2025-2026学年山东省潍坊市青州市、诸城市、安丘市九年级（上）期中数学试卷(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省潍坊市青州市、诸城市、安丘市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.tan30°的值为（）A. B. C. D.2.方程x（x-1）=0的根是（）A.x=1 B.x=-1 C.x1=-1，x2=0 D.x1=1，x2=03.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,则（）A.a=b•sinA B.b=c•cosB C.a=b•tanA D.a=b•tanB4.在平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（3，5），半径为4，那么x轴与⊙M的位置关系是（）A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切5.下列关于x的方程中，两实数根的和等于3的方程是（）A.x2-3x+3=0 B.x2+3x-3=0 C.2x2-6x=0 D.x2-3=06.自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB=110°，∠ABC=130°，两车轮的直径均为60cm,现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上安全防护作用的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约（）A.300πcm2 B.500πcm2 C.900πcm2 D.1200πcm27.已知m是一元二次方程x2-2x-13=0的一个根，则26+6m-3m2的值是（）A.13 B.-13 C.39 D.658.如图，点A，B，C在⊙O上，点B在劣弧AC上，连接OA，OC，CB，作射线AB，已知∠AOC=116°，则∠CBD的度数是（）A.58°

B.116°

C.64°

D.60°9.如图，小亮一家自驾到风景区C游玩.当到达A地后，小亮发现风景区C在A地的北偏东15°方向，但导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，则A，C两地的距离为（）A.千米

B.千米

C.千米

D.6千米10.如图，在5×5的正方形方格图形中，点A，B，C，D，E都在格点上，以AB为直径作⊙O，分别连接BC，BD，DE，BE.有以下结论：①D，E两点都在⊙O上；②；③BC与⊙O相切；④BD平分∠CBE.结论正确的有（）A.①②

B.①③

C.①②③

D.③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若方程x2-6x+8=0的两实数根是等腰三角形的边长，则等腰三角形的周长是

.12.北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动.一位同学乘滑雪板沿坡度为i=1：2.4的斜坡滑行65米，则他下降的高度是

米.13.已知一个正六边形的半径为2，则正六边形的面积是

.14.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲，乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？解：设甲、乙二人出发后相遇的时间为x，根据题意，可列方程：______．15.如图，直线，点A1（0，1），过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此作法进行下去，则的弧长是

.三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

解方程：

（1）x2-6x-3=0；

（2）（x+2）2=3（x+2）.17.(本小题6分)

阅读材料，关于三角函数有以下公式：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ；

例如.

请利用上述公式，求sin15°的值.18.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=10，cosB=.

（1）求AD的长；

（2）若BD=2CD，求△ADC外接圆的半径.19.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程x2-2x+1-m2=0.

（1）判断该方程实数根的情况；

（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，是否存在实数m,使得代数式（x1-1）（x2-1）的值为-2？若存在求出实数m的值，若不存在请说明理由.20.(本小题11分)

如图，⊙O是四边形ABDC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接BC，CF，且∠DCF=∠CBD.

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若AD=10，CD=6，求FC的长.21.(本小题10分)

如图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全.图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中，靠背AB垂直于水平面，小桌板CD与水平面平行，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，MN为杯托底面圆的直径，测得CF=15cm,EF=6cm,BC=38cm,∠ABC=24°.（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）

（1）如图2，∠BCE=______°；

（2）如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm）

（3）如图3，靠背AB绕点B旋转至A′B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度EM为0.7cm,一个高为20.3cm的圆柱形水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计），是否能竖直放在杯托处？22.(本小题10分)

在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板ABCD，且AB=60cm,BC=150cm、要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒.小亮按照图2四角剪去四个相同的长方形，恰好得到收纳盒的展开图（白色部分），并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分.

（1）若收纳盒高是15cm,则该收纳盒底面的边EF=______cm,EH=______cm；

（2）若收纳盒的底面积是1100cm2，求该收纳盒底面的边EF，EH的长度.23.(本小题12分)

【给出定义】

我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆.

【观察发现】

如图，小莹发现：“任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖”.从而，得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论.

【问题解决】

（1）结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意，请写出你的发现；

（2）在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______；

（3）如图4，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（-4，0），点C是y轴正半轴上的一个点，且∠BCA=45°.

①求△ABC的最小覆盖圆的半径；

②求点C的坐标.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】10

12.【答案】25

13.【答案】6

14.【答案】（7x-10）2=102+（3x）2

15.【答案】

16.【答案】（1）x1=3+2，x2=3-2

（2）x1=-2，x2=1

17.【答案】．

18.【答案】（1）AD的长是6

（2）△ADC外接圆的半径为

19.【答案】（1）该方程有两个实数根

（2）m=±

20.【答案】（1）连接OC，则OC=OA，

∴∠OCA=∠CAD，∵∠DCF=∠CAD，

∴∠DCF=∠OCA，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠OCF=∠OCD+∠DCF=∠OCD+∠OCA=∠ACD=90°，

∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，

∴CF是⊙O的切线

（2）

21.【答案】114

（2）点C到靠背AB的距离约为15.6cm

（3）一个高为20.3cm的圆柱形水杯能竖直放在杯托处．

理由：延长ME交BC于点G，则GM∥AB，∠CEG=90°，

∴∠CGM=∠ABC=24°，

∵CF=15cm，EF=6cm，

∴CE=15-6=9（cm），

∴GE=≈≈20（cm），

∵EM=0.7cm，

∴GM=20+0.7=20.7（cm