2025-2026学年安徽合肥七中高二上学期第一次月考数学试题含答案

高中2024级高二第一学期第一次限时练习数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心和半径分别为（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，42.若直线：与：平行，则实数的值为（）A. B. C. D.3.三棱锥中，，点为中点，点满足，则（）A. B.C. D.4.已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A[－2，0)∪(0，] B.(－∞，－]∪[2，＋∞)C.[－2，] D.(－∞，－2]∪[，＋∞)5.在空间直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.6.当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是A B. C. D.7.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）A B. C. D.8.在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法错误的是（）A.若空间向量，满足，则与夹角为锐角.B.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底.C.若，则存在唯一的实数，使.D.向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1.10.下列说法正确的是（）A.若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限.B.斜率为，在轴截距为3的直线方程为.C.直线关于对称的直线方程是.D.对任意的，直线与直线有公共点.11.如图，正三棱柱中，，点P在线段上（不含端点），则（）A.不存在点P，使得B.面积的最小值为C.的最小值为D.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若空间向量，，则在上的投影向量的坐标为__________．13.平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为__________.14.如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，．①直线与直线是异面直线；②为定值；③三棱锥的外接球表面积的最小值为；④当时，平面与平面的夹角大小为．则以上结论中所有正确结论的序号是______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.直线l经过两直线：和：的交点.（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程.16.如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．（1）证明：平面．（2）若，求点到平面的距离．17.已知圆C过点，，且圆心上，（1）求圆C的方程；（2）已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值.18.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．19.若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：；②加法运算：；③数量积运算：；④向量的模：，对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，（1）对于，判断下列各组向量是否线性相关：①；②；（2）已知线性无关，试判断否线性相关，并说明理由；（3）证明：对于中的任意两个元素，均有，

2024级高二第一学期第一次限时练习数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆的圆心和半径分别为（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，4【答案】C【解析】【分析】将圆的方程转化为标准方程形式，直接判断即可.【详解】由题可知：圆即所以该圆的圆心为，半径为故选：C2.若直线：与：平行，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据直线平行列方程计算即可.【详解】由题意，，解得或，当时，直线：，：，两直线平行；当时，：，：，两直线重合.综上所述，.故选：A3.三棱锥中，，点为中点，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案.【详解】，又为中点，故选：C4.已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A.[－2，0)∪(0，] B.(－∞，－]∪[2，＋∞)C.[－2，] D.(－∞，－2]∪[，＋∞)【答案】D【解析】【分析】求出和，数形结合观察满足直线l过点且与线段AB有公共点下斜率的变化情况即可求出结果.【详解】根据题意，作出图形如下图：直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是.故选：D.5.在空间直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间点到直线距离公式求解即可.【详解】由，，，则，则，，所以点到直线的距离为.故选：B6.当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围．【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，，故，对于函数，有：，，故，又，故.故选.【点睛】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查异面直线所成角的概念等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．故选：D8.在正四面体中，点在线段上运动（不含端点）.设与平面所成角为，与平面所成角为，与平面所成角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，，，，，，然后算出，，即可.【详解】不妨设，，，，，所以，所以所以设平面法向量为则有，即，即所以可取所以，同理可得，因为，所以，故，故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列说法错误的是（）A.若空间向量，满足，则与夹角为锐角.B.设是空间中一组基底，则也是空间的一组基底.C.若，则存在唯一的实数，使.D.向量，，，若向量，，共面，则实数的值为1.【答案】ABC【解析】【分析】举例判断AC；根据共面向量的定义求解判断BD.【详解】对于A，当与方向相同时，且都不为零向量时满足，但与夹角为0，故A错误；对于B，由于是空间中的一组基底，则不共面，因为，所以共面，所以不是空间的一组基底，故B错误；对于C，当时，，但不存在唯一的实数，使，故C错误；对于D，若向量，，共面，则，即，则，解得，故D正确.故选：ABC10.下列说法正确的是（）A.若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限.B.斜率为，在轴截距为3的直线方程为.C.直线关于对称的直线方程是.D.对任意的，直线与直线有公共点.【答案】AD【解析】【分析】对于A，结合一次函数的特征可得，进而判断即可；对于B，根据斜截式方程求解判断即可；对于C，先求出直线与的交点，再求出直线上一点的对称点，进而求解判断即可；对于D，由题设可得直线恒过定点，而在直线上，进而判断即可.【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限，则，所以点在第二象限，故A正确；对于B，斜率为，在轴截距为3的直线方程为，故B错误；对于C，联立，解得，则直线与的交点为，取直线上一点，设其关于直线对称点为，则，解得，即对称点为，则所求直线的斜率为，则所求直线的方程为，即，故C错误；对于D，直线，即，令，解得，则直线恒过定点，而在直线上，所以对任意的，直线与直线有公共点，故D正确.故选：AD11.如图，正三棱柱中，，点P线段上（不含端点），则（）A.不存在点P，使得B.面积的最小值为C.的最小值为D.三棱锥与三棱锥的体积之和为定值【答案】BD【解析】【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB；把放置于同一平面内，计算两点间距离判断C；利用等体积法计算判断D.【详解】在正三棱柱中，取BC的中点O，连接OA，则，又底面ABC，则，又，平面，所以平面，在平面内作，以O为原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，，，，设，则，，设，则，所以，，则.对于A，，，要使，则，解得，所以当时，存在点P，使得，故A不正确；对于B，，，设，则，所以，则，因为，所以当时，取得最小值，故B正确；对于C，将和沿展开在同一平面内，如图，连接交于点T，可知，当点P与点T重合时取得最小值，依题意，，，则，，所以，在中，由余弦定理，得，则，即的最小值为，故C不正确；对于D，，故D正确．故选：BD.【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若空间向量，，则在上的投影向量的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】利用投影向量的公式及空间向量的数量积运算即可得到结果.【详解】由，，则，，所以在上的投影向量的坐标为.故答案为：.13.平面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案.【详解】设，则由，因为，所以，的最小值为点到线段的距离，最小值为.故答案为：14.如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点，过分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，，．①直线与直线是异面直线；②为定值；③三棱锥的外接球表面积的最小值为；④当时，平面与平面的夹角大小为．则以上结论中所有正确结论的序号是______．【答案】②③【解析】【分析】根据，即可判断②；由题意可知两两垂直，由②结合基本不等式求出三棱锥的外接球半径的最小值，即可判断③；当时，为的中心，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断④；当为的中心时，，利用向量法证明，即可判断①.【详解】对于②，设，由题意，即，所以，即为定值，故②正确；对于③，设三棱锥的外接球的半径为，由题意可知两两垂直，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故③正确；对于④，如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，所以，此时，为的中心，则，因为，所以平面，故即为平面的一个法向量，而，设平面的一个法向量为，则有，可取，则，所以平面PQR与平面OBC所成的锐二面角的余弦值为，故④错误，由④可知，当为的中心时，，，则，所以，所以直线PR与直线BC共面，故①错误.故答案为：②③.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.直线l经过两直线：和：的交点.（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；（2）若点到直线l的距离为5，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解.【小问1详解】解：联立方程组，解得交点，又直线与直线垂直，所以直线的斜率为，则直线的方程为，即.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为5；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则点到直线的距离为，求得，故直线的方程为，即，综上可得，直线的方程为或.16.如图，在六面体中，四边形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分别是，的中点．（1）证明：平面．（2）若，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意可得，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）空间直角坐标系，求平面AMF的法向量，利用空间向量求点到面的距离.【小问1详解】因为，，都垂直于平面，则.取的中点，连接，，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，可得，且平面，平面，所以平面.【小问2详解】连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，可得，，.设平面的法向量为，则，取，得，，可得.故点到平面的距离.17.已知圆C过点，，且圆心在上，（1）求圆C的方程；（2）已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值.【答案】（1）（2）130【解析】【分析】（1）由圆心在弦的中垂线上，联立方程组即可求得；（2）设，用距离公式表示，转化为圆外一点与圆上一点的距离的最值问题即可求解.【小问1详解】，，由中点坐标公式得MN的中点坐标为，，的中垂线方程为：，即，，，，圆的方程为【小问2详解】设，，即点P到原点O的距离的平方，，，18.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为,若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，的长度为或【解析】【分析】（1）通过证明，来证得平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案.【小问1详解】因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面.【小问2详解】由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系

，因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，假设