2026届高三二轮复习试题数学3.排列、组合与二项式定理

3.排列、组合与二项式定理一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.1.(2025河北衡水模拟)(2x-1x)6的展开式中第5项的系数为(A.60 B.64 C.72 D.842.(2025山东菏泽二模)某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言,要求甲、乙2名同学至少有1人参加,那么不同的选法有()A.32种 B.20种 C.16种 D.10种3.(2025河南洛阳模拟)已知(x+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,则a2=()A.1080 B.80 C.-10 D.-804.(2025湖北荆州模拟)函数f(x)=x4-C41x3+C42x2-C43A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-25.(2025山东聊城二模)若(1+ax2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为12,则其展开式中所有项的系数的和为()A.16 B.32 C.48 D.646.(2025山东枣庄模拟)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有()A.120个 B.480个 C.288个 D.240个7.(2025重庆高三检测)在(3x-123x)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,A.512 B.1C.27 D.8.(2025山东潍坊二模)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到三个社区做志愿服务工作,每个社区至少安排1人,每名志愿者只到一个社区,其中甲、乙被安排在同一个社区的概率为()A.325 B.1C.625 D.二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2025浙江温州二模)已知(1-x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025,则下列选项正确的有()A.a0=1 B.a1+a2+…+a2025=0C.a1+a2024=0 D.a0+a2+a4+…+a2024=2202410.(2025江西景德镇模拟)现有3名女生、4名男生共7名同学排成一纵队做游戏,下列说法正确的有()A.若游戏纵队变为环形首尾相接,不同的排法有720种B.男女相间的不同排法有144种C.男生排在一起、女生也排在一起的概率为1D.男生甲排在正中间的概率为111.(2025广东肇庆模拟)已知(mx2+1x)n(常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则下列选项正确的有(A.n=10B.展开式中奇数项的二项式系数的和为256C.展开式中含x15的项的系数为90m8D.若展开式中各项系数的和为1024,则第6项的系数最大三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.(2024江苏淮安模拟)(2x2-x+2)4的展开式中含x3的项的系数是.(用数字填写)13.(2025湖北“新八校”三模)如图,一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置,每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度,记an为第n次跳跃后对应数轴上的数字(n=1,2,…,18),则满足a102=36,a18=2的跳跃方法有14.(2025湖南郴州三模)如图,这是一个平面图形,现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色,每个区域只涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则共有种不同的涂色方案.

答案：1.A解析(2x-1x)6的展开式中第5项为C64(2x)2(-1x)4=60x-2,所以所求的系数为602.C解析从6名同学中任选3名同学共有C63=20种方法,这3名同学中没有甲、乙同学的有C43=4种方法,所以甲、乙至少有1人参加的不同选法有20-4=16种3.B解析设t=x-1,则x=t+1,所以(x+1)5=(t+2)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5.(t+2)5的展开式的通项Tr+1=C5rt5-r×2r=C5r2rt5-r,r=0,1,…,5,取r=3,得a2=C53×24.A解析由题意f(x)=C40x4·(-1)0+C41x3·(-1)1+C42x2·(-1)2+C43x·(-1)3+C44x0·(-1)4=(x-1)4,函数f(x)的图象可由偶函数y=x4的图象向右平移1个单位长度后得到,所以函数f5.C解析(1+ax2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为C43+aC41=12,所以a=2,所以令x=1,(1+2)×(1+1)4=(1+2)×16=48,所以展开式中所有项的系数的和为486.D解析根据题意可分为两类:个位数字为0和个位数字为2或4,当个位数字为0时,小于50000的偶数有C41A43=4×24=96个;当个位数字为2或4时,小于50000的偶数有C21C31A43=144个,所以小于507.C解析因为(3x-123x)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,所以展开式共有7项,n=6,所以展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r3(-123x)r=C6r(-12)8.C解析将甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者安排到三个社区做志愿服务工作,每个社区的人数分别为3,1,1或2,2,1,所以不同的分法种数为(C53+C52C32A22)A33=(10+10×32)×6=150种.现在考虑把甲、乙安排在同一个社区,若甲、乙所安排的社区有3人,则还需从另外3人中抽1人,此时分法种数为C31A39.ACD解析对于A,令x=0,则a0=1,故A正确;对于B,令x=1,则a0+a1+a2+…+a2025=0,①所以a1+a2+…+a2025=-1,故B错误;对于C,a1x=C20251·(-x)1=-2025x,所以a1=-2025,a2024x2024=C20252024·(-x)2024=2025x2024,所以a2024=2025,所以a1+a2024=0,故C正确;对于D,令x=-1,则22025=a0-a1+a2-a3①+②可得22024=a0+a2+a4+…+a2024,故D正确.故选ACD.10.ABD解析对于A,游戏纵队变为环形首尾相接,相当于固定一人,剩下6人全排列,共有A66=720种排法,故A正确;对于B,男女相间时,可先排3名女生,再将4名男生插入到女生排好形成的4个空中(含两端),共有A33A44=144种排法,故B正确;对于C,7名同学排成一纵队共有A77=5040种排法,男生排在一起、女生也排在一起的排法有A33A44A22=288种,故男生排在一起、女生也排在一起的概率为2885040=235,故C错误;对于D,男生甲排在正中间11.AD解析(mx2+1x)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(mx2)n-r·(1x)r=mn-rCnrx4n-5r2,对于A,根据题意可得Cn4=Cn6,则n=10,故A正确;对于B,(mx2+1x)10的展开式中奇数项的二项式系数之和为210-1=512,故B错误;对于C,由4×10-5r2=15,解得r=2,则展开式中含x15的项的系数为m10-2C102=45m8,故C错误;对于D,令x=1,则展开式中各项系数之和为(m+1)10=112.-104解析(2x2-x+2)4的展开式中,含x3的项为C41×(2x2)1×C31(-x)1×22+C40×(2x2)0×C43×(-x)3×213.1305解析由a102=36,得到a10=-6或a10=6.若a10=-6,a18=2,即前10次跳跃,8次向左,2次向右,后面8次跳跃全部向右,有C102=45种;若a10=6,a18=2,即前10次跳跃,8次向右,2次向左,后面8次跳跃6次向左,2次向右,有C102C82=45×28=1260种.所以共有4