【基础版】北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元测试卷（含解析）

【基础版】北师大版数学九上第一章特殊的平行四边形单元测试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）

A.对角线垂直B.两组对边分别平行

C.对角线互相平分D.两组对角分别相等

2.下列说法正确的是（）

A.菱形的四个内角都是直角

B.矩形的对角线互相垂直

C.正方形的每一条对角线平分一组对角

D.平行四边形是轴对称图形

3.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分

C.对边平行D.对角相等

4.菱形的面积为12cm2,一条对角线长是4cm,那么菱形的另一条对角线长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

5.如图，菱形A8CO的对角线AC、8。相交于点O,E、r分别是AB、8C边上的中点，连接EV,

着所=6,80=4,则菱形A5CO的周长为（）

A

A.4B.4V6C.477D.28

6.如图，在矩形RBC。中，对角线AC、8D相交于点0,4E平分。交BC边于点E,点尸是4E的中

点，连接。F,若乙BDC=2乙ADB,AB=1,则/。的长度为（）

BA；C

7.如图，正方形ABCO的对角线4C,8。相交于点O,。4=3,则此正方形的面积为（）

A.3aB.12C.18D.36

8.如图，任意四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点，对于四边形

EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是

)

A.当E,F,G,H是各边中点，且AOBD时，四边形EFGH为菱形

B.当E,F,G,H是各边中点，且AC_LBD时，四边形EFGH为矩形

H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________________________（添加一个

条件即可）.

N

10.菱形的两条对角线的长分别是4c?n和8cm,则它的面积为_________c降.

11.如图，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=3,四边形ACEF是正方形,则EF的长为_________.

EC

12.如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30。的角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积

13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且OA=OC,OB=OD,要使四边形

ABCD为矩形，则需要添加的条件是(只填一个即可).

三、解答题(共7题；共61分)

14.已知四边形ABCO为矩形，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法,

保留作图痕迹.

(1)在图1中作出矩形力BCD的对称轴m,使m〃/IB；

(2)在图2中作出矩形力BCD的对称轴n，使？1〃4D.

15.如图，四边形48co是菱形，对角线4C与80相交于。，AB=5,A0=4,求菱形4BC0的面积.

16.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE二AF.连接DE、

DF.求证：DE=DF.

17.如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC,BD交于点O,BD=2AB,

AE//BD,0E//AB.

求证：四边形AB0E是菱形.

18.如图：在菱形/1BC0中，AB=5,过点4作力E1BC于点E,交BD于点F,点G为。尸的中点，若

/.BAG=90°,求4G的长.

DM=BN,EF与MN交于点、0,且MN_LEF.

（1）试判断四边形ENFM的形状，并说明理由.

(2)若乙B=2乙MNF,且MN=4,EF=2,求AB的长.

20.如图所示,UBC中,2是BC中点,E是4。的中点,过点4作BC的平行线交CE的延长线于F,

连接BF.

BD

（1）判断并证明四边形AFBO的形状；

（2）当△A8C满足什么条件时，四边形4/80是矩形，证明你的结论.

答案解析部分

1.【答案】A

【蚱析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；

B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；

C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；

D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；

故答案为：A.

【分析】根据菱形和平行四边形的性质对每个选项一一判断即可。

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；

B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；

C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；

D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对

称图形，也是中心对称图形：矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴

对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，

每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对

角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.

3.【答案】A

4.【答案】D

【解析】【解答】解：设菱形的另一条对角线长为xcrn,

根据题意得：Jxx4=12,

解得：x=6,

即菱形的另一条对角线长为6cm,

故答案为：D.

【分析】设菱形的另一条对角线长为xcm,利用“菱形的面积为12加2，，列出方程/xx4=12,再

求解即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】・・・E、F分别是AB、BC边上的中点

AEF是aABC的中位线，AC=2EF=2月；

在菱形ABCD中，AC、BD互相垂直平分，

AA0=iAC=V3，B0=1BD=2；

在直角三角形ABO中有3。2+4。2=AB2,

AB=J>/32+22=V7;

・•・菱形ABCD的周长为4夕.

故答案为：C.

【分析】根据菱形的性质，确定对角线互相平分垂直，而E、F分别是AB、BC边上的中点即可确

定EF是△ABC的中位线，由此可得出对角线的长度，那么就可以在直角三角形ABO中用勾股定理

求出菱形一边的长度，进而求出菱形的周长。

6.【答案】D

【解析】【解答】・・•四边形ABCD为矩形.

AAD//BC,AO=CO,AB=DC=1,ZADC=ZBCD=ZABC=90°

•・,ZBDC=ZADB

・•・ZBDC=60°

・•・BC=V3

•・,AE平分/BAD

・•・ZBAE-ZBEA-450

，BE=AB=1

JEC=V3-1

•・・F为AE的中点，AC=CO

・•・FO=ifC

乙

・•・FO=*1

故答案为D

【分析】本题考杳矩形的性质，三角形中位线，勾股定理。熟悉矩形的边、角、对角线的性质是解

题关键。

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】NABC=90。或AOBD.

【解析】【解答】

解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.有一个角是直角的平行四边形是矩形

故添加条件：NABO90。或AC=BD.

故答案为：NABC=90。或AC=BD.

【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形或有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行解答即

可.

10.【答案】16

【解析】【解答】解：2x4x8=16。/,

故答案为：16.

【分析】根据菱形面积即可求出答案.

11.【答案】3

12.【答案】8

【解析】【解答】

解：过点八作AEJLBC于E,AELLCD于F如图所示:

•・•两条纸条宽度相同，

/.AE=AF,

VABIICD,AD1IBC,

，四边形ABCD是平行四边形，ZABC=30°,

ABCD=BC.AE=CD.AF,

XVAE=AF,

JBC=CD,

，四边形ABCD是菱形，

AAB=BC,

在RtAAEB中，Z.AEB=90°,

ZABC=30°,AE=2,

BC=AB=2AE=4,

，四边形ABCD的面积=BCAE=4x2=8,

故答案为：8.

【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱

形，然后由含30。角的直角三角形的性质求出BC=AB=4,最后根据平行四边形的面积公式求得即可.

13.【答案】ZDAB=90°

【解析】【解答】解：可以添加条件NDAB=90。,

VAO=CO,BO=DO,

，四边形ABCD是平行四边形，

VZDAB=90°,

・•・四边形ABCD是矩形，

故答案为：ZDAB=90°.

【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件

NDAB=90。可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.

14.【答案】(1)解：如图1中，直线m即为所求；

图1

(2)解：如图2中，直线九即为所求;

A

R

n

B

【解析】【分析】(l)由矩形的性质作矩形的对角线，两条对角线的交点为O,过点O作AD的垂线

交AD于点E,直线0E即为所求；

(2)结合(1)的作法，过点0作OE的垂线交AB于点R,直线OR即为所求.

15.【答案】解：•・•四边形48C。是菱形，4。=4

A.4C1BD,BD=2B0,4C=24。=2x4=8,

：.LAOB=90°

•••在△AOB中，^AOB=90°,AB=5,AO=4,

,BO=yjAB2-AO2=V52-42=3

：.BD=2BO=2x3=6,

'S赛磔BCD另"C.B°=；X8X6=24

【解析】【分析】利用菱形对角线相互垂直的性质以及勾股定理可得AC、BD,再利用菱形的面积等

于对角线乘积的一半，即可求出菱形48CD的面积.

16.【答案】解：证明：正方形ABCD中，AD=CD,ZBAD=ZC=90°,所以，ZDAF=90°,所以，

(AD=CD

ZDAF=ZC,在4ADF利^CDE中，产=乙，C,/.△ADF^ACDE(SAS),

(CE=Af

ADE=DF.

【解析】【分析】根据正方形的性质得出AD二CD,ZBAD=ZC=90°,根据邻补角的定义得出

ZDAF=90°,所以，ZDAF=ZC,然后利用SAS判断出AADF^ACDE,根据全等三角形的对

应边相等得出DE=DF.

17.【答案】证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

：・0B=OD=^BD，

又UBD=2AB,

：-AB=OB,

9：AE//BD,OE//AB.

・•・四边形ABOE是平行四边形，

又•：AB=OB,

・•・四边形ABOE是菱形.

【蟀析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=OD,结合BD=2AB可得AB=OB,根据AE〃BD、

OE/7AB可得四边形ABOE是平行四边形，然后结合菱形的判定定理进行证明.

18.【答案】力G的长为卒.

19.【答案】(1)解:四边形ENFM是菱形;

■:^ABCD,

•••AD=BC,

-AE=CF,DM=BN,

AD-AE-DM=BC-CF-BN,

•••ME=NF,

,:ME||NF,

••・四边形ENFM是平行四边形，

•••MN1EF,

I3ENFM是菱形

(2)解：•.•菱形ENFM,

LMNE=乙MNF,

•••LB=2乙MNF,

LB=2乙MNF=乙MNE+乙MNF=乙ENC,

AB||NE,

-AE||BN,

•••四边形4BNE是平行四边形，

AB=NE,

；菱形ENFM,

•••OF=0E=1,OM=ON=2,

•••MN1EF,

/.NE=y/OE2A-ON2=店,

AB一NE-瓜

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：M