第13讲函数的零点与方程的解（学生版）

第13讲函数的零点与方程的解【基础回顾】知识点1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【必备知识】若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．题型一函数零点所在区间的判定确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【例题精讲】1．函数f(x)=eA．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）2．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（）A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）3．已知点(12，18)在幂函数f（x）＝xα的图象上，则函数h（x）＝A．（1.5，2） B．（2，2.5） C．（2.5，3） D．（3，3.5）（多选）4．若函数f（x）＝2ex的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点的横坐标所在的区间为（k，kA．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2（多选）5．函数f(x)=1A．（1，2） B．（2，4） C．（4，8） D．（8，+∞）题型二函数零点个数的判定求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【例题精讲】1．当x∈[0，π2)∪(π2，3π2)∪(A．3 B．4 C．5 D．62．函数y＝2x2﹣3x+1的零点个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定3．函数f（x）＝（a+1）x﹣ax+x（a＞1）的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．无法确定，与a的取值有关（多选）4．定义max{a，b}=a，a≥bb，a＜b，已知函数f（x）＝max{a﹣|x﹣1|，x2﹣（2+a）x+2a}，0＜a＜1，则函数y＝f（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（多选）5．已知函数f(x)=a⋅2x+b⋅(12)x，其中A．当ab＞0时，函数f（x）有且只有两个零点 B．当ab＜0时，函数f（x）有且只有一个零点 C．当a﹣b＝0时，函数y＝f（x）的图象是轴对称图形 D．当a+b＝0时，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形题型三根据函数零点求参数根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.【例题精讲】1．若函数f(x)=2x−a，x≤2，A．[﹣4，+∞） B．（﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4] D．[4，+∞）2．已知函数f（x）＝x2﹣acosx+2有且仅有一个零点，则实数a的值为（）A．12 B．−12 3．若函数f(x)=−alnx+x2−1A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（0，1）∪（1，+∞） D．（0，1）（多选）4．已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣a有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法正确的是（）A．f（x）为偶函数 B．a＜﹣2或a＞2 C．x1+x2＝0 D．x1x2＜0（多选）5．设函数f(x)=|log2(x−1)|，1＜x≤3，(x−4)2，x＞3，若f（x）＝a有四个实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜xA．103 B．113 C．3 题型四根据复合函数零点求参数对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.【例题精讲】1．已知函数f(x)=lnx，x＞0−x2+2ax，x≤0，若函数y＝f（fA．a＞1 B．a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1＜a＜02．已知函数f(x)=|lnx|，x＞0ex，x≤0，若函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣A．[﹣1，e） B．（﹣∞，﹣1]∪[e，+∞） C．（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）3．若函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0，|lnx|，x＞0，则函数y＝[f（x）]2A．5 B．6 C．7 D．8（多选）4．已知函数f(x)=−x2+4x，x＞0ln(−x+1)+3，x≤0，函数g（x）＝f（fA．若m＝0，则g（x）有1个零点 B．若m＝3，则g（x）有6个零点 C．若g（x）有5个零点，则m的取值范围为（0，3） D．g（x）一定有零点（多选）5．已知函数f(x)=|lnx|，x＞0，(12)x，x⩽0，g（x）＝﹣x2+2|x|+3，h（x）＝fA．当m＝0时，h（x）有1个零点 B．当0＜m＜1时，h（x）有4个零点 C．h（x）可能有6个零点 D．当h（x）的零点个数最多时，m的取值范围为（ln3，ln4）课时精练一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）＝x2﹣log0.3x，则该函数的零点所在区间是（）A．（0，0.3） B．（0.3，0.5） C．（0.5，1） D．（1，2）2．函数f（x）=1xA．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）3．若关于x的方程mx2+2x+2＝0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜2 B．−1＜m＜12 C．m≤124．已知函数f（x）为偶函数，且f(x)=2|x−1|，0≤x＜22x−1，x≥2，若方程f（A．（1，2） B．[1，2] C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）5．若函数f(x)=−x2−2x+3，x≤0，|lnx|，x＞0，则函数y＝[f（x）]2A．5 B．6 C．7 D．86．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f(x)=1+lnx，x≥13−2x，0≤x＜1，若关于x的方程f2（x）﹣（a+8）f（x）+8a＝0恰有4个不同的实根，则实数A．（3，+∞） B．（3，+∞）∪{1} C．（3，8）∪（8，+∞） D．（3，8）∪（8，+∞）∪{1}7．设函数g（x）=x2+3x+1A．1 B．3 C．1或3 D．3或58．已知函数f(x)=ex，x≤0，lnx，x＞0，g（x）＝x﹣3，方程f（g（x））＝﹣3﹣g（x）有两个不同的根，分别是x1，x2，则x1A．0 B．3 C．6 D．9二．多选题（共3小题）（多选）9．已知函数f(x)=(12)x−1，x⩽0，−x(x−2)，x＞0.若关于x的方程f（x）＝m有3个实数解x1，x2，x3（x1A．x1+x2＜0 B．1＜x1+x2+x3＜2 C．−1＜xD．关于x的方程f（x）＝f（m）恰有3个实数解（多选）10．若函数f(x)=xA．值域为R B．单调递增区间是[﹣1，0]和（0，1] C．f（x）有两个零点 D．方程f[f(x)]−1（多选）11．已知函数f(x)=−2A．当m＜﹣2，n＜﹣2时，f（m+n）＝f（m）+f（n）+8 B．对于∀x1∈（0，2）∀x2∈（﹣2，0），|f（x1）﹣f（x2）|≤2 C．若方程f（x）﹣a＝0有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的范围为(−2，−3D．方程f[f（x）]＝2有6个不相等的实根三．填空题（共3小题）12．已知g（x）＝2x﹣2+1，若|g（x+2）﹣3|＝6b有两个不相等的实根，则b的取值范围是．13．已知函数f(x)=−x2−2x+1，x≤02x−2，x＞0，若存在实数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则（a14．已知函数f(x)=|lg(−x)|，x＜0，x2−6x+4，x≥0，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+3有8个不同的零点，则实数四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝x2﹣2|x2﹣x|﹣m．（1）求f（x）的单调区间；（2）讨论f（x）零点的个数；（3）若f（x）有4个零点x1，x2，x3，x4，判断x1+x2+x3+x4是否为定值，并说明你的理由．16．已知函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且满足f（﹣1）＝f（2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在[a，a+2]上的最小值为h（a），求h（a）；（3）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的不动点．函数g（x）＝f（x）﹣tx+t有两个不相等的不动点x1，x2，且x1＞0，x2＞0，①求实数t的取值范围；②求x117．已知a＞0且a≠1，函数f(x)=loga2（1）方程f（x）＝0的两根为x1和x2，且x1•x2＝3，求a的值；（2）当a＝