【基础版】北师大版九年级数学上册 正方形的性质与判定 同步练习（含解析）

【基础版】北师大版数学九上1.3正方形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）

A.两组对边分别平行且相等B.对角线相等

C.四条边相等，四个角相等D.对角线互相垂直

2.下列说法不正确的是（）

A.对角线互相垂直的矩形是正方形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.四边都相等的四边形是正方形

D.邻边相等的矩形是正方形

3.若正方形对角线长为4,则它的面积是（)

A.4B.XC.16D.32

4.如图，E是正方形4BC0的边BC延长线上的一点，且=4£交。0于点孔则功肃的度数为

A.45°B.30°C.20°D.22.5°

5.在正方形ABCD中，AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是（）

A.12+12&B.12+6V2C.12+x/2D.24+6企

6.如图，边长为2的正方形ABCO的中心与坐标原点。重合，48〃无轴，将正方形A8CZ）绕原点0

顺时针旋2023次，每次旋转45。则顶点B的坐标是（）

A.(V2,-1)B.(0,-V2)C.(0,-/2)D.(-1,-1)

7.如图，正方形4BCD的边长为10,且4E=FC=8,BF=DE=6,贝ijEF的长为（）

A.2B.挈C.25/2D.3A/2

8.如图，在边长为6的正方形4BC。内作/匕4尸二45。，4E交BC于点乱AF交CD于点F,连接EF,将

44DF绕点力顺时针旋转90。得到44BG.若。F=3,则BE的长为（）

二、填空题

9.如图，正方形48co的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,/为A8边上的一个动点，连接

EF,以E/为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.

10.如图，正方形4BCD的边长为3,E为CD边上一点，DE=1.△4DE绕着点4逆时针旋转后与4

力B尸重合，连结EF,则EF=.

11.如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=84,则乙DCE的度数

为

12.如图，在2x2的正方形网格中有9个格点，己知取定点A和B,在余下的7个点中任取一点

C,使△ABC为直角三角形的概率是.

13.如图，止方形ABCD的对角线长为8V2,E为AB上一点，若EF_LAC十F,EG_LBD十G,

14.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE.

15.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F,ZF=90°,ED=EC.求

证：四边形DFCE是正方形.

B

16.如图，四边形48C0是正方形，△8(3是等边二角形，连接DE.

(2)求乙4ED的度数.

17.正方形48co的边长为5,E、尸分别是A8、8c边上的点，且NEOf=45。，将(DAE绕点。

逆对针旋转90。，得到△OCM.

(1)求证：△。所名△OMA；

(2)若AE=2,求石厂的长.

18.如图，点E为正方形ABCD外•点，ZAEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转9。°得到△

ADF,DF的延长线交BE于H点.

(1)试判定四边形4FHE的形状，并说明理由;

(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.

答案解析部分

1.【答案】A

【蟀析】【解答】解：A、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故符合题意;

B、菱形的对角线不相等，故大符合题意；

C、正方形的四条边相等，四个角相等，故不符合题意；

D、菱形、正方形的对角线互相垂直，故不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质逐项判断即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A：对角线互相垂直的矩形是正方形正确，所以A不符合题意：

B：对角线相等的菱形是正方形正确，所以B不符合题意；

C：四边都相等的四边形是正方形不正确，所以C符合题意；

D：邻边相等的矩形是正方形正确，所以D不符合题意。

故答案为：Co

【分析】根据正方形的判定正确判定，即可得出答案。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：・・•正方形对角线长为4,

，它的面积是劣X4x4=8

故答案为：B.

【分析】根据正方形的性质”面积等于对角线乘积的•半”，即可求解.

4.【答案】D

【蟀析】【解答】解：•・•四边形ABCD为正方形，

=45。，AD||BE,

：-cE=4DAF,

•：CE=CAf

••LE="AF,

：-LCAF=Z.DAF=鼻CAD=22.5%

J

故答案为：D.

【分析】根据正方形的性质得到：△。40=45。，AD||BE,进而结合等腰三角形的性质得到：乙E=

“4F,然后根据平行线的性质得到：ZF=Z-DAF,^^CAF=^DAF=^CAD,即可求解.

5.【答案】A

【解析】【解答】如图,

在RSABO中，AB=12,AO=BO=6&,所以△ABO的周长是12+6直+6返=12+12直.故

答案为：A.

【分析】根据正方形的对角线相等互相垂直得出/AOB=90。,然后根据勾股定理即可算出AO=BO=

6V2,再根据三角形的周长计算方法即可算出答案。

6.【答案】C

【解析】【解答】根据题意可得旋转8次回到原来位置，

•・・2023+8=252......7,

・••将正方形A8CO绕原点。顺时针旋2023次，每次旋转45。，则顶点B的坐标是(0,迎)，

故答案为：C.

【分析】先求出规律旋转8次回到原来位置，再结合2023+8=252……7,求出顶点B的坐标是(0,

6)即可.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：延长BF交AE于点G,如下图:

•・•四边形ABCD是正方形

.\AD=AB=BC,ZDAB=90°

VAD=BC=10,AE=FC=8,BF=DE=6

ADE^ACBF(SSS),AD2=AE2+DE2

/.ZADE=ZCBF,ZDAE=ZBCF,ZAED=ZCFB=90°,ZDAE=ZBCF

・•・ZADE+ZDAE=ZDAE+ZGAB

AZADE=ZGAB

同理，可得NBCF二NABG；

AZDAE=ZABG

VZADE=ZGAB,AD=AB,ZDAE=ZABG

.*.△ADE^ABAC(ASA)

ADE=AG=6,AE=BG=8,ZAGB=ZAED=90°

・•・GE=AE-AG=8-6=2,GF=BG-BF=8-6=2

AEF=V22+22=2V2

故答案为：C.

【分析】根据正方形的性质，可得AD二AB=BC,NDAB=90。；根据三角形全等的判定(SSS和

ASA)和性质，可得NADE=NCBF,ZDAE=ZBCF,ZAED=ZCFB=90°,ZDAE=ZBCF,

DE=AG=6,AE=BG=8,ZAGB=ZAED=90°；根据勾股定理的逆定理，可得NAED=NCFB=90。和

EF的值.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD,

.•・AB=AD,ZD=ZC=ZABE=ZABG=ZBAD=90°,

将/4DF绕点4顺时针旋转90。得到

:ADFg△ABG,

AAG=AF,DF=BG=3,ZDAF=ZGAB,

VZDAF+ZEAF+ZBAE=90°,ZEAF=45°,

・•・ZGAB+ZBAE=45°B|JZGAE=45°,

AZEAF=ZGAE,

在△EAF和^EAG中

(AG=AD

\^EAF=^GAE

(AE=AE

EAF^AEAG(SAS),

.\EG=EF,

设BE=x,贝ijEF=EG=3+x,CE=6-x,

EF=CE2+CP即(3+x)2=(6-x)2+32,

解之：x=2,

・・・BE的长为2.

故答案为：B.

【分析】利用正方形的性质可证得AB=AD,ZD=ZC=ZABE=ZABG=ZBAD=90°,利用旋转的性

质可证AG=AF,DF=BG=3,ZDAF=ZGAB,由此可推出NEAF二/GAE,再利用SAS证明

△EAF^AEAG,利用全等三角形的性质可推出EG二EF：设BE=x,可表示出EF,CE,CF的长，

然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值,可得到BE的长.

9.【答案】|

【解析】【解答】解：由题意可知，随着点F的移动，点G也随着移动；

•・•点F在线，段AB上运动

・••点G也在直线上运动

将AEFB绕点E旋转60。，使EF与EG重合，可得△EBFgZ\EHG；

•••△EBH是等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM_LHN,作EP_LCM,如下图，点

CM即为CG的最小值：

•••△EBH是等边三角形

ABE=HE=1

VCM±HN,EP±CM

，四边形HEPM是矩形

CM=MP+CP=HE+|EC

.\CM=1+1=!

故答案为：f.

【分析】根据旋转的性质，构造等边三角形，可得BE=HE；根据点与线之间垂线段最短，作

CM1HN,可得CG的最小值；根据矩形的判定定理和性质即可求出CG的最小值.

10.【答案】2底

【解析】【解答】根据旋转得旋转角为=90°,

ALEAF=90°,AE=AF,

vAD-3,DE-1,

AE=yjAD24-DE2=V32+l2=V10>

AF=V10»

EF=7AE?+A/2=J(7io)2+(V10)2=2Vs.

故答案为：26.

【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再根据匕EA/=90。，利用勾股定理求出EF的长即可。

1L【答案】22.5°

【解析】【解答】解：•・•正方形ABCD,

ABC=AB,ZDBC=45°,ZBCD=90°

VBE=BA,

ABC=BE

AZBEC=ZBCE=67.5°,

・•・ZDCE=ZBCD-ZBCE=90°-67.5o=22.5°,

故答案为：22.5°.

【分析】根据正方形的性质可得BC=BA,ZDBC=45°,ZBCD=90°,根据三角形的内角和以及

BE=BC可得NBCE=67.5。，由角的和差可得结果.

12.【答案】1

【解析】【解答】•・•取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的有4种

情况，

・・・使4ABC为直角三角形的概率是：.

故答案为：、.

【分析】首先确定选点的总情况数，其次根据正方形的对角线是角平分线的性质，来确定满足ABC

是Rt三角形的点的个数，即可根据概率公式计算得到。

13.【答案】4V2

【解析】【解答】解：如图:

•・•四边形ABCD是正方形,

A0A=0B=4V2,

乂*.*SAABO=SAAEO+SAEBO>

1

-・・・

2OAOB=1OAEF+1OBEG,

即;x4四x4虎二;x4&x(EF+EG)

/.EF+EG=4V2.

故答案为：4V2.

【分析】根据IF方形的性质得出OA=OB=4V2.然后根据SAARO=6AAEQ+SAERO,得出方程化简得出

答案。

14.【答案】证明：•・•四边形ABCD是正方形，

・・・AB=CB,ZABE=ZCBE,

在AABE^HACBE中，

AB=CB

乙ABE=乙CBE,

DE=BE

/.△ABE^ACBE(SAS),

・・・AE=CE.

【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABEgZ\CBE,再利用全等三角形的性质可得AE=CE,

15.【答案】证明：•・•四边形ABCD是正方形，

AZFDC=ZDCF=45°,

VZE-90%ED-EC,

AZEDC=ZECD=45°,

，ZFCE=ZFDE=NE=90。，

・•・四边形DFCE是矩形，

VDE=CE,

・•・四边形DFCE是正方形.

【解析】【分析】由正方形的性质得NFDC=NDCF=45。，由等腰直角二角形的性质得ZEDC=

ZECD=45°,进而即可判断出四边形DFCE是矩形，最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得山

结论.

16.【答案】（1）证明：•••四边形ABCD是正方形，

AB=DC,乙ABC=乙DCB=90°,

•••△8CE是等边三角形，

BE=CE,乙EBC=乙ECB=60°,

•••乙ABC—乙EBC=乙BCD—乙ECB,

•••LABE=乙DCE,

在△48E和△OCE中，

AB=DC

乙ABE=乙DCE,

BE=CE

ABE=△DCE（SAS）,

•••AE=DE；

（2）解：由（1）得△ABE、△COE、△4DE是等腰三角形，

设乙DAE=x。，依题意得

180-2x=360-60-2（90-x）,

解得x=15,

180°-2x15°=150°,

•••乙AED为150度

【解析】【分析】（1）利用正方形得AB=DC,ZABC=ZDCB=90°；根据等边三角形的性质得

BE二CE,ZEBC=ZECB=60°,推出NABE=NDCE,由SAS证△ABE且Z\DCE,由全等三角形的性

质可得AE=DE；

（2）设ND4E=x。，由（1）得△4BE、△CDE、△4DE是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三

角形内角和定理，列方程求解即可.

17.【答案】（1）证明：:△DAE逆时针旋转90。得到△DCM,

AZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,AE=CM,

・・・F、C、M三点共线,

・・・DE=DM,NEDM=90。，

・・・NEDF+NFDM=90。，

VZEDF=45°,

AZFDM=ZEDF=45°,

在ADEF和^DMF中，

DE=DM

Z.EDF=Z.MDF,

DF=DF

.*.△DEF^ADMF(SAS),

AEF=MF,

AEF=CF+AE；

(2)解：设EF=MF=x,

VAE=CM=2,BC=5,

ABM=BC+CM=5+2=7,

ABF=BM-MF=BM-EF=7-x,

AEB=A