奇偶性课件-高一上学期数学人教A版-2

3.2.2函数的奇偶性初中：我们学过了轴对称图形与中心对称图形，请判断下列图形的对称情况？轴对称图形复习回顾中心对称图形数学中的对称美问题：请从对称的角度把这些函数图象分下类吧：Oxy我们把函数图象的这种对称性称为函数的奇偶性图像关于y轴对称图像关于原点对称新知探究探究1：已知函数f(x)=x2，请完成下列表格，并画出对应函数图象.f(-x)…－3－2－10123………===思考：如何通过自变量及函数值来描述其对称特征呢？9410149f(x)=x2f(x)=

(-x)2=x2=偶函数同心同德，睿智担当，乐于奉献，敢于拼搏新知探究偶函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么称函数f(x)为偶函数.新知生成

偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称．反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．

【易错点】判断函数是偶函数的前提：函数的定义域必须关于原点对称.

图象关于y轴对称，该函数是偶函数图象不关于y轴对称，该函数不是偶函数新知生成

x-3

-2-10123

x-3-2-10123

图象都是关于原点对称.

奇函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么称函数f(x)为奇函数.新知生成奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称．反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．3．函数的奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性．

总结新知奇偶性定义图象特点等价条件前提设f(x)的定义域为I偶函数∀x∈I,都有-x∈I，都有f(-x)=f(x)则函数f(x)叫做偶函数关于y轴对称奇函数∀x∈I,都有-x∈I，都有f(-x)=-f(x)则函数f(x)叫做奇函数关于原点对称备注f(x)－f(-x)=0f(x)＋f(-x)=0①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称②不能用特殊值判断奇偶性.如:f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数③已知奇偶性可代特殊值求参数.④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0.证:f(0)=-f(0)(1)定义域关于原点对称是函数为奇函数、偶函数的必要条件．(2)奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数为奇函数(或偶函数)．(3)既奇又偶的函数有且只有一类：f(x)＝0，x∈D，且D是关于原点对称的集合．奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，判断函数的奇偶性先明确它的定义域．题型一判断函数奇偶性判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：(2)图象法：

(链接教材P84例6)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋2x2＋3；解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＋3＝x4＋2x2＋3＝f(x)，是偶函数．

练习（第58页）

(链接教材P85练习T1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请把函数y＝f(x)的图象补充完整；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．题型二奇(偶)函数的图象及应用

(链接教材P85练习T1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请把函数y＝f(x)的图象补充完整；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．题型二奇(偶)函数的图象及应用(3)由图象可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).[延伸探究](变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：(1)由题意作出函数图象如图所示．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(－1，1)．(3)由图象可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．注意

作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0)．2．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．①

②

f(3)＝－2.f(1)＞f(3)．练习（第58页）OxyOxy

(2024·湖南衡阳高一期末)设f(x)＝ax3＋bx－5，且f(－7)＝7，则f(7)＝(

)A．－7

B．7

C．17

D．－17解析：D

令g(x)＝f(x)＋5＝ax3＋bx，∵g(－x)＝a(－x)3＋b(－x)＝－ax3－bx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．∵f(－7)＝7，∴g(－7)＝f(－7)＋5＝12.又g(－7)＝－g(7)，∴g(7)＝－12.又g(7)＝f(7)＋5，∴f(7)＝－17，故选D.题型三利用奇偶性求函数值3．(1)(2025·山东淄博高一上期中)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋x＋1，若f(m)＝5，则f(－m)＝(

)A．－5 B．－3C．3 D．5解析：B

∵f(m)＝am5＋bm3＋m＋1＝5；∴am5＋bm3＋m＝4；∴f(－m)＝a(－m)5＋b(－m)3＋(－m)＋1＝－(am5＋bm3＋m)＋1＝－4＋1＝－3.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝______，b＝_____．

题型四利用奇偶性求参数值

1．知识网络2．特别提醒判断函数的奇偶性，不要忽略函数的定义域．(教师用书独具)

学情诊断2．已知函数g(x)＝f(x)－x，其中g(x)是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(

)A．－1 B．1C．－3 D．3解析：C

∵g(x)＝f(x)－x，f(2)＝1，∴g(2)＝f(2)－2＝1－2＝－1，又∵g(x)是偶函数，∴g(－2)＝f(－2)＋2＝－1，∴f(－2)＝－3.3．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于________对称．解析：∵f(－