期末复习(7)直角三角形的边角关系课件北师大版九年级数学下册

期末复习(7)——直角三角形的边角关系一

考点过关考点1锐角三角函数的定义1.如图，由图中数据可知tanα等于()A.B.2

C.D.A

2.在△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的三角函数值()A．不变B．扩大3倍C．缩小3倍D．不能确定A考点2根据三角函数值

求边、角3.在△ABC中,∠C＝90°,BC＝6,sinA＝,那么AB＝()A．8B．9C．10D．12C

4.如果∠B,∠A均为锐角,且sinA＝,cosB＝,那么()A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°C．∠A＝60°，∠B＝30°D．∠A＝∠B＝60°A考点3特殊角的三角函数5.计算6tan45°－2cos60°的结果是()A．B．4C．D．5D6.在△ABC中，如果∠C＝90°，sinA＝，那么tanA＝_______．7.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，AB＝2，则∠A＝______.45°

考点4解直角三角形（求出所有未知边、角）8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝3，解这个直角三角形．解：BC＝

＝∵∴∠A＝30°.∴∠B＝60°.9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长度为()A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°C

考点5解直角三角形的应用10.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为_____m.11.如图，一渔船由西往东航行，在点A测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达点B，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是()A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里C

二

核心考题12.在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，则tanB为()A．B．C．D．D

13.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠B＝30°，CD＝1，求AD，BD的长．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C＋∠B＝∠C＋∠CAD＝90°.∵∠B＝30°，∴∠CAD＝∠B＝30°.∵CD＝1，∴AC＝2，∴BC＝2AC＝4.∴BD＝BC－CD＝4－1＝3.

14.(2024·河源一模)无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A100米，同时测得点P距楼顶点C30米，点A处的俯角为60°，楼顶点C处的俯角为30°.求大楼的高度BC.(结果保留根号)解：如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，∵CB⊥AB，∴四边形CQHB是矩形．∴QH＝BC.依题意，得AP＝100米，PC＝30米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，∴PH＝AP·sin60°＝100×＝50(米)，PQ＝PC＝15(米).∴BC＝QH＝PH－PQ＝(50－15)(米).答：大楼的高度BC为(50－15)米． 15.2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离.(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)解：如图，连接AB，取AB的中点D，连接CD，∵AC＝BC，D为AB的中点，∴中线CD为等腰三角形ABC的角平分线，AD＝BD＝AB.∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°.在Rt△ACD中，sin∠ACD＝∴AD＝10·sin50°≈7.66(m).∴AB＝2AD≈15.3(m).答：A，B两点间的距离大约是15.3m． 16.如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度为，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°.求坝底AD的长度．解:如图,过点B,C分别作AD的垂线,垂足分别为E,F,则BE＝CF＝2米，EF＝BC＝3米．∵AB的坡度为∴AE＝米．∵∠ADC＝30°，∴∴AD＝AE＋EF＋FD＝

＝(米).答：坝底AD的长度为米．17.如图,一条输电线路从A地到B地需要经过C地,图中AC＝20千米,∠CAB＝30°,∠CBA＝45°,因线路整改需要,将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路．(1)求新铺设的输电线路AB的长度．解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝AC＝10(千米).∴BD＝CD＝10千米，AD＝AC·cos30°

＝20×

＝10(千米).∴AB＝AD＋BD＝(10＋10)(千米).(2)问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米？(2)∴AC＋BC－AB＝20＋10－(10＋10)＝10(1＋－)(千米).答：整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了10(1＋－)千米．

三

提升考题18.(2024·深圳校级一模)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在边BC上，连接EA，EA＝EC.将线段EA绕点A逆时针旋转90°，点E的对应点为F，连接CF，则cos∠ACF的值为()A．B．C．D．D

19.(1)若3tan(α－20°)＝，则锐角α的度数是_____．(2)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E，BE＝16cm，sinA＝，则此菱形的面积为_____cm2.50°

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20.(2024·佛山一模)如图是一辆路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，AB＝BC＝4米．当∠1＝75°，∠2＝45°时，工作篮底部到支撑平台的距离是________米．21.如图，浦西对岸的高楼AB，在C处测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进100米到达D处，在D处测得A的仰角为45°，求高楼AB的高．解：依题意，得∠ACB＝30°，∠ADB＝45°，CD＝100米，设AB＝BD＝x米．在Rt△ABC中，tan30°＝，∴解得x＝50＋50.答：高楼AB的高为(50＋50)米．22.如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知A，B，D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝60m.(1)求点B到AC的距离；(2)求线段CD的长度．

图1图2

解：(1)如图2，过点B作BE⊥AC于点E，∵∠A＝30°，∴(2)∵∠CBD＝75°，∴∠ACB＝∠CBD－∠A＝75°－30°＝45°.∴△BCE为等腰直角三角形．∴CE＝BE＝30m.∵AB＝60m，BE＝30m，∴∴AC＝AE＋CE＝(30＋30)(m).∴CD＝AC＝(15＋15)(m).23.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线相交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinE＝，求AD的长．解：(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝∴∠E＝30°，BE＝6·tan60°＝6.又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝,∠E＝30°，∴∴(2)∵sinE＝，∴sinA＝.∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x.∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴解得DE＝4.∴AD＝AE－DE＝6，即AD的长是6.24.(2024·丰顺县校级一模)如图1是一台实物投影仪的示意图，折线A－B－C表示可转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3cm，支架AB＝30cm，探头CD＝10cm.(1)当支架AB与水平线的夹角为75°,与支架BC的夹角为90°,且BC＝AB时,求探头的端点D到桌面MN的距离.(结果保留一位小数,参考数据:≈2.45,≈1.73,≈1.41)解：(1)如图1，过点A作EF∥MN，连接AC，延长CD交EF于点E.依题意，得BC＝AB＝30cm，∠BAF＝75°，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°.∴∠CAE＝180°－∠BAF－∠BAC＝60°.∵CD始终垂直于水平桌面MN，∴∠E＝90°.∴CE＝AC·sin∠CAE＝15≈36.8(cm).∵投影仪的底座高3cm，∴探头的端点D到桌面MN的距离约为36．8－10＋3＝29.8(cm).(2)为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图2所示，使得AB与水平线的夹角为53°，同时调节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为63°，此时支架BC的长度为多少？(结果保留一位小数，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan63°≈2，sin53°≈0.8，≈3.16)(2)如图2，过点A作AF∥MN，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠AED＝90°.依题意，得BD∥AF，∠BAF＝53°，∴∠ABE＝53°.∵AB＝30cm，∴AE＝AB·sin∠ABE＝30×sin53°

≈30×0.8＝24(cm).∴依题意，得∠BDA＝63°，∴∴DB＝D