【培优版】北师大版九年级数学上册 矩形的性质与判定 同步练习（含解析）

【培优版】北师大版数学九上1.2矩形的性质与判定同步练习

一、选择题

1.如图，在矩形ABC。中，E、尸分别是边AB、CO上的点，AE=CF,EF与对角线4c交于点。，且

FC=6，则48的长为（）

3V3C.473D.6

2.如图，矩形4BCD中，4B=5,AD=6,点P为平面内一点，且8P=2,点。为CO上一个动

)

5V2-2C.7103-2D.13

3.如图，在QABCD中，有下列条件：①AC=BD.②Nl+N3=90。.③OB=4AC.④N1=N2.其中

能判定口ABCD是矩形的有•）

A.①B.①②③C.②③④D.①②③④

4.矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的B，处，折痕为AE.延

长B，E交AB的延长线于M,折痕AE上有点P,下列五个结论中正确的有（）个.

①NM=NDAB；②PB=PB；=—；④MB=CD；⑤若BT_LCD,贝1JEB，=bP.

2

A.2B.3C.4D.5

5.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分NBAD交BC于点E,若NCAE=15。,

OA=6,则BE的长为（）

C.7D.8

6.如图，将矩形纸片FBCO沿对角线力C对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点、F,若CE平分

UCD,AF=2,则CO的长是：）

A.1.5B.乃C.亨+1D.等］

7.如图，在矩形A8CO中，AB=2,BC=4,尸为8C中点，P是线段8F上一点，设BP=m（0V

2）,连接/P并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接。E,EF,则在点P从点8向点F运动

的过程中，下列说法错误的是1）

A.^EFC=45°B.点。始终在直线£•尸上

C.△"CE的面积为〃？D.CE的最小值为百

8.如图，在矩形ABCD中，AD=V2AB,NBAD的平分线交BC于点E,DH_LAE于点H,连接

BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：

①NAED二NCED；②OE=OD；③BH二HF；（4）BC-CF=2HE；⑤AB=HF,

其中正确的有（）

C.4个D.5个

二、填空题

9.如图，在中，/。=90。，AC=BC=6.P为边48上一动点，件POJL8C于点D,PE1

AC于点E,则DE的最小值为

10.如图，在矩形ABCDE是AD的中点，连结BE,将△ABE沿BE翻折得到△FBE,EF

交BC于点H,延长BF,DC相交于点G.若DG=8,BC=12,则FH=.

11.如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型(如图2),过该造型的上下左侧五点作矩形

ABCD,使得第=鲁，点N为PQ的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形EPGH作为印章区域

DC□

(EH//AD,HG"CD),形成一幅装饰画，则矩形A8CD的周长为cm.若点M,N,E在同一

直线上，且点H到40的距离与到CO的距离相等，则印章区域的边长为.

BMC

图1图2

12.如图，在矩形A3C。中，AB=2,AD=3,动点p在矩形的边上沿B->C-0->4运动。当点

夕不与点A、8重合时,，将△45P沿4P对折，得到△AMP,连接C8',则在点尸的运动过程中，线

段CB'的最小值为.

13.如图1,有一张矩形纸片FBCO,已知AB=10,AD=12,现将纸片进行如下操作：现将纸片沿

折痕BF进行折叠，使点4落在BC边上的点E处，点尸在49上（如图2）,则。F=；然后将

△FBE绕点尸旋转到AFMN,当例N过点C时旋转停止，则EN的长度为.

图1图2图3

三、解答题

14.如图，在平行四边形A8CD中，AB=5,BC=7,NACB=45。，AOAB,E,尸为对角线AC上的

两点（点E与A、。、尸都不重合），AE=CF,EM_L8C于点朋，FN上AD于点N,连结EMFM.

（1）求证：四边形EMSV是平行四边形.

（2）四边形EM&V能否成为矩形？四边形能否成为菱形？请直接写出答案.

（3）连结MM作点C关于MN的对称点C,若点C落在边A8上，求4E的长.

15.如图1,将矩形纸片48CD对折，48与CO重合，展开后，折痕为EF.再次折叠，折痕CN经过

点E,RCN交EF于点、0,使点8落在EF上的点G处，连接8G、CG,点尸落在CG上的点“处，连接

BH.

(I)求乙48G的度数；

(2)求证：BH1CG；

(3)如图2,在矩形纸片AECD中，K是边CD上的一点，连接8K,在BC上取一点P,折叠纸片，

使B、P两点重合，展开后，折痕为EF.沿着直线MN折叠纸片，使点B落在EF上的点G处，点P落在

8K上的点Q处，连接BG、GQ,MN交E尸于点。.试探究/BQG与之间的数量关系.

16.如图，在A48C中，0是边4c上的一个动点，过点0作直线MN||BC,交乙4c8的平分线于点

E,交△48C的外角4ACD的平分线于点F.

(2)若CE=12,C"=5,求0C的长；

(3)连接凡当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，四边形40BC是矩形，点。(0,0),点力(6,0),点3(0,8).以点A为中

心，顺时针旋转矩形40BC,得到矩形4DE凡点0,B,C的对应点分别为。，E,F,记旋转角为

a(00<a<

90°).

图1图2图3

（1）如图1,当支=30。时，求点Q的坐标；

（2）如图2,当点七落在4c的延长线上时，求点。的坐标；

（3）如图3,当点。落在线段。C上时，求点E的坐标.

18.已知矩形4BCD,AB=3,BC=5,将矩形ABCD绕A顺时针旋转a（0。VaV180。）,得到矩形

4EFG,点8的对应点是点E,点C的对应点是点F,点。的对应点是点G.

图①图②

（1）如图①；当a=90。时，连接CF,求CF的长；

（2）如图②，当边EF'经过点。时，延长FE交BC十点以求EP的长;

（3）连接CF,点例是CF的中点，连接8M,在旋转过程中，线段8M的最大值_________

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：连接0B,如图,

•・•四边形ABCD为矩形,

・•・AB//CD,

/.ZEAO=ZFCO,

ZAOE=ZCOF,AE=CF,

△AOE^ACOF(AAS),

EO=FO,

•••BE=BF,

ZEBO=ZFBO,ZBOF=90°,

•・•ZBEF=2ZBAC,ZBEF=ZBAC+ZAOE,

.•・ZBAC=ZAOE,

・•・AE=EO,

・•・OF二FC,

・•・RsBOF^RtABCF(HL),

・•・ZFBO=ZCBF,

•IZFBO+ZCBF+ZEBO=90°,

/.ZEBO=30°,

・•・2EO=BE,即2AE=2FC=BE=2V3,

AB=AE+BE=3\/3.

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质可得AB〃CD,根据AAS判定△AOE丝ZXCOF推出EO=FO,根据

等腰三角形的性质可得/BOF=90。，ZEBO=ZFBO,依据外角的性质可推出NBAC=NAOE得到

OF=FC,根据HL判定RSBOF0RSBCF推出ZEBO=30°,计算出BE=据C,即可求得.

2.【答案】A

【解析】【解答】•.•点夕为平面内一点，且30=2,

・♦・点P在以B为圆心，2为半径的08上延长AD至IJ4,使。4=ZM=6,连接Q4',8A交。8于点P'

如图，

•••四边形ABCD是矩形，

CO垂直平分AA,

QA'=QAt

v4Q+PQ=A'Q+PQ+PB=P'B>ArB-P'B=A'B-2,

AQ+PQ的最小值为AB-2,

在直角三角形A'AB中,AfA=2AD=12MB=5,

由勾股定理可得48=y/A/A2+AB2=V122+52=13,

・•.AQ+PQ的最小值为13-2=11,

故答案为：A.

【分析】根据题意得到点P在以B为圆心，2为半径的08上延长AD至必,，使。©=。4=6,连接

QN,84'交OB于点P',进而得到4Q+PQ的最小值为48-2,利用勾股定理求出4B=13,从而求解.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：①•・•四边形A8C。是平行四边形，AC=BD,

・"/WCQ是矩形；

（2）VZ1+Z3-9OA,

••・ZABC=90°,

“ABC。是矩形；

（3）•・•四边形ABCD是平行四边形，

・•・OB=OD=为。，

*：OB=^AC,

:・AC=BD,

・“A8CZ）是矩形；

④•・•四边形A8C。是矩形，。4=。。=夕6；05=00=^8。，AB//CD,

：・N\=/OCD,

VZ1=Z2,

：.Z0CD=Z2,

：.0C=0D,

:・AC=BD,

・"ABC/）是矩形：

综.匕所述，能判断口A8CZ）是矩形的有4个，

故答案为：D.

【分析】由平行四边形的性质和矩形的判定方法分别对各个条件进行判断即可解答.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：连接AB）

①由AB〃CD,可得NM=NCB'E,而NCB'E+NDB'A=NDAB'+NDB'A=90。，AZCB'E=

/DAB'

AZM=ZDAB',故可得①正骑；

②根据折叠的性质可得AB』AB,AP=AP,ZB,AP=ZBAP,根据SAS可判定△B，AP空ABAP,

APB=PB',故可得②正确；

③在RgADB可得，BD=JAB，2_加4公_42=3,.\CB,=CD-B'D=5-3=2,

设AE=x,则EB，=EB=J/_52，

2，222:

在RSCEB'中，CE+CB=EB,即(4-7x2_52)2+2=x-25,

解得：x=5奖（舍负），即AE=§^.

故可得③正确；

④假如MBF=CD,则可得MB'=AB=AB',

/.ZM=ZBAB',由①得"M=NDAB1

故有NBAB'=NDAB'=45。，

而本题不能判定NBAB=NDAB=45。，即假设不成立.

故可得④错误.

⑤若BT1CD,则BP〃BC,

.,.ZB'PE=ZBEP,XVZBEP=ZB,EP,

，EB'=BP,

故可得⑤正确.

综上可得①②③⑤正确，共四个.

故答案为：C.

【分析】由矩形知AB〃CD,可得NM=NCBE,又由NCBE+NDBA=NDAB=NDB'A=90。可判

断①是正确的；利用折叠的性质利用SAS可判断出△BAPgaBAP,因此可得出PB=PB，，则判断

出②是正确的；设AE=x,表示出EB三EB=J%2_52,在RsCEB，中利用勾股定理列出关于x的

方程，解方程即可求出AE的长度，从而可判断出③是正确的；利用反证法假设MB，=CD,则得

ZBAB'=ZDAB,=45°,与题意不相符，则判断出④是不正确的；根据夕P_LC。，判断出9P〃8C,

从而有NB'PE=NBEP=NB'EP,从而得出EB，=BP,则可判断出⑤是正确的.

5.【答案】B

【廨析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分NBAD

Z.ZBAE=ZEAD=45°AD//BCOA=OB=6

:.ZAEB=ZEAD=45°AB=BE

VZCAE=15°ZBAE=45°

AZBAC=60°又,:OA=OB

A△ABo是等边三角形

・二BO=AB=6

・・・BO=BE=6

故答案为：B.

【分析】根据矩形的性质得出NBAE二NEAD=45。AD〃BCOA=OB=6证出NAEB=NEAD=45°

得到BE二BA证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6则得出答案。

6.【答案】B

【解析】【解答】解：过F作FG_LAC于点G,

E

,・，CF平分NACD,

AFD=GE

由折叠可得AB=AE.

•・♦四边形ABCD为矩形，

AAB=CD,ZD=90°,

ACD=AE,ZACD+ZCAD=90°.

VCD=AE,ZE=ZD=90°,ZAFE=ZCFD,

AEF^ACDF(AAS),

AAF=FC=2,

AZFAC=ZFCD.

•・，CF平分NACD,

/.ZACF=ZDCF,

JZACF=ZFCD=ZFAC.

VZACD+ZCAD=90°,

AZFCD=30°,

/.DF=1CF=1,

•*-CD=VCF2-DF2=V3.

故答案为：B.

【分析】过F作FG_LAC于点G,由角平分线的性质可得FD=GF,由折叠可得AB二AE,根据矩形

的性质可得AB=CD,ZD=90°,则CD=AE,ZACD+ZCAD=90°,利用AAS证明

△AEF^ACDF,得到AF=FO2,则NFAONFCD,结合角平分线的概念可得NACF=/DCF,则

ZACF=ZFCD=ZFAC,据此可得NFCD=30。，得至l」DF§CF=l,然后利用勾股定理计算即可.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EH_LBC于点H,

VBP=m(O<m<2),

・••点P在线段BF±,

•••F为BC中点,

ACF=BF=2,

:将AP绕点P顺时针旋转90。得到线段PE,

AAP=PE,ZAPE=ZABP=ZPHE=90°,

AZBPA+ZEPH=90°,NBAP+NBPA=90°,

，NBAP=ZEPH,

.*.△BAP^AHPE,

ABP=EH=m,AB=PH=2,

AFH=PH-PF=2-(2-m)=m,

AEH=FH,

AZEFC=45°,

・•・选项A不符合题意；

VCD=CF=2,

・・・NDFC=45。，

・••点D在直线EF上，

・•・选项B不符合题意；

VSAEFC=icFEH-x2m=m,

，选项C不符合题意；

•・,点E在DF上移动，

・••当CEJ_DF时，CE有最小值，

VCF=DC=2,ZDCF=90°,

・・.DF=2式，

VCE1DF,

ACE=1DF=V2,

乙

・・・CE的最小值为2,

二・选项D符合题意；

故答案为：D.

【分析】利用矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积公式，旋转的性质等对每个说

法一一判断即可。

8.【答案】C

【辞析】【解答】:在矩形ABCD中，AE平分ZBAD,

AZBAE=ZDAE=45°,

・•・△ABE是等腰直角三角形，

：.\E=\[2AB,

VAD=V2AB,

AAE=AD,

在AABE和^AHD中,

/-BAE=Z.DAE

/-ABE=LAHD=90°,

AE=AD

/.△ABE且△AHD(AAS),

ABE=DH,

，AB二BE二AH二HD,

AZADE=ZAED=1(180°-45°)=67.5°,

・・・NCED=180。-45°-67.5°=67.5°,

AZAED=ZCED,故①正确；

VAB=AH,

VZAHB=1(180°-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB(对顶角相等)，

・•・ZOHE=67.5°=ZAED,

AOE=OH,

VZDHO=90°-67.5°=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5°,

AZDHO=ZODH,

・・・OH=OD,

AOE=OD=OH,故②正确；

VZEBH=90u-67.50=22.5°,

/.ZEBH=ZOHD,

在△BEH和^HDF中，

(Z.EBH=乙OHD=22.5°

BE=DH，

LAEB=乙HDF=45°

.*.△BEH^AHDF(ASA),

ABH=HF,HE=DF,故③正确；

VHE=AE-AH=BC-CD,

ABC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确;

VAB=AH,ZBAE=45°,

A△ABH不是等边三角形，

AAB/BH,

，即ABrHF,故⑤错误；

综上所述，结论止确的是①②③④共4个.

故答案为：C.

【分析】利用△ABE是等腰直角三角形，AD=鱼AB可证得△ABEgZ\AHD,进而可证

△BEH丝ZXHDF得出结论.

9.【答案】3V2

【解析】【解答】解：连接PC,如图所示：

由勾股定理得力8=V624-62=6&,

•；PD1BC,PE1AC,zC=90°,

・・・四边形EPDC为矩形，

AED=PC,

，当PC_LBA时，此时PC最小，ED的值也最小,

:.S^ABC=④x84xPC=④xCBxC4,

代入数据解得PC-3匹，

・・・DE的最小值为3企，

故答案为：3V2

【分析】连接PG先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到

ED=PC,从而根据垂线段最短得到当PC_LBA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用=

*xB4xPC=；xCBxCA代入数据即可求解。

10.【答案】得

【解析】【解答】解:如图，连接EG,

由矩形的性质得：=ZD=90°,AB=DC,BC=AD=12.

由折叠的性质可得：AE=EF,z/1=Z.BFE=90。，AB=BF.

:,乙D=乙EFG=90°,DC=BF.

•••E是4。的中点，

ED=AE=EF=^AD=6，

•••EG=EG,EF=ED,

SEFGwRtXEDG(HL),

：•FG=DG=8,

设DC=x,贝IJCG=DC-DC=8-x,BG=BF+FG=DC+FG=x+8,

在山△BCG中，由勾股定理得：BG2=CG2+BC2,

即：(x+8)2=122+(8-X)2，

9

解w:X

2)

9

BFoc

2*

-AD||BC,

LAEB=乙CBE,

vLAEB=(FEB,

LCBE=乙FEB,

BH=EH,

设BH=EH=y,则FH=6—y,

在中，^BFH=90°,由勾股定理得：BH2=BF2-^FH2

2

即y2=(j+(6—y)2，

解得：y=会,

7C91

•••FH=EF-EH=6—y=6-岩岩

故答案为：21

【分析】连接EG,结合折叠的性质和矩形的性质，由全等三角形的判定定理可证明△£t9GW4

EDG.根据全等三角形的性质可得OG=FG=8,可设OC=x,则A8=8"=x,在R£Zk8CG中，

根据勾股定理可求DC的长，即8尸的长，再在中，根据勾股定理可求EH=8H的长，从而

求出FH的长.

11.【答案】64；3.5

【解析】【解答】解：由图I可知，七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6,然后3或，最小

的直角边长为3,正方形和平行四边形的短边长都是3

过点N作4。和BC的垂线，垂足分别为/,K,则N/=3+3+3=9

又MN=3a,且△NMK是等腰直角三角形，所以NK=3,故JK=9+3=12

又乙4=LB=乙BKJ=90°,所以四边形48K/是矩形，所以48=JK=12

又知煞=g,所以BC=20,故矩形4BCD的周长为：2x(12+20)=64

beb

延长MN经过点E与40交于点L连接DH

因为乙NMC=4°,R.AD//BC,所以乙ALM=45°

又因点〃到4D和。的距离相等，所以点H在-10C的角平分线上

则乙WH=1x90°=45。，所以乙40H=/-ALE,所以LE〃DH

又LD//EH,所以四边形LE”O是平行四边形.

又知=6+1.5=7.5,JL=JN=9，

所以AL=7.5+9=16.5,

所以0L=20-16.5=3.5

则EH=DL=3.5

故答案为：64,3,5.

【分析】本题主要考杳矩形的判定，平行四边形的判定，角平分线的判定，解答此问题关键是作出

辅助线，利用几何关系找出对边和对角，进而对相关图形的判定，使用相关图形的性质可实现对本

题的求解.

12.【答案】713-2

【解析】【解答】解：连接AC,

在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,

=AD=3,

AC=4BO+AB?=V13,

①当点P在BC上,

・・・B，在A为圆心，2为半径的弧上，

当A,B',C三点共线时，CB，最小,

^CB'=AC-ABf=y/13-2.

②当点P在DC上，

,..........Y'

此;讨CB'＞旧一2,

③当点P在AD上,

此讨。8'＞旧一2,

综上所述，线段C9的最小值为反-2,

故答案为：V13-2.

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长度，然后分三种情况讨论，①当点P在BC上，②

当点P在DC上，③当点P在AD上，分别进行计算即可.

13.【答案】2；雪里

JLO

【解析】【解答】在矩形ABCD中，ZA=ZABC=90°,AB=CD=10,AD=BC=12,

由折叠的性质可得AB=BE,ZBEF=90°,

.•.四边形ABEF是矩形，ZCEF=180°-90°=90°,

,.AB=BE,

四边形ABEF是正方形，

••.AB=BE=EF=AF=1(),

.-.DF=BC-BE=2,

由勾股定理可得CF=VCE2+EF2=72+102=2726,

连接CF,如图，

由旋转的性质可得NBEF=NCNF=90°,EF=NF,

­.CF=CF,

:.Rt△ECF三RtANCF(HL),

.-.CN=CE=2,EF=NF=10,

••・C、D在EN的垂直平分线上，

.-.CF1EN,

二四边形ECNE的面积为鼻N•CF=2x4x10x2,

1l1

:.5xENx2v26=2xx10x2,

乙乙

解得EN=曙，

【分析】先证明四边形ABEF是正方形，得到AB=BE二EF=AF=IO,DF=BC-BE=2,连接CF,利用

勾股定理求得CF的值以及旋转的性质，通过HL证明尸三RtANC凡从而得至UCN=CE=2,

EF=NF=1O,证明C、D在EN的垂直平分线上，最后利用四边形ECNE的面积为4♦CF=2X④X

10x2,代入数据计算即可求解.

14.【答案】（1）证明：XABCD为平行四边形

AADHBC

VEM±BC,FN_LAD

AEM||FN

AZAFN=ZCFM

VAE=CF

AAE+EF=CF+EF即AF=CE

XVADUBC

.\ZFAN=ZMCE

在^ANF和仆CME中

"F空=乙AFN=乙CEM

AF=CE

ANF^ACME

，EM=NF

・・・EMFN为平行四边形

（2）解：不能为矩形也不能为菱形

若EMFN为矩形，则NENF=90。，而NANF=90。，明显矛盾.

若EMFN为菱形，则ME=MF,而由NACB=45。得/MEC=45。，ZMFE=45°,ZEMC=90°,明显矛

盾.

（3）解：第一步：作AG_LBC于点G,设CG=m,则AG=m,BG=7-m,由勾股定理得5?二m?+（7-

m）2,得m=4或3（舍），故AC=442.

第二步：如图，连接OC,MC,

易知OC=OA=OC,故ACO90,由等面积法知CC="甯°=空=连接CC交MN于点H,

BC-Jcs2-CC>2=J72一（舒=等MH喘，而CH中，故CM7cH2+MH?=

J鼎）2+（第2=%故CE二学,于是AE=AC-CE=442-竽哆

【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证明全等三角形，可得一组对边平行且相等，可得平行四

边形；

⑵可假设法推导出矛盾；

⑶根据作出的图，找到隐含的直角三角形ACC,根据等面积法得CC,再根据勾股定理得BC的长

度，由对称的性质知CH的长度，根据中位线定理知MH的长，从而得到CM的长，求出CE的长

即可得到AE的长.

15.【答案】（1）解：由题知，EF是BC的垂直平分线，BG=CG.

同理，CN是BG的垂直平分线，••.CB=CG.BG=CG=C8,.••△BCG是等边三角形.

LCBG=60°.在矩形4BCO中，Z-ABC=90°,.-.^ABG=30°.

（2）证明：由题知，EF是8C的垂直平分线，8。=C。,.••乙8C。=4C8。.

由题知，CN是BG的垂直平分线，由（1）知ABCG是等边三角形，

由三线合一得々8CN=乙GCN=30°.・•.乙CBO=30°..%乙GEH=30°.

•••由三线合一得BH1CG.

（3）解：如图，连接B。、PO、QO.

由题知，MN是8G的垂直平分线，EF是BP的垂直平分线，

•••OB=OG=OP=OQ.

.•.点。是△8GQ的三条垂直平分线的交点.BG=BQ.

:.Z.RGO=Z.GRO=Z.QRO=Z.RQO,Z_OGQ=Z.OQG.

•:EF||AB,：.乙BGO=乙ABG.

在ABGQ中,4乙BGO+2/.OQG=180°,A2乙BGO+乙OQG=90°.

•••LABG+（BQG=乙BGO+乙BQO+乙OQG=2（BGO4-乙OQG=90°,

二LABG+Z-BQG=90°.

【解析】【分析】（1）由折叠性质，即此处的垂直平分线进行分析推出^BCG是等边，从而得出

ZABG的度数；

（2）同理由垂直平分线中的三用形三线合一及（1）中等边三角形逐一分析各个角的度数，求出目标角

ZBHC或/BHG为90度即可；

（3）同理利用折叠后产生的垂直平分线性质推出O是4BCQ的外心，从而得出BG二BC最后利用

角度的转换关系逐一往目标角进行推导，不熟练的情况也可以设元表示.

16.【答案】（1）证明：•••C/平分平分24cB

•••乙DCF=乙OCF,乙BCE=乙OCE

又；MN||BC

乙DCF=乙CFO,乙BCE=乙OEC

又；（DCF=乙OCF,乙BCE=乙OCE,乙DCF=乙CFO,乙BCE=乙OEC

•••乙OCF=Z-CFO,/-OCE=乙OEC

又；乙OCF=乙CFO,乙OCE=乙0EC

OC=OF,OC=OE

OE=OF

(2)解：•:乙DCF+乙OCF+乙BCE+乙OCE=180°,乙DCF=乙CFO,乙BCE=LOEC

乙OCF+乙OCE=90°

即：/-ECF=90°

又；乙ECF=90。，CE=12,CF=5

EF=y/CE2+CF2=J122+52=13

又；乙ECF=W,EF=13,OE=OF

13

W

(3)解：当点O运动到边4c的中点时，四边形4ECF是矩形

理由如卜•：

•••OE=OF,0A=OC

・•・四边形/EC"为平行四边形

又•・•四边形/EC尸为平行四边形，^ECF=90°

.••四边形AEC"为矩形

【解析】【分析】(1)先利用角平分线的定义可得乙OCF=Z_0CF,/BCE=4OCE,再利用平行线的性

质可得上DCF=4CFO,乙BCE=^OEC,再利用等量代换可得zOCF=尸。,NOCE=4OEC,利用等

角对等边的性质可得OC=OF,OC=OE,最后利用等量代换可得OE=OF；

(2)先利用勾股定理求出£尸=y/CE7+CF7=V127+57=13，再结合NECF=90°,EF=13,OE=

OF,求出。。=学即可；

(3)先证出四边形AECF为平行四边形，再结合2EC尸=90。，即可证出四边形力取而为矩形.

17.【答案】(1)解：过点D作DG_Lx轴于G,

图1

•・•点A的坐标为(6,0),.%OA=6,AD=AO=6,a=AOAD=30%

在R£U0G中，DG=^AD=3,AG=3>/3,/.OG=OA-AG=6-373,

，点D的坐标为（6-3遮，3）;

（2）解：过点D作DG_Lx轴于G,0，14£1于H,

图2

则GA=DH,HA=DG,

vDE=0B=8,/-ADE=乙AOB=90°,：•AE=7AD?+DE?=V62+82=10,

1r\rr1Ar\r\r»c”AD^DE6X824

■:QAE-DH=々40•DE,・•・DH==可，

246__________

22、218

.'.OG=OA-GA=OA-DH=6-=^=^,DG=>/AD-AG)=T

.•.点D的坐标为副蜀；

（3）解：连接力E,作EGlx轴于G,