2025-2026学年河北NT20名校联合体高二上学期10月联考数学试题含答案

NT20第⼀学期⾼⼆年级10⽉联考考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟.2．请将各题答案填在答题卡上.⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知空间向量而=(3,4,5)，则向量在坐标平⾯0xy上的投2.在空间直角坐标系中，点p(2,1,-1)关于平⾯0yz对称的点的坐标是()A.B.C.(2,-1,-1)D.3.已知空间单位向量两两垂直，则()A.B.C.34.已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1小，则向量在向量j上的投影向量为()5.空间内有三点P(4,0,-4),E3,0,1),F(2,1,2}，则点P到直线EF的距离为()A.B.C.D.6.如图，在四⾯体ABC中死=3瓦,2丽=死，则()A.B.7.如图，平⾯ABCD上平⾯ABEF，四边形ABEF为正⽅形，四边形ABCD为菱形，LDAB=609，则直线AE,DB所成角的余弦值为()B.D.A.B.D.8.教材44⻚第17题：在空间直角坐标系中，已知向量i=(a,b,c)(abc丰。).（1）若直线经过点pi，且以i为⽅向向量，P是直线上的任意⼀点，求证：（2）若平⾯u经过点，且以i为法向量，p是平⾯内的任意⼀点，求证：利⽤教材给出的材料，解决下⾯的问题：已知平⾯的⽅程为，直线是平⾯x-2y-I=0I与x+y-l=I的交线，则直线与平⾯a所成角的正弦值为()⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的⼀个基底，则下列向量不能构成空间的⼀个基底的是()A.B.10.已知空间向量则下列说法不正确的A.B.C.若直线的⽅向向量为，平⾯的法向量为，则直线D.向量在向量上的投影向量是11.在正⽅体ABCD-AB,CD中，若棱⻓为1，E，F分别为线段B,D,，BG上的动点，则下列结论正A.B,Dl平⾯A,C1BC.直线与平⾯8B,D,D所成角的正弦值为定值D.异⾯直线与所成角的余弦值的范围为三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.坐标是.，，，，14.在⻓⽅体ABCD-AB,CD中，AB=2p为⻓⽅体ABCD-AB,CD表⾯上⼀动点，则取值范围为.四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在平⾏六⾯体ABCD-AB,CD中，AB=AD=2，A4=4，LBAD=90O，LB44=LD44=60".记向量，，，取CC的中点M.（2）求向量和向量所成角余弦值.;,且C为圆周上⼀点，AB=2,AC=l.（1）求点B到平⾯PAC的距离；（2）若，求直线AC与平⾯PBC所成角的正弦值.18.在如图所示的⼏何体ABCDFE中，平⾯ABCD是边⻓为2的正⽅形，AE上平⾯ABCD，DFAE,且DF=2AE=2，N为CF的中点，M为AB的中点.19.在如图所示的⼏何体ABCDPQ中，四边形ABCD为菱形，C!,PD=AD=2C!=2，⼆⾯角P-AD-B为120°.（1）求直线BQ与平⾯PBD所成角的正弦值；NT20第⼀学期⾼⼆年级10⽉联考考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟.2．请将各题答案填在答题卡上.⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知空间向量丽=(3,4,5)，则向量在坐标平⾯0xy上的投【分析】根据空间中点的坐标确定⽅法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可.【详解】根据空间中点的坐标确定⽅法知，空间中在坐标平⾯0xy上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.所以空间向量丽=(3,4,5)，在坐标平⾯0xy上的投影向量坐标是：(3,4,0).故选：A.2.在空间直⻆坐标系中，点p(2,1,-1)关于平⾯0yz对称的点的坐标是()A.B.C.(2,-1,-1)D.【分析】求点p(2,1,-1)关于平⾯0yz对称点，所求点的横坐标变为原来的相反数，纵坐标，竖坐标不变，由此即可得解.【详解】点p(2,1,-1)关于平⾯0yz对称的点的坐标是(-2,1,-1).故选：B.3已知空间单位向量aie两两垂直，则()A.B.C.3【分析】取a=(1,0,0),b-(0,1,0),⃞=(0,0,1)，结合模⻓的坐标计算公式求解即可. 【详解】不妨设i-11.0,0)1,5-(01.0),i-(0,0.1)，则，所以.故选：D.4.已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1小，则向量在向量i上的投影向量为()【分析】先求出，i.5，根据向量投影公式求出向量在向量上的投影向量即可.【详解】::a=(1,2,2),⃞=(-2,1,1小，,向量;在向量上的投影向量为.故选：A.5.空间内有三点P(4,0,-4),E(3,0,1),F(2,1,2}，则点P到直线EF的距离为()AB.C.D.【详解】因为P(4,0,-4),E(3,0,1),F(2,1,2)，所以，.所以耶·死=-1x(-1)+1x0+1x5=6，，故选：B..6.如图，在四⾯体中死=3瓦,2丽=死A.【分析】根据条件所给的⽐例关系分解向量即可.B.D..故选：D.7.如图，平⾯ABCD上平⾯ABEF，四边形ABEF为正⽅形，四边形为菱形，DAB=6)'，则直线AE,DB所成⻆的余弦值为()【分析】利⽤基底法求解即可.【详解】由于平⾯ABCD上平⾯ABEF，平⾯ABCD平⾯ABEF=AB，AFC平⾯ABEF，AF上AB，则AFl平⾯ABCD，由于ABC平⾯ABCD，则AF上AB，由于四边形ABCD为菱形，LDAB=609，则AABD为正三⻆形，,则直线AE,DB所成⻆的余弦值为，故选：D.8.教材44页第17题：在空间直⻆坐标系中，已知向量i=(a,b,c)(abc丰。)，点.（1）若直线经过点pi，且以i为⽅向向量，P是直线上的任意⼀点，求证：（2）若平⾯a经过点Ri，且以为法向量，p是平⾯u内利⽤教材给出的材料，解决下⾯的问题：已知平⾯u的⽅程为，直线是平⾯x-2y-I=0I与x+y-l=I的交线，则直线与平【分析】根据题意得出平⾯的法向量，再求出平⾯的交线⽅向向量，最后⽤线⾯⻆公式求解即可.同理，可得平⾯s-2y-I-l的⼀个法向量7=(l,-2,0)，平⾯的⼀个法向量p-(110)，设平⾯x-2y-I=Il与平⾯的交线的⽅向向量为7=(x,y,z)，则，解得，y=0，取，则q=(0,0,1)，故选：A⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的⼀个基底，则下列向量不能构成空间的⼀个基底的是()A.B.【分析】推导出不共⾯，故能构成空间的⼀个基底，C错误，ABD选项向量均共⾯，不可构成空间的⼀个基底.是空间的⼀个基底，是空间的⼀个基底，故不共⾯，则，所以为共⾯向量，则存在唯⼀实数x,9使得，所以，⽆解，故不共⾯，故可构成空间的⼀个基底，故B错误；则存在唯⼀实数X,J使得，则存在唯⼀实数x,y使得，故故不能构成空间的⼀个基底，故D正确.故选：ACD.10.已知空间向量则下列说法不正确的是()A.B.⃞-37=(-5,0,6)C.若直线的⽅向向量为，平⾯的法向量为i，则直线aD.向量在向量上的投影向量是【分析】利⽤空间向量模的坐标运算判断A；利⽤空间向量的线性运算判断B；利⽤空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D.，，得，B错误；对于C，直线的⽅向向量为，平⾯u的法向量为i，对于D，⃞-37=(7,0,1)，i-(1,0,3)，则(i-3)⃞=7x1+0x0+1x3=10,=1+0+9=10，所以向量在向量上的投影向量是，D正确.故选：BC11.在正⽅体ABCD-AB,CD中，若棱⻓为1F分别为线段8,D,，BG上的动点，则下列结论正A.B,Dl平⾯A,C1BB.平⾯平⾯A,C,BC.直线与平⾯所成⻆的正弦值为定值D.异⾯直线AF与DC所成⻆的余弦值的范围为【分析】根据正⽅体的⼏何性质，建⽴空间直⻆坐标系，写出各点坐标，求出对应直线的⽅向向量和平⾯的法向量，根据空间中证明线⾯垂直的向量⽅法，求线⾯夹⻆正弦值的向量⽅法，证明⾯⾯平⾏的向量⽅法，以及异⾯直线所成⻆的向量法，逐—计算判断各选项正误，可得结论.以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线为坐标轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，所以丽·D丽=0-1+1=0,配·丽=-140+1=0，所以B,D1平⾯，故A正确；，所以T·D硕=-1+0+1=0,C.D硕=-1+1+0=0，所以ADLDB,ACLDB，⼜AD,AC=A，AD,Ace平⾯，所以B,D1平⾯dcD1，所以平⾯dcD1平⾯d,CIB，故B正确；因为DD,l平⾯ABCD，ACC平⾯ABCD，所以DDLAC，⼜DD,nDB=D，DB,,DD,C平⾯8,D,所以ac=(-1,1,0)为平⾯BB,D,D的⼀个法向量，·所以不为定值，故C错误；设F=(1-r,1,)10<is1)，西=(-t,1,t)，DC=(0,1,0)，所以所以异⾯直线与所成⻆的余弦值的范围为，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.12.已知A，B，C三点的坐标分别是(1,-1,2)，(2,0,-1)，(0,2,3)，点，则点P的坐标是.【分析】由空间向量的坐标运算即可求解.故答案为：(2,-2,0).入,ue(0,1，若PG交平⾯DEF于点M，且，则，u满⾜的关系式为.【分析】利⽤空间向量的四点共⾯定理，得出关系.,所以，因为所以，故答案为：14.在⻓⽅体ABCD-AB,CD中，AB=2，AD=lp为⻓⽅体ABCD-AB,CD表⾯上—动点，则的取值范围为.【分析】建⽴适当的空间直角坐标系，将所求转换为⻓⽅体中⼼到⻓⽅体表⾯的点的距离的取值范围即可求解.【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD分别为轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，因为AB=2，AD=1则B(1,2,0),D设⻓⽅体中⼼为设p(x,y,z)，则丽=(x-1,y-2,2),可D=(x,y,z-3)，所以，代表⻓⽅体的中⼼到⻓⽅体表⾯⼀点p(x,y,z)的距离的平⽅，所以当且仅当有最⼩值,当且仅当p(x,y,z)与⻓⽅体的8个顶点重合时，有最⼤值，由于是在⻓⽅体表⾯连续运动的，故的取值范围是，故答案为：.四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量（2）t=-l（2）由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解.因为a,be[0,r，所以；因为i'=F'=6所以6t+6-3t+1)=0，解得t=-1.16.如图，在平⾏六⾯体ABCD-AB,CD中，AB=AD=2，A4=4，LBAD=90e，,,取CG的中点M.，，（2）求向量和向量所成⻆的余弦值.（2）只需分别求出，再结合向量夹角的余弦公式即可求解.,因为AB=AD=2，A4=4，LBAD=903，LB44=LDA4A=60"，所以；,,,所以.17.如图，AB是圆的直径，直线PA上平⾯ABC，且C为圆周上⼀点，AB=2,AC=I.（1）求点B到平⾯PAC的距离；（2）若，求直线AC与平⾯PBC所成角的正弦值.【分析】（1）利⽤线⾯垂直的性质定理及判定定理可得BC上平⾯PAC，点B到平⾯PAC的距离为BC，利⽤勾股定理即可求解；（2）利⽤向量法求线⾯⻆即可.因为直线PA上平⾯ABC，BCC平⾯ABC，,由AB是圆的直径，可得AC上BC，⼜因为PA「AC=A，PA,ACC平⾯PAC，所以BC上平⾯PAC，点B到平⾯PAC的距离为.过点C作平⾯ABC的垂线，并以该直线为z轴建⽴空间直⻆坐标系，设平⾯PBC的法向量为而=(x,y,z)，设直线AC与平⾯PBC的夹⻆为，所以直线AC与平⾯PBC所成⻆的正弦值为.18.在如图所示的⼏何体ABCDFE中，平⾯ABCD是边⻓为2的正⽅形，AE上平⾯ABCD，DF1IAE,且DF=2AE=2，N为CF的中点，M为AB的中点.（2）建⽴适当的空间直⻆坐标系，求出平⾯EMN与平⾯FDC的法向量，再结合向量夹⻆的余弦公式即可求解.如图所示，取CD中点G，连接GN,GA，因为N是CF中点，所以，所以EAIIWG,EA-NG，所以四边形是平⾏四边形，所以，⼜因为ENq平⾯ABCD，AGC平⾯所以EN平⾯ABCD；因为AEl平⾯ABCD，AB,ADC平⾯所以AElAB,AE土AD，⼜因为平⾯ABCD是边⻓为2的正⽅形，所以AB上AD，所以AB,AD,AE两两垂直，故以点A为坐标原点，AB,AD,AE分别为X,Y,Z轴建⽴如图所示的空间直角坐标系，因为AElAD,AE)IDF，所以DF上AD，所以AD上平⾯FDC，所以平⾯的⼀个法向量可以是，设平⾯EMN的法向量为丽=(x,y,z)由题意M(1,0,0),N(1,2,1),E(0,0,1，则可=(1,0,-1),丽=(1,2,0)，所以，令y=-l，解得，故可取丽=(2,-1,2)