90°，可证明四边形ABNM是矩形，所以∠AMN＝90°，MN＝AB＝6，可证明∠EPN＝∠PAM，则＝tan∠EPN＝tan∠PAM＝，由折叠得AP＝AB＝6，当点P为MN的中点时，则PM＝PN＝3，所以AM＝3，求得NE＝＝，可判断①正确；当点P为MN的三等分点，且PM＝MN＝2，则PN＝4，所以AM＝4，求得NE＝＝；当点P为MN的三等分点，且PM＝MN＝4，则PN＝2，所以AM＝2，求得NE＝＝，可判断②错误；若PN＝9，则PM＝PN﹣MN＝3，所以sin∠PAM＝＝，则∠PAM＝30°，求得∠BAP＝120°，可判断③正确，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝90°，∵MN⊥BC于点N，交AD于点M，∴∠MNB＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴∠AMN＝90°，MN＝AB＝6，∴∠EPN＝∠PAM＝90°﹣∠APM，∴＝tan∠EPN＝tan∠PAM＝，由折叠得AP＝AB＝6，如图1，点P为MN的中点，则PM＝PN＝MN＝3，∴AM＝＝＝3，∴NE＝＝＝，故①正确；如图2，点P为MN的三等分点，且PM＝MN＝2，则PN＝MN＝4，∴AM＝＝＝4，∴NE＝＝＝；如图3，点P为MN的三等分点，且PM＝MN＝4，则PN＝MN＝2，∴AM＝＝＝2，∴NE＝＝＝，∴NE＝或，故②错误；如图4，PN＝9，则PM＝PN﹣MN＝9﹣6＝3，∵∠AMP＝∠MNB＝90°，∴sin∠PAM＝＝＝，∴∠PAM＝30°，∴∠BAP＝∠DAB+∠PAM＝90°+30°＝120°，故③正确，故选：B．【点评】此题重点考查平行线的性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明∠EPN＝∠PAM并且推导出＝是解题的关键．8．（2024•凉州区三模）如图，在长方形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处．若AB＝8，CE＝3，则折痕AE的长度为（）A． B．10 C． D．15【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几何直观．【答案】C【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝8，AD＝BC，由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE＝CD﹣CE＝5，在Rt△CEF中，由勾股定理得CF＝＝4，设BC＝AD＝AF＝x，则BF＝x﹣4，在Rt△ABF中，由勾股定理解出方程，即可求出AE得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC，∠C＝∠B＝90°，由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF＝＝4，设BC＝AD＝AF＝x，则BF＝x﹣4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，∴AD＝10，在Rt△ADE中，AE＝＝＝5，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．9．（2024•武汉模拟）对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN，给出如下定义：线段MN上各点到x轴距离的最大值，叫做线段MN的“轴距”，记作dMN.例如，如图，点M（﹣2，﹣3），N（4，1），则线段MN的“轴距”为3，记作dMN＝3．已知点E（﹣1，m），F（2，m+2），线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH．若dGH＝3，则m的值为（）A．1或7 B．5或﹣1 C．7或﹣1 D．1或5【考点】坐标与图形变化﹣对称．【专题】平面直角坐标系；推理能力．【答案】D【分析】先求出G、H的坐标，然后根据轴距的定义，构建方程．【解答】解：∵点E（﹣1，m），F（2，m+2），∴E，F关于直线y＝2的对称点G（﹣1，﹣m+4），H（2，﹣m+2），当|4﹣m|≥|2﹣m|时，dGH＝3，∴|4﹣m|＝3，∴m＝1或＝7，当|4﹣m|＜2﹣m|时，dGH＝3，∴|2﹣m|＝3，∴m＝﹣1或＝5，综上所述m＝1或＝5，故选：D．【点评】考查了轴坐标与图形变化﹣对称，线段PQ的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型．10．（2024•邯山区校级三模）①～⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（）A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥【考点】利用轴对称设计图案．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】B【分析】根据三角形内角和是180°且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可【解答】解：∵②180°﹣（30°+75°）＝75°，④图形一个角是75°，∴②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形，∵⑤180°﹣（30°+35°）＝115°，③图形一个角是115°，∴③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形，∵180°﹣（90°+63°）＝27°，①图形一个角是27°，∴①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查了三角形内角和和轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解题的关键；二．填空题（共5小题）11．（2025•汕头模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，点D是BC边上的一点（不与B、C重合），连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当△BDE是直角三角形时，CD的长为6或2．【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据勾股定理得到BC＝＝6，根据已知条件得到当△BDE是直角三角形时，∠BDE＝90°或∠BED＝90°，①当∠BDE＝90°时，则∠CDE＝90°，根据折叠的性质得到∠ADC＝∠ADE＝45°，于是得到CD＝AC＝6，②当∠BED＝90°时，根据折叠的性质得到∠AED＝∠C＝90°，∠CAD＝∠EAD，AC＝AE，推出点E在AB上，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝6，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝12，∴BC＝＝6，∵点D是BC边上的一点，∴∠DBE≠90°，∴当△BDE是直角三角形时，∠BDE＝90°或∠BED＝90°，①当∠BDE＝90°时，则∠CDE＝90°，∵将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，∴∠ADC＝∠ADE＝45°，∴CD＝AC＝6，②当∠BED＝90°时，∵将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，∴∠AED＝∠C＝90°，∠CAD＝∠EAD，AC＝AE，∴∠AED+∠BED＝180°，∴点E在AB上，如图，∴AE＝AC＝6，BE＝AB﹣AE＝6，∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DE，∵DE2+BE2＝BD2，∴CD2+62＝（6﹣CD）2，∴CD＝2，综上所述，CD的长为6或2，故答案为：6或2．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．12．（2025•登封市一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是射线BC上一点，，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AFE，延长AF，交CD的延长线于点M，则DM＝或．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】或．【分析】情形①如图当点E在线段BC上时，情形②如图当点E在线段BC的延长线上时分别求解即可解决问题；【解答】解：情形①如图当点E在线段BC上时，∵BC＝8，BE＝3EC，∴EC＝2，EB＝EF＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ADM＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEG，∴AG＝EG，设AG＝EG＝x，在Rt△AFG中，∠AFG＝90°，AF＝AB＝4，FG＝6﹣x，∴x2＝42+（6﹣x）2，∴x＝，∴FG＝EF﹣EG＝，∵tan∠DAM＝＝，∴＝，∴DM＝，情形②如图当点E在线段BC的延长线上时，∵BC＝8，BE＝3EC，∴EC＝4，EB＝EF＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝∠AEG，∴AG＝EG，设AG＝EG＝x，在Rt△AFG中，∠AFG＝90°，AF＝AB＝4，FG＝12﹣x，∴x2＝42+（12﹣x）2，∴x＝，∴FG＝EF﹣EG＝，∵tan∠DAM＝＝，∴＝，∴DM＝，故答案为：或．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．13．（2025•崇明区一模）四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，AD＝8，将AB沿过点A的一条直线折叠，点B的对称点落在四边形ABCD的对角线上，折痕交边BC于点P（点P不与点B重合），那么PC长为或．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】或．【分析】分点B的对称点B'落在对角线AC上和落在对角线BD上两种情况，分别画出图形解答即可求解．【解答】解：如图，当点B的对称点B'落在对角线AC上时，由折叠可得，AB'＝AB＝5，PB'＝PB，∠AB'P＝∠ABP＝90°，∴∠CB'P＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，∴，∴B'C＝AC﹣AB＝13﹣5＝8，设P'B＝PB＝x，则PC＝12﹣x，∵PB'2+B'C2＝PC2，∴x2+82＝（12﹣x）2，解得＝，∴，∴；如图，当点B的对称点B'落在对角线BD上时，设AP与BD相交于点G，由折叠可得，AP⊥BD，∴∠AGB＝∠BGP＝90°，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴，∵，∴，∴，∴，∵∠BAG+∠ABG＝90°，∠PBG+∠ABG＝90°，∴∠PBG＝∠BAG，∵∠BGP＝∠AGB＝90°，∴△BGP∽△AGB，∴即，∴，∴；综上，PC长为或，故答案为：或．【点评】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．14．（2025•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，tanC＝2，D是AC上的动点，将△BCD沿BD翻折，如果点C落到△ABD内（不包括边），那么CD的取值范围是1＜CD＜．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力．【答案】1＜CD＜．【分析】由∠ABC＝90°，tanC＝2，AC＝5，求出AB＝2，BC＝，设C的对应点为C'，当C'在AC上时，求出CD＝1；当C'在AB上时，过D作DH⊥AB于H，求出CD＝，即可得1＜CD＜．【解答】解：∵∠ABC＝90°，tanC＝2，∴AB＝2BC，∵AC＝5，∴AB2+BC2＝5，∴AB＝2，BC＝，设C的对应点为C'，当C'在AC上时，如图：∵将△BCD沿BD翻折，∴∠BDC＝∠BDC'＝90°，∴tanC＝＝2，即BD＝2CD，∵BD2+CD2＝BC2，∴（2CD）2+CD2＝5，∴CD＝1；当C'在AB上时，过D作DH⊥AB于H，如图：∵将△BCD沿BD翻折，∴BC＝BC'＝，∠CBD＝∠C'BD＝∠ABC＝45°，CD＝C'D，∠C＝∠BC'D，∴△BDH是等腰直角三角形，tan∠BC'D＝2，∴BH＝DH，DH＝2C'H，设C'H＝x，则DH＝BH＝2x，∵C'H+BH＝BC'＝，∴x+2x＝，解得x＝，∴C'H＝，DH＝，∴C'D＝＝，∴CD＝；∵C'落到△ABD内（不包括边），∴1＜CD＜；故答案为：1＜CD＜．【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是求出临界点时CD的值．15．（2025•普陀区一模）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，CD＝2，如图所示．点E在边AB上，将△BDE沿着DE翻折得△B′DE，其中点B与点B'对应，B′E交边AC于点G，B′D交AC的延长线于点H．如果△B′HG是等腰三角形，那么BE＝．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】．【分析】先画出图形，过点H作HF⊥B′E于点F，确定如果ΔB'HG是等腰三角形，则只能是B′H＝GH，设B′E＝BE＝x（0＜x＜10），则AE＝10﹣x，再证出△AEG∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，，然后证出△HFG∽△AEG，根据相似三角形的性质可得，从而可得CH，HD的长，最后在Rt△CDH中，利用勾股定理求解即可得．【解答】解：由题意，画出图形如下：过点H作HF⊥BE于点F，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵B'E交边AC于点G，B'D交AC的延长线于点H，∴∠B'HG＝∠DCH+∠CDH＝90°+∠CDH＞90°，∴如果△B′HG是等腰三角形，则只能是∠B'HG为顶角，B'H＝GH，∴∠B'＝∠B'GH，由对顶角相等得：∠AGE＝∠B'GH，∴∠AGE＝∠B'，由折叠的性质得：∠B＝∠B'，∴∠AGE＝∠B，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD＝2，∴∠A+∠B＝90°，，BD＝BC﹣CD＝6，∴∠A+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝90°，即B'E⊥AB，由折叠的性质得：B'E＝BE，B'D＝BD＝6，设B'E＝BE＝x（0＜x＜10），则AE＝AB﹣BE＝10﹣x，在△AEG和△ACB中，，∴△AEG∽△ACB，∴，即，解得：，EG＝，∴，，∵B'H＝GH，HF⊥B'E，∴，又∵B'E⊥AB，HF⊥B'E，∴AB∥HF，∴△HFG∽△AEG，∴，即，解得，∴，CH＝HG﹣CG＝，在Rt△CDH中，CH2+CD2＝HD2，即，解得（不符合题意，舍去），即，故答案为：．【点评】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•雁塔区校级一模）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点都在格点上．（1）B点关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，2）；（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；（3）在（2）条件下，点A1的坐标为（﹣2，3）；请求出△A1O1B1的面积．【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．【答案】见试题解答内容【分析】（1）首先根据坐标系确定B点坐标，再根据关于y轴的对称点的坐标横坐标相反，纵坐标不变可得答案；（2）首先确定A、B、O三点向左平移3个单位长度后的对应点位置，再连接即可；（3）根据坐标系写出点A1的坐标，再利用正方形的面积减去周围多余三角形的面积可得答案．【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）；（2）如图所示：（3）点A1的坐标为（﹣2，3），△A1O1B1的面积：3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3＝3.5．故答案为：（﹣2，3）．【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．17．（2025•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．（1）若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是（3，2），（4，﹣1）；（2）请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；②在图2中，作出△ABO的高AQ．【考点】作图﹣轴对称变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；（2）①构造等腰直角三角形解决问题即可；②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求．【解答】解：（1）如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）；（2）①如图1在，点P即为所求（答案不唯一，（2，2），（0，﹣1）也满足条件）；②如图2中，线段AQ即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型18．（2024•南宁一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（3，4），C（4，2）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）通过平移，使C1移动到原点O的位置，画出平移后的△A2B2C2．（3）在△ABC中有一点P（m，n），则经过以上两次变换后点P的对应点P2的坐标为（m﹣4，﹣n+2）．【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．【专题】作图题；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）依据C