【培优版】北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元测试卷（含解析）

【培优版】北师大版数学九上第一章特殊的平行四边形单元测试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF_LBC,垂足为F,

则DF的长为（）

A.2百+2B.5-竽C.3-V3D.V3+1

2.如图，P是矩形4BC。内的任意一点，连接24、PB、PC、PD,得至必PDA,APAB,APBC,

△PCD,设它们的面积分别是Si，S2,S3,S4,给出如下结论：@SX+S2=S3+S4@S2+S4=

Si+S3③若S3=2Si，则=2s2④若Si=S2,贝IJP点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号

是（）

3.如图，在正方形A8CO外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交。E于点H4E二

AP=1,PB=展.下列结论：®^APD=^AEB；（2）EBLED；③点3到直线AE的距离是季

@S正方形ABCD4+^,其中所有正确的结论是（）

D

B

A.②③B.①④

。①②④①②③④

4.如图，四边形/WCD中，AB=BC,/-ABC=90%点。为对角线AC.的中点，8占1C。于点£,若

Z-DBE=45°,Z.COE=a,则2C40的度数是（）

5.如图，在正方形48co中，点E,尸分别在8C,CD上，连装AE,AF,EF,LEAF=45°.若

Z-BAE=a,则々PEC一定等于()

A.2aB.90°-2aC.450-aD.90°-a

6.如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点，且

CD=DE,连接BE分别交AC、AD于点F、G,连接OG,则下列结论：①OG二)\B②与△DEG

全等的三角形共有5个：③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等：④由点A、B、D、E构成的

四边形是菱形。其中一定成立的是()

BA

cDE

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

7.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示.，顶点力(5,0)，B(8,4),点P是对角线OB

上的一个动点，0(0,1),当CP+OP最短时，点P的坐标为(）

A.（0,0）B.（1,i）。.亭|）D.（学，1）

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形0A8C的边长为2遍，点8在％轴的正半轴上，且乙AOC=60。,

将菱形048c绕原点。逆时针方向旋转60。，得到四边形。49C'（点4与点C重合），则点夕的坐标是

（）

A.（3遍，3企）B.(3x/2,3V6)C.(3&,6V2)D.(6V2,3V6)

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分,共15分）

9.如图，菱形48CD中，/AEC=60。，AB=2,E、〃分别是边8c和对角线8。上的动点，且BE

=D扛则AE+A/的最小值为

10.如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段BC上的动点，以BE为边作正方形BEFG,连接

AF,M为AF的中点，且48=4,则线段EM的最小值是.

11.如图，在矩形纸片ABCD口，AB=7,AD=6V5,点E是AD边上一动点，连接BE.将ABE

沿BE折叠得到AFBE,连接FC.当△BCF的面积为6诉时，线段AE的长为.

A-ED

12.四边形48co是正方形，点E是直线4。上的一点，连接CE(C、E、F、G四个点按照逆时针

方向排序)，直线8E与直线G。交于点"，若AE=2,则点尸到GH的距离为.

13.如图，在边长为10的菱形4BCD中，对角线BD=16，点0是线段BD上的动点，0E1

AB于E,。"14D于F.则0E+0F=.

三、解答题

14.在正方形ABCD中，点E为对角线AC(不含点A)上的任意一点，AB=2&,

(1)如图1,将^ADE绕点D逆时针旋转90。得到△DCF,连接EF

①把图形补充完整(无需写画法)，②求EF2的取值范围；

(2)如图2,求BE+AE+DE的最小值

15.如图，在正方形48C0中，点E是对角线4C上一动点，连接0E,作EFJ.DE交BC于点F,以E0

和EF为邻边作矩形EFGD.

AD

(1)猜想：AE,CG的位置关系是:

(2)求证：△04E=hDCG.

16.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是对角线AC上的一点，连接DE,过点E作

EF1DE,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形GFED,连接AG,

(1)求证：矩形GFED是正方形。

(2)求AG+AE的值。

17.如图1,在正方形中，E是AB上一点,F是力。延长线上一点，且DF=BE.

图1图2翱3

(I)求证：CE=CF：

(2)在图1中，若G在4。上，且NGCE=45。，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

(3)运用(I)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

①如图2,在直角梯形48CD中，ADIIBC(BOAD),乙B=90。，AB=BC=12,E是4B上一

点，且4CE=45。，BE=4,则OE的长为(直接写出结果，不需要写出计算过程).

②如图3,在△A8C中，ZR4C=45°,AD1BC,BD=2,CD=3,则AABC的面积为

(直接写出结果，不需要写出计算过程)

18.已知：如图，在矩形中，点E在边8C上，以DE为边作矩形DEGF,其中GF经过点4连接

AE.BG.

(1)若点4是GF的中点,求证：E7)是乙4EC的平分线;

若8G=4G,CE=1,AF=2,求40的长;

(3)若四边形48co是边长为10的正方形，BG=BE,求出AG的长.

19.实践操作：第一步：如图1,将矩形纸片48co沿过点D的直线折叠，使点A落在C0上的点

4,处，得到折痕0E,然后把纸片展平.第二步：如图2,将图1中的矩形纸片A8C0沿过点E的

直线折叠，点C恰好落在A。上的点C,处，点B落在点力处，得到折痕E尸，BC交于点

M：CF交DE于点N,再把纸片展平.

问题解决:

(I)如图1,填空：四边形AEA0的形状是.

(2)如图如线段MC，与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由;

(3)如图2,若力C'=2cm,DC'=4cm,求ON：EN的值.

20.综合与实践

［问题情境］

如图1,小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠,展开后再折叠，使点B落在对角线BD

上，点B的对应点记为B',折痕与边AD,BC分别交于点E,F.

(I)［活动猜想］如图2,当点B与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证

明.

(2)［问题解决］如图1,当AB=4,AD=8,BF=3时，连结BC则BB的长为

(3)［深入探究］如图3,请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有与对角线AC平

行？

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过点A分别作AG_LBC于点G,AH_LDF于点H,

...乙CFD=乙AHF=乙AGF=90°,

••・四边形HFGA是矩形，

.-.HF=AG,

•••△ARC是等边二角形，

LCAB=60",AB=BC=2,

:.乙BAG=30°,BG=1,

•••AG=V/1F2-BG2=V22-l2=

HF=显,

在正方形ABED中，AD=AB=2,^BAD=90°,

ALDAH=BAG=30°,

1

DH=T^AD=1,

乙

•••DF=DH+HF=6+I.

故答案为：D

【分析】过点A分别作AGBC于点G,AHDF于点H,可构造矩形HFGA,从而得到HF二AG,再

由等边三角形ABC的性质可得乙BAG=30°,

BG=1,进一步得到HF=百，再证明乙D4H=/MG=30°,由直角三角形的性质即可求解.

2.【答案】D

3.【答案】C

【解析】【解答］解：Z.BAP=90°,/.PAD+Z.BAP=90°,

・・・乙瓦48=d。，

乂:4E=4P,AB=AD,

在A4PD和LEB中

AE=AP

乙EAB=/.PAD

AB=AD

・・・A4P。三△4E8,故①正确；

由AAPO三△AEG得，Z.AEP=Z-APE=45°,

：.LAPD=乙AEB=135°,

工"BEP=90。，故②正确;

过B作BFJ.AE,交4E的延长线于F,则B尸的长是点。到直线4E的距离,

在A4EP中，由勾股定理得PE=VL

在A8EP中，PB=遮，PE=戏，由勾股定理得：BE=6,

*：LPAE=乙PEB=乙EFB=90。，AE=AP,

：.^AEP=45°,

J.LBEF=180°-45°-90°=45°,

:•乙EBF=45°,

：.EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=第，故③错误:

•；AAPD=^AEB,

：.LADP=Z.ABE,

连接BD,

3

'S^BPD=xBE=2'

♦*S&ABD=S&APD+S&BPD=2+苧'

:・S正方形ABCD=2szMBD=4+V6,故④正确:

故答案为：c.

【分析】根据SAS证明三△AES,即可判断①；根据maAEB,可得

ZAEP=ZAPE=45°,得至l]NBEP=90。，即可判断②；过B作BF_LAE,交AE的延长线于F,则BF

的长是点B到直线AE的距离，利用勾股定理即可求得BF的长，即可判断③：连接BD,根据△

APDWAAEB,可得NADP二NABE,可得到△BPO和△力B0的面积，即可计算出正方形ABCD的面

积，即可判断④；

4.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，延长0E到点尸，使得。£=连接8几

•:BE1CD,

:,乙BED=乙BEF=90°,

DE=EF

;乙BED=Z-BEF

BE=BE

/.△DBE三△”8E(S4S),

:.BD=BF/DBE=乙FBE,

•:乙DBE=45°,

：.LFBE=45°,

:,乙DBF=90°,Z-FBE=4DBE=4BDF=乙BFD=45°,

:,BE=DE=EF；

'：LDBF=90°,LABC=90°,

:.乙CBF=90°一乙DBC=乙ABD,

AB=CB

乙ABD二4CBF

BD=BF

/.△BAD£△BCF(SAS),

：.LADB=Z.CFB,

•:(CFB=45°,

：.LADB=45°,

J.LADE=乙ADB+乙BDE=90°,

A.4D||BE,

：.LCAD=MME,

•:乙COE=a,乙CME=乙COE+乙HEG=乙HEG+a

/.LCAD=乙HEG+a：

过点A作A”_LBE于点”，延长£。交4〃于点G,

则四边形4DEH是矩形，

：.AH=DE=BE=EF,AH||DC,

：.LOAG=乙OCE,乙OGA="EC,

(Z.OGA=乙OEC

斗。4G=4。3

IOA=OC

：.^AOG三△COEG4s4),

：,AG=CE,

,,(BA=BC

•=BE

:.'BAHZACBE(HL),

:・BH=CE,

:,BH=AG,

=AH-AG,

:・HG=HE,

•••△GHE是等腰直角三角形，

：.LHEG=45°,

C.LCAD=乙COE+Z.HEG=45°4-a,

故答案为：A.

【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，矩

形的判定和性质，过点A作A/718E于点”，延长E。交力”于点G,延长OE到点F,使得。E=

EF,连接8/，根据已知条件可证明△力OG三2\COEG4SA),ADBE三△FBE(SAS),△BAD

BCF(SAS),ABAH三ACBE(HL),利用全等三角形的性质可推出等腰直角三角形GHE,进而得出

乙HEG=45°,利用角的运算可求出々GW=Z.CME=乙COE+乙HEG=45°+a.

5.【答案】A

【解析】【解答】将△4DF绕点4逆时针旋转90。至A/W，，

;四边形4BC0是正方形，

：,AB=AD,乙ABC=Z.D=^BAD=4=90°,

由旋转性质可知：Z-DAF=LBAH,Z.D=Z.ABH=90°,AF=AH,

+/.ARC=180°.

，点、H,B,C三点共线，

'：LBAE=a,LEAF=45°,/.BAD=£.HAF=90°,

：.LDAF=4BAH=45°一a,LEAF=/.EAH=45°,

9：LAHB+/-BAH=90°,

：.LAHB=45。+。，

在AAE尸和中

AF=AH

Z-FAE=乙HAE，

AE=AE

：.△AFE三△AHE(SAS),

C.LAHE=Z.AFE=450+a,

J.LAHE=^AFD=AAFE=45。+a,

：.LDFE=^AFD+^AFE=90°+2a,

'：LDFE=乙FEC+zC=Z.FEC+90°,

LFEC=2a,

故选：A.

【分析】

利用三角形逆时针旋转90。后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：:四边形ABCD为菱形

AAB=BC=AD=DA,AB〃CD,OA=OC,OB=OD,AC±BD

AZBAG=ZEDG,△ABO^ABCO^ACDO^AAOD

VCD=DE

，AB二DE

:、&ABG^ADEG

.*.AG=DG

・・・0口为4ACD的中位线

AOG=1CD=1AB,即①正确；

•・・AB〃CE,AB=DE

・•・四边形ABDE为平行四边形

VZBCD=ZBAD=60°

•二△ABD、△BCD为等边三角形

，AB二BD=AD,ZODC=60°

AOD=AG,四边形ABDE为菱形，即④正确

AAD±BE,由菱形的性质可得，△ABGgZXBDG丝ZSDEG

:・&ABG^ADCO

:ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,即②不正确；

VOB=OD,

••ABG=SADGE

・•・四边形ODEG与四边形OEAG面积相等，即③正确

故答案为：A.

【分析】根据菱形、全等三角形、等边三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，相似三角形

的判定和性质求出答案即可。

7.【答案】D

【释析】【解答】解：连接AC、AD分别交OB于点G、点P,如图，

•••四边形OABC是菱形，

.-.AC1OB,点A,点C关于直线OB对称，

.-.PC+PD=PA+PD=AD,

此对PC+PD最短，

设直线OB的表达式为y=k]X+b;

•••直线OB过点O(0,0)和点B(8,4),

(卜—n他i=0

.•.将O(0,0)和点B(8,4)代入表达式得4，解得71，

(4=8kl+b\[储=2

・••直线OB的表达式为y=

•••直线AD过点A(5,0)和点D(0,1),

同理：可求得直线AD的表达式为y=—£+l,

丫=鼻

联立方程组，/,

y=-尹+1

z

fX-170

得

解j5

l-

-

ly7

・•.点P的坐标为(号,|)

故答案为：D.

【分析】连接AC、AD分别交OB于点G、点P,作BK_LOA的延长线于点K,已知四边形OABC

是菱形，根据菱形的性质得到点A,点C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=AD,此时PC+PD最

短，利用待定系数法结合点。、A、B、D的坐标分别求出直线OB、直线AD的表达式，联立方程

组即可求解点P的坐标.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示：延长BC交x轴于点D,

AZCOD=30°,

丁将菱形048。绕原点。逆时针方向旋转60。，得到四边形（点4与点C重合），

.*.ZC'OC=ZAOC=60°,

JZC'OC+ZCOD=60o+30o=90°,

・••点C在y轴上，

，BC〃y轴，

ACD10B,

**,CD=OC=V6,OD=OC=3y/2f

:・B'D=+CO=2几+n=3遍,

・•・点9的坐标是（3鱼，3遍），

故答案为：B.

【分析】根据菱形的性质求出/COD=30。，再根据旋转的性质求出/C'OC=/AOC=60。，最后计算

求解即可c

9.【答案】2V2

【解析】【解答】解：在BC的下方作乙CB7=30。，在87上截取8T,使得87=4。，连接ET,AT.

如图所示：

AD

•••四边形48co是菱形，乙ABC=60°,

•••LCBA=^CDA=60°,/_FDA=^CDA=30。,

VBT=AD,/-FDA=Z-EBT=30%BE=DF,

•••AADF=ATBE(SAS),

ET=AF,

•••LABT=Z-ABC+乙CBT=60°+30°=90°,AB=AD=BT=2,

根据勾股定理可得,

TA=\/AB2+BT2=V22+22=2VL

•••AE+AF=AE+ET,

•••AE+ET>TA,

•**AE+AF》2V2>

・••/1E+4F的最小值为2四，

故答案为2&.

【分析】在BC的下方作NC8T=30。，在上截取BT,使得B7=4D,连接E7\AT,先根据菱形的

性质得到4CB4=Z.CDA=60°,^FDA=|zCD/l=30。，进而根据三角形全等的判定与性质证明

I/O尸三，TBE(S4S)即可得至l」Er=4凡从而根据勾股定理即可求出TA,再结合题意即可得到

AE+AF的最小值。

10.【答案】V2

【解析】【解答】解：取FG的中点，连接MN交EB于点P,

则MN〃AG,MN=1AG=1(AB+BG)=2+1BG,四边形EPNF为矩形,

AEP=EN=1FG=1BG,PN=EF=BG,

AMP=MN-BG=2-1BG,

,/EM2=EP2+MP2=(IBG)2+(2-1BG)2=1(BG-2)2+2,

当BG=2时，EM?二有最小值二2,

EM的最小值为四.

故答案为：V2.

【分析】取FG的中点，连接MN交EB于点P,可得MN〃AG,MN=1AG=1(AB+BG)

=2+1BG,四边形EPNF为矩形，从而得出EP=EN=：BG,PN=BG,继而得出MP二MN-BG=2^BG,

利用勾股定理求出EM2,求出EM?的最小值即可得解.

11.【答案】竽或笠⑮

【解析】【解答】解：在矩形纸片ABCD中，AB=CD=7,AD=BC=6伤，ZA=90°.

对于点F的位置，分两种情况讨论：

(1)当点F在矩形纸片ABCD内部时，过点F作GH_LAD,如图1.

图1

,/△BCF的面积为6遍，

.*.|fiC-FH=ix6V5-FH=6店.

AFH=2.

AFG=5.

在RM8H/中，BF=AB=7,ABH=V5F2-FH2=V72-22=3V5.

/.EG=AG-AE=BH-AE=3遥-AE.

由折叠的性质可知，AE=EF.

在RtZiEGF中，由勾股定理，得EG2+FG2=EF2,即（3V5-AE）2+52=AE2.

解得AE二革；

（2）当点F在矩形纸片ABCD外部时，过点F作FG_LAD交BC于点H,如图2.

图2

与（1）同理可得，FG=9,EG=3A/5-AG.

由折叠的性质可知，AE=EF.

在RSEGF中，由勾股定理，得EG2+FG2=EF,即（3V5-AE）2+92=AE2.

解得AE二尖1

故答案为：军或竿.

。KJ

【分析】对于点F的位置，分两种情况讨论：（1）当点F在矩形纸片ABCD内部时；（2〕当点F在

矩形纸片ABCD外部时，然后构造自.角二角形，逋过勾股定埋列方程即可求解.

12.【答案】第

【解析】【解答】解：.••四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形,

ACD=CB,CG=CE,ZGCE=ZDCB=90°,

AZGCD=ZECB,且CD=CB,CG=CE,

/.△GCD^AECB(SAS),

ACG=CE,BE=GD,

如图，过点F作FN_LGH于点过点C作CM_LGH于点M,

VAE=2,AB=4

AD=CD=AB=4,DE=AD-AE=3,BE=\/AE24-AB2=2炳,

・"E=y/CD2+DE2=2遥，

・"G=CE=2通，

,BE=DG=2遥，

VZFGC=90°,

AZFGD+ZDGC=90°,ZFGD+ZGFD=90°,

AZGFN=ZDGC,且FG=GC,ZFNG=ZCMG=90°,

/.△FGN^AGCM(AAS),

AFN=GM,

VCM2=CG2-GM2,CM2=CD2-MD2,

•9-20-GM2=16-(2遥-GM『，

•*,GM=

，点F到GH的距离/TE=绛，

故答案为：黑I

J

【分析】根据正方形的四条功相等，四个角是宜角可得CD=CB,CG=CE,ZGCE=ZDCB=90°,根

据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CG=CE,BE=GD,

结合题意和勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得BE,CE,CG,BE的

值，根据两角及其•角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得FN=GM,根据

勾股定理列出方程，可求GM的长，即可得点F到GH的距离.

13.【答案】9.6

【解析】【解答】解：连接AC、0A,如图所示，

•・•四边形ABCD为菱形，对角线BD=16,边长为10,

ADG=8,AC_LBD,

,AG=V102-82=6，

'•^AABD=^ABOA+^ADOA»

即^BD-AG=-OE4-^AD-OF,

LLL

A16x6=100E+100F,

解得：OE+OF=9.6,

故答案为：9.6.

【分析】连接AC、OA,先由菱形性质得到DG=8,AC1BD,再由勾股定理得到AG=6,接着根据

SAABD=SAB0A+S/DO小由等面积法得到OE+OF的值.

正方形，AB=2>/2,ABC=AB=2V2,ZB=90°,ZBAC=ZDAE=45°,AAC=V2AB=4,XVAADE

绕点D逆时针旋转9()。得到△DCF,.\ZDCF=ZDAE=45°,AE二CF,

/.ZECF=ZACD+ZDCF=90°,设AC=CF=x,EF2=y,则CE=4・x,在RsECF中,

VEh2=CE2+Cb2,/.y=(4-x)2+x2=2x2-8x+I6=2(x-2)2+8(0<x<4),•二次函数开口向上，・•・当

2

x=2时，ymln=8,当x=4时，yx=16,/.8<EF<16.

(2)解.：将△ABE绕点A顺时针旋转60。得到AAFG,连结EG、DF,作FH_LAD于点H,如图

BE=FG,ZEAG=60°,J△AEG为等边三角形,

AAE=EG,VDE+EG+GF>DF,AE=EG,BE=FG,ADE+AE+BE>DF,HR(DE+AE+BE)min=DF,

在RlZkAFH中，VZFAH=30°,AF=2或,；.FH弓AF二冠，AH=〃产_而一遍,在RIADFH中,

VDH=V6+2V2，・・・DF=J0H2+77H2=2+28,(DE+AE+BE)m>„=2+2V3.

【解析】【分析】(1)①根据题意作出图形即可.

②根据正方形的性质和旋转的性质得AC=4,ZECF=90°,SAC=CF=x,EF2=y,则CE=4-x,

在RsECF中，根据勾股定理得y=2(x-2)2+8(0<x<4),由二次函数的性质即可求得答案.

(2)将^ABE绕点A顺时针旋转60。得到△AFG,连结EG、DF,作FH1AD于点H,根据等边三

角形的判定可得△AEG为等边三角形，因为DE+EG+G史DF,等量代换得DE+AE+BE2DF,即

(DE+AE+BE)min=DF,在RMAFH中，根据勾股定理求得FH、AH长在RQDFH中，根据勾股

定理求得DF长即可.

15.【答案】(1)AE1CG.

(2)证明：如图，作EQ1BC于点Q,EPJ.CD于点P,

•••LEQF=乙EPD=90°,

•.•正方形4BCD中，

Z.BCD=Z.ADC=90°,AD=CD,4c平分/BCD,

四边形EQCP为正方形，

・••LQEP=90°,QE=PE,

•♦•矩形EFGD4L乙FED=90°,

：•Z.QEP=乙FED,

贝I］乙QE『-乙FEP=乙FED-乙FEP,

口|J4QEF=乙PED,

EQ"SEPD中，

ZQEF=(PED

QE=PE

Z-EQF=Z-EPD

EQF三△EPO(ASA),

•••EF=ED,

.•.矩形EFGD是正方形，

DE=DG,乙EDG=90°,

:.LADC=Z.EDG,

贝I」乙4DC一乙EDC=Z.EDG一乙EDC,

即乙40E=乙CDG,

•••△ZZ4E和AOCG中，

(AD=CD

\z-ADE=Z-CDG

(DE=DG

DAE三△DCG(SAS).

【解析】【解答］解：(1)AELCG,

如图，作EQJ.BC于点Q,EP1CD于点P,

•••LEQF=乙EPD=90°,

・••正方形A6c。中，

/.BCD=Z.ADC=90°,AD=CD,AC平分乙BCD,

四边开2EQCP为正方形，

•%LQEP=90°,QE=PE,

•.•矩形EFGO中，乙FED=90°,

:.LQEP=乙FED,

贝I」乙QEP-乙FEP=乙FED-乙FEP,

即乙QEF=乙PED,

.♦.△EQ/和△£「/)中

(乙QEF=乙PED

QE=PE

Z-EQF=乙EPD

EQF三△EPDG4s4),

•••EF=ED,

•••矩形是正方形，

•••DE=DG,乙EDG=90°,

•••LADC=Z.EDG,

则乙4OC-Z-EDC=乙EDG-乙EDC,

BPr/lDE=乙CDG,

•••△/Z4E和ADCG中，

(AD=CD

\z-ADE=/-CDG

(DE=DG

•••△DAE^ADCG(SAS),

ALDAE=Z.DCG,

•••等腰直角△4CO中有NZX4E+LDCA=90°,

••・LDCG+乙DCA=90°,

^LACG=90°,AE1CG.

【分析】（1）如图所示，AE、CG的位置关系很明显不是平行，容易推测是垂直，但看起来简单，

证明起来过程比较冗长；看到下一问是全等三角形的证明，如果结论得证，则可以由对应角相等得

到AE

、CG的交角是90。，故思路比较消晰起来，先证△04E三△OCG；

（2）由正方形性质，可得一组全等证明需要的等边，由AC是角平分线想到角平分线性质可得等

边，故尝试作EQ_LBC于点Q,EP1CD于点P,得EQ=EP,由同角NFEP的余角相等得到证明

EF二ED的条件，此时可以推导出矩形EFGO是正方形，至此证明全等的条件还缺少两对应边的夹

角：再次由同角4COE的余角相等得到该夹角相等，至此此时全等的条件足够，符合SAS定理，整

理思路推导即可。由全等可知对应角々/ME=/OCG=45。，则有乙4CG=4OC4+/DCG=90。，垂

直关系得证。

16.【答案】（1）证明：作EM_LAD于M,ENJ_AB于N.

••・四边形ABCD是正方形,

.-.ZEAD=ZEAB.

•••EM±AD,EN±AB

AEM=EN.

VZEMA=ZENA=ZDAB=90°,

・•・四边形ANEM是矩形，.

AZMEN=ZDEF=90°,

AZDEM=ZCFEN.

vZEMD=ZENF=90°

EM二EN,

.△EMD^AENF,

•••ED=EF.

.・泗边形GFED是矩形，.

四边形GFED是正方形.

（2）解：.四边形GFED是正方形，四边形ABCD是正方形,

.-.DG=DE,DC=DA=AB=4.

ZGDE=ZADC=90°,

ZADG=ZCDE,

AADG=ACDE

.•.AG=CE

AG+AE=EC+AE=AC=>/2AD=4y/2

【解析】【分析】（1）如图，作EM_LAD于M,ENJ_AB于N.只要证明△EMD@Z\ENF即可解决问

题：根据正方形的性质得ZEAD=ZEAB.,AC是角平分线，所以EM=EN；根据矩形的判定定

理得：四边形ANEM是矩形，因为EF1DE,NDEM+NFEM=NFEN+NFEM,得ZDEM=

ZFEN,根据“ASA”可证明△EMDgaENF,即可解得。

(2)由(1)得DG=DE,DC=DA=AB,ZGDE=ZADC,所以/ADG=NCDE可证明

△ADG^ACDE,可得AG=EC即可解次问题.

17.【答案】(1)证明：•.•在正方形4BC0中・・.C8=CO,Z.B=^CDA=90°,

:.乙CDF=180°-Z-CDA=90%z/?=^CDF

CB=CD

•・•在△BCE^LOCF中，乙B=ACDF,A△BCE=△DCF(SAS).：,CE=CF.

BE=DF

(2)解：GE=BE+GO成立.理由如下：

「乙8co=90°,Z.GCE=450・••乙BCE十乙GCD=45°.

V△BCESADCF：•乙BCE=乙DCF.

：.LGCF=^GCD+乙DCF=^GCD+乙BCE=45°..*.Z/?CG=乙FCG.

CE=CF

;在△ECG和△FCG中，乙ECG=乙FCG,△ECG=△FCG(SAS).：.GE=FG.

CG=CG

•:FG=GO+OF,

：,GE=BE+GD

(3)10；15

【解析】【解答］解：(3)过点C作CH_LAD交AD延长线于点H,延长DH至点I,使得HI=BE,

连接CI,

ADHI

I---------7V--------i7

VZA=ZB=ZAHC=90°,且AB=BC,

，四边形ABCH是正方形，

同(2)可证，ABCE"HCI(SAS),△DCEW2\DC/(S4S),

：.Hl=BE=4,AE=AB-BE=8,AH=AB=BC=12,DF=DI=DH+HI,

设DE=%,»\DH=DI-H!=DE-HI=x-4,

：.AD=71H-DH=12-(x-4)=16-x：

在R£A£;4O中，由勾股定理可得OF?=AE2+AD2,

即，-82+（16-X）?

解得x=10；

・••则DE的长为10；

②将RsADB和RSADC延AB和AC翻折，对应点分别为M,N,延长MB交NC延长线于点

P,连接AM,AN,

由翻折可知，AM=AN=AD,/_MAB=LDAB,乙NAC=cCAD，zM=Z/V=Z.ADC=LADB=

90°,

BM=BD=2,CN=CD=3

：.LMAN=24840+2/-CAD=2x45°=90°,

二四边形AMPN是正方形，

设A。=AM=AN=NP=MP=m,

则BP=PM-BM=m-2,CP=PN—CN=m-3,

在RtABCP中,由勾股定理可得B勾=BP2+CP2,

即5?=（山-2）2+（巾一3）2,

解得m=6或者ni=-l（舍去）

.*.CD=m=6

11

,SACGf=2，GF，CD=7X5X6-15

，图3中的A48C得面积为&UBC=15：

【分析】（1）根据题意可知乙8=CB=CD,CE=CF,即可证明△8CE三△OCF,可得

CE=CF；

（2）此问考核半角模型，通过证明△ECG三△?«；,可得GE=FG,再利用二BE,等量代换即

可证明GE=BE+GD；

（3）①利用问题（2）的结论以及勾股定埋列方程求解即可；

②类似问题利用45。翻折构造完整正方形，进而利用正方形的性质和勾股定理求出高AD即可.

18.【答案】(1)证明：,・•点［是G尸的中点,

：.AF=AGf

•・•四边形DEGF是矩形，

:・DF=GE,zF=乙FGE=90°,

A△ADF三△4EG(S4S),

.'.AD=AE,

：.LADE=LAED,

V.4D||BC,

J.LADE=乙DEC,

：.LDEC=Z-AED,

，EO是乙4EC的平分线.

(2)解：如图1中，延长4G交C8的延长线十7.

图1

•・•四边形DEG尸是矩形，

:.DE||FT,DE=FG,

VDE||FT,

・"T=乙DEC,

*：LABT=〃：=90°,AB=DC,

ABT三(44S),

：.AT=DE,BT=CE=1,

XVDE=FG,

：.AT=FG,

：,AF=GT=2,

*：GA=GB,

».LGAB=乙GBA,

*：^GAB+47=90°,Z.GBA+乙GBT=90°,

：.LT=乙GBT,

：.GT=GB=GA=2,

•MB=7AT?-BT'2=V42-l2=V15，

*：AG=GT,EG1AT,

：,EA=ET,

设氏4=ET=x,

在R£448E中，AE2=AB2+BE2

则有/=(位)2+Q-I)2

解得：x=8,

：.AE=ET=8,

V.4T=DE,AT||DE,

・•・四边形/WET是平行四边形，

：.AD=ET=8.

(3)解：如图2,延长4G交C8的延长线于T.

图2

•；BG=BE,

工乙BGE=乙BEG,

•・•四边形。EGF是矩形，

：.LEGT=90°,AT||DE,

・••乙BGE+匕BGT=90。,Z.T+^BEG=90°,

:•乙BGT=47,

:・GB=BT,

：.BT=BE=BG,

•・•四功形48co是正方开北

.AD||ET,AB±BC,

V.4D||ET,AT||DE,

・•・四边形ADET是平行四边形,

：.AD=ET=10,

・BT=BE=3ET=S,

-AE=7AB2+BE?=V102+52=S近,

*BT=BE,AB1BC,

-AT=AE=5^5^

S.AET=2xET,AB=-^xAT,GE>

ETxAB10x10

.GE==4后

AT575

•AG=yjAE2-GE2=J(5近＞-(4A/5)2=3遍.

【解析】【分析】(1)证明尸三△4EG(S4S),可得可得=44£7),利用平行线

的性质可得NDEC=乙4E7)=NADE,继而得解;

(2)延长4G交CB的延长线于几证明△ABTDCE(44S),可得AT=DE,BT=CE=1,易证

EG垂直平分AT,可得EA=ET,设瓦4=ET=x,在RMABE中，AE2=人5+BE2据止二构建关于

x方程并解之，从而得出AE=ET=8,再证四边形AOET是平行四边形，利用平行四边形的性质

即可求解；

13)延长力G交CB的延长线于几先求BT=BE=BG=5,由勾股定理求出AE的长，再利用面积发

求出GE的长，最后利用勾股定理求出AG即可.

19.【答案】(1)正方形

(2)解：MC=ME

理由如下：如图，连接EC',

G/、

•、、一

由（1）知：AD=AE

•・•四边形48CD是矩形,

A.4D=BC,Z.EAC1==90°

由折叠