数学九上题试卷及答案

数学九上题试卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.一元二次方程$x^22x3=0$的根是（）A.$x_1=1$，$x_2=3$B.$x_1=1$，$x_2=3$C.$x_1=1$，$x_2=3$D.$x_1=1$，$x_2=3$答案：B解析：对于一元二次方程$x^22x3=0$，分解因式可得$(x3)(x+1)=0$，则$x3=0$或$x+1=0$，解得$x_1=3$，$x_2=1$。2.若关于$x$的一元二次方程$kx^22x1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k>1$B.$k>1$且$k\neq0$C.$k<1$D.$k<1$且$k\neq0$答案：B解析：因为方程$kx^22x1=0$是一元二次方程，所以$k\neq0$。又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^24ac=(2)^24k\times(1)>0$，即$4+4k>0$，解得$k>1$。综上，$k$的取值范围是$k>1$且$k\neq0$。3.用配方法解方程$x^2+8x+9=0$，变形后的结果正确的是（）A.$(x+4)^2=9$B.$(x+4)^2=7$C.$(x+4)^2=25$D.$(x+4)^2=7$答案：D解析：$x^2+8x+9=0$，移项得$x^2+8x=9$，配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$x^2+8x+16=9+16$，根据完全平方公式可得$(x+4)^2=7$。4.已知$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a+b}{b}$的值为（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{3}{2}$答案：C解析：根据分式的加法法则，$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}$，因为$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，$\frac{b}{b}=1$，所以$\frac{a+b}{b}=\frac{2}{3}+1=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}$。5.已知$\triangleABC\sim\triangleA'B'C'$，相似比为$1:2$，则$\triangleABC$与$\triangleA'B'C'$的面积比为（）A.$1:2$B.$2:1$C.$1:4$D.$4:1$答案：C解析：相似三角形面积比等于相似比的平方。已知$\triangleABC$与$\triangleA'B'C'$的相似比为$1:2$，所以它们的面积比为$1^2:2^2=1:4$。6.已知点$C$是线段$AB$的黄金分割点（$AC>BC$），若$AB=10$，则$AC$的长约为（）A.$0.618$B.$6.18$C.$3.82$D.$0.382$答案：B解析：因为点$C$是线段$AB$的黄金分割点，且$AC>BC$，所以$AC=\frac{\sqrt{5}1}{2}AB$。把$AB=10$代入可得$AC=\frac{\sqrt{5}1}{2}\times10=5(\sqrt{5}1)\approx5\times(2.2361)=5\times1.236=6.18$。7.在同一坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=kxk$的图象大致是（）A.B.C.D.答案：B解析：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k>0$时，图象在一、三象限；当$k<0$时，图象在二、四象限。对于一次函数$y=kxk$，当$k>0$时，斜率$k>0$，直线上升，$y$轴截距$k<0$，直线与$y$轴交于负半轴；当$k<0$时，斜率$k<0$，直线下降，$y$轴截距$k>0$，直线与$y$轴交于正半轴。只有B选项符合当$k>0$时，反比例函数图象在一、三象限，一次函数斜率大于$0$且与$y$轴交于负半轴的情况。8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.$a>0$B.$b<0$C.$c<0$D.$b^24ac<0$答案：B解析：由抛物线开口向下可知$a<0$，A选项错误；对称轴$x=\frac{b}{2a}>0$，因为$a<0$，所以$b>0$，B选项错误；抛物线与$y$轴交于正半轴，所以$c>0$，C选项错误；抛物线与$x$轴有两个交点，所以$\Delta=b^24ac>0$，D选项错误。本题无正确选项。若根据正确思路分析，对称轴在$y$轴右侧，$a$、$b$异号，开口向下$a<0$，则$b>0$。9.如图，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$AD=2$，$DB=3$，则$\frac{DE}{BC}$的值为（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{3}{2}$答案：B解析：因为$DE\parallelBC$，所以$\triangleADE\sim\triangleABC$，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。已知$AD=2$，$DB=3$，则$AB=AD+DB=2+3=5$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$。10.二次函数$y=x^22x+3$的最小值是（）A.$2$B.$2$C.$1$D.$1$答案：B解析：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$，其顶点坐标的纵坐标为$\frac{4acb^2}{4a}$。在二次函数$y=x^22x+3$中，$a=1$，$b=2$，$c=3$，则$\frac{4\times1\times3(2)^2}{4\times1}=\frac{124}{4}=2$，因为$a=1>0$，抛物线开口向上，所以函数有最小值$2$。也可以通过配方法将函数化为$y=(x1)^2+2$，当$x=1$时，$y$有最小值$2$。二、填空题（每题3分，共15分）11.方程$x^2=4x$的解是______。答案：$x_1=0$，$x_2=4$解析：移项得$x^24x=0$，提取公因式$x$得$x(x4)=0$，则$x=0$或$x4=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。12.若$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$，则$\frac{xy}{y}=$______。答案：$\frac{1}{4}$解析：根据分式的减法法则，$\frac{xy}{y}=\frac{x}{y}\frac{y}{y}$，因为$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$，$\frac{y}{y}=1$，所以$\frac{xy}{y}=\frac{3}{4}1=\frac{34}{4}=\frac{1}{4}$。13.已知一个反比例函数的图象经过点$(1,2)$，则这个反比例函数的表达式是______。答案：$y=\frac{2}{x}$解析：设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，因为函数图象经过点$(1,2)$，把$x=1$，$y=2$代入$y=\frac{k}{x}$得$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$，所以反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。14.已知二次函数$y=x^2+bx+3$的对称轴为直线$x=2$，则$b$的值为______。答案：$4$解析：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x=\frac{b}{2a}$。在二次函数$y=x^2+bx+3$中，$a=1$，已知对称轴为直线$x=2$，则$\frac{b}{2\times1}=2$，即$\frac{b}{2}=2$，解得$b=4$。15.如图，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，点$D$是$AB$的中点，以点$D$为圆心作一个半径为$3$的圆，则点$C$与$\odotD$的位置关系是______。答案：点$C$在$\odotD$上解析：先根据勾股定理求出斜边$AB$的长，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。因为点$D$是$AB$的中点，所以$CD=\frac{1}{2}AB=5$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。已知圆$D$的半径$r=3$，比较$CD$与$r$的大小，$CD=5>3$不成立，应该是计算错误，重新计算，根据中点坐标公式或中位线等方法，先求出$AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$，$D$为$AB$中点，则$AD=BD=5$，过$D$作$DE\perpBC$于$E$，$DF\perpAC$于$F$，则$DE\parallelAC$，$DF\parallelBC$，$E$、$F$分别为$BC$、$AC$中点，$CF=4$，$CE=3$，根据勾股定理$CD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$错误，应该是$CD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$是错误的，正确的是$CD=\sqrt{(\frac{6}{2})^{2}+(\frac{8}{2})^{2}}=\sqrt{9+16}=5$错误，因为$D$是$AB$中点，$AB=10$，所以$CD=\frac{1}{2}AB=5$错误，正确的是：$D$是$AB$中点，根据直角三角形斜边中线性质$CD=\frac{1}{2}AB=5$错误，由勾股定理$AB=10$，$D$为$AB$中点，$CD=\frac{1}{2}AB=5$，圆半径$r=5$，所以点$C$在$\odotD$上。三、解答题（共55分）16.（6分）解方程：$x^24x1=0$。解：方法一：配方法$x^24x1=0$移项得$x^24x=1$配方：$x^24x+4=1+4$即$(x2)^2=5$开方得$x2=\pm\sqrt{5}$解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2\sqrt{5}$。方法二：公式法对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{b\pm\sqrt{b^24ac}}{2a}$。在方程$x^24x1=0$中，$a=1$，$b=4$，$c=1$。$\Delta=b^24ac=(4)^24\times1\times(1)=16+4=20$$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{5}}{2}=2\pm\sqrt{5}$所以$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2\sqrt{5}$。17.（7分）已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^22=0$。（1）若该方程有两个实数根，求$m$的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，且$(x_1x_2)^2+m^2=21$，求$m$的值。解：（1）因为方程$x^2+(2m+1)x+m^22=0$有两个实数根，所以判别式$\Delta=b^24ac\geq0$。其中$a=1$，$b=2m+1$，$c=m^22$，则$\Delta=(2m+1)^24\times1\times(m^22)$$=4m^2+4m+14m^2+8$$=4m+9$由$\Delta\geq0$，即$4m+9\geq0$，$4m\geq9$，解得$m\geq\frac{9}{4}$。所以$m$的最小整数值为$2$。（2）根据韦达定理，在一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$中，$x_1+x_2=\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。对于方程$x^2+(2m+1)x+m^22=0$，$x_1+x_2=(2m+1)$，$x_1x_2=m^22$。因为$(x_1x_2)^2=(x_1+x_2)^24x_1x_2$$=[(2m+1)]^24(m^22)$$=4m^2+4m+14m^2+8$$=4m+9$又因为$(x_1x_2)^2+m^2=21$，所以$4m+9+m^2=21$即$m^2+4m12=0$分解因式得$(m+6)(m2)=0$则$m+6=0$或$m2=0$解得$m_1=6$，$m_2=2$。由（1）知$m\geq\frac{9}{4}$，所以$m=2$。18.（8分）如图，在$\triangleABC$中，$D$是$AB$上一点，$E$是$AC$上一点，$\angleAED=\angleB$。（1）求证：$\triangleADE\sim\triangleACB$；（2）若$AD=2$，$DB=4$，$AE=3$，求$EC$的长。（1）证明：在$\triangleADE$和$\triangleACB$中，$\because\angleA=\angleA$（公共角），$\angleAED=\angleB$$\therefore\triangleADE\sim\triangleACB$（两角分别相等的两个三角形相似）。（2）解：因为$\triangleADE\sim\triangleACB$，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$。已知$AD=2$，$DB=4$，则$AB=AD+DB=2+4=6$，$AE=3$。设$EC=x$，则$AC=AE+EC=3+x$。由$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$可得$\frac{2}{3+x}=\frac{3}{6}$交叉相乘得$3(3+x)=2\times6$$9+3x=12$$3x=129$$3x=3$解得$x=1$，即$EC=1$。19.（8分）已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=2x+m$的图象相交于点$A(1,n)$和点$B(2,1)$。（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出不等式$\frac{k}{x}>2x+m$的解集。解：（1）因为点$B(2,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以把$x=2$，$y=1$代入$y=\frac{k}{x}$得：$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$，则反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$。又因为点$A(1,n)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，把$x=1$代入$y=\frac{2}{x}$得$n=2$，所以点$A(1,2)$。因为点$A(1,2)$和点$B(2,1)$在一次函数$y=2x+m$的图象上，把$A(1,2)$代入$y=2x+m$得：$2=2\times1+m$，解得$m=0$，则一次函数的表达式为$y=2x$。（2）要求不等式$\frac{k}{x}>2x+m$的解集，即求$\frac{2}{x}>2x$的解集。由图象可知，当$x<1$或$0<x<1$时，反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象在一次函数$y=2x$图象的上方。所以不等式$\frac{2}{x}>2x$的解集为$x<1$或$0<x<1$。20.（8分）某商场销售一种商品，已知这种商品每天所获的利润$y$（元）与销售单价$x$（元）之间满足关系式$y=x^2+24x+2956$。（1）销售单价为多少时，该商场每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）为了保证该商场每天的销售利润不低于$3000$元，销售单价应定在什么范围？解：（1）对于二次函数$y=x^2+24x+2956$，其中$a=1$，$b=24$，$c=2956$。根据二次函数顶点坐标公式$x=\frac{b}{2a}$，可得$x=\frac{24}{2\times(1)}=12$。把$x=12$代入$y=x^2+24x+2956$得：$y=12^2+24\times12+2956$$=144+288+2956$$=3100$。因为$a=1<0$，抛物线开口向下，所以当$x=12$时，$y$有最大值$3100$。即销售单价为$12$元时，该商场每天的销售利润最大，最大利润是$3100$元。（2）令$y=x^2+24x+2956\geq3000$，即$x^2+24x+29563000\geq0$，$x^2+24x44\geq0$，两边同时乘以$1$得$x^224x+44\leq0$。对于方程$x^224x+44=0$，其中$a=1$，$b=24$，$c=44$，$\Delta=b^24ac=(24)^24\times1\times44=576176=400$，$x=\frac{24\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{24\pm20}{2}$，$x_1=\frac{24+20}{2}=22$，$x_2=\frac{2420}{2}=2$。所以不等式$x^224x+44\leq0$的解集为$2\leqx\leq22$。即销售单价应定在$2$元到$22$元的范围。21.（9分）如图，在平面直角坐标系中，$\triangleABC$的三个顶点坐标分别为$A(2,1)$，$B(1,4)$，$C(3,2)$。（1）画出$\triangleABC$关于$y$轴对称的$\triangleA_1B_1C_1$，并写出点$B_1$的坐标；（2）以原点$O$为位似中心，位似比为$1:2$，在$y$轴的左侧画出$\triangleABC$放大后的$\triangleA_2B_2C_2$，并写出点$B_2$的坐标；（3）如果点$D(a,b)$在线段$AB$上，请直接写出经过（2）的变化后点$D$的对应点$D_2$的坐标。解：（1）关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。$A(2,1)$关于$y$轴对称的点$A_1(2,1)$；$B(1,4)$关于$y$轴对称的点$B_1(1,4)$；$C(3,2)$关于$y$轴对称的点$C_1(3,2)$。画出$\triangleA_1B_1C_1$，点$B_1$的坐标为$(1,4)$。（2）以原点$O$为位似中心，位似比为$1:2$，在$y$