2023-2025北京高三二模数学汇编：函数的概念与性质（人教B版）

2023-2025北京高三二模数学汇编

函数的概念与性质(人教B版)

一、单选题

1.(2023北京房山高三二模)下列函数中，是偶函数且有最小值的是()

A.f(x)=x2-2xB./«=|ln.M

C./(x)=xsinxD./(%)=2X+

23

2%+ax—.x<1

2.(2023北京房山高三二模)已知函数/(尤)=<2贝广aWO”是“/(x)在R上单调递减，的

lax2+x,x>l

)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

b,a>b,

3.(2023北京昌平高三二模)对于两个实数a,6,设min{a,6}=凡"，则是“函数

/⑺:面/无小-4的图象关于直线x对称”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

x-l,x<0

4.(2024北京顺义高三二模)若函数=<0,x=0,则“占+无2>0”是“/(西)+/(")>0”的()

x+l,x>0

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(2025北京朝阳高三二模)已知函数/(x)=|x|-|x-2|+l,则对任意实数x,有()

A./(1-%)=2-/(1+%)B./(-%)=-/(%)-2

C./(2-x)=2+/(x)D./(2+x)=/(2-x)

f4%—4Qx<]

6.(2025北京高三二模)已知函数〃x)=2.。，'若对于任意的xeR,者B有

\x-2,cuc+3,

y(x+2)>/(x),那么实数。的取值范围是()

A.[T,4)B.[-4,2]C.(-8,4)D.(-oo,2]

二、填空题

7.(2023北京朝阳高三二模)函数〃x)=、巧三的定义域为______.

VX+1

8.(2024北京东城高三二模)设函数则/]/&)=,不等式〃x)</(2x)的解集

是

9.（2025北京高三二模）函数〃力=而1+3的定义域为

参考答案

1.D

【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数/(x)=/-2x不是偶函数，判断选项A,根据函数/'(x)=UnW

的定义域判断选项B,判断得=从而得函数f(x)=xsinx为偶函数，结合三角函数的性质可判

断得该函数不具有最小值，从而判断选项C,根据/(r)=〃x),得函数/(x)=2，+27为偶函数，再利用基

本不等式求解出最小值，即可判断选项D.

【详解】对A,二次函数/(无)=/一2尤的对称轴为x=l,

不是偶函数，故A错误；

对B,函数/(x)=|lM的定义域为(0,+巧，

定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；

对C,/(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=/(x),

定义域为R,所以函数/(x)=xsinx是偶函数，

结合三角函数的性质易判断函数/(尤)=xsinx无最小值，故C错误；

对D,f(-D=2T+2*=f(x),定义域为R,

所以函数/(x)=2，+2T是偶函数，因为2，>0,2r>0,

所以2，+2f2=2,当且仅当2*=2一*，即x=0时取等号，

所以函数〃x)=2“+2T有最小值2,故D正确.

故选：D

2.B

【分析】求得了(x)在R上单调递减时。的取值范围，从而判断出充分、必要条件.

23

2x+ax——,x<1,,、，、、，〜

【详解】若/(无)=2在R上单调递减,

2ox2+x,x>1

-->1

4

a<0

则解得

--<1

4〃

3

2+。—22a+1

2

所以“aW0”是“f(x)在R上单调递减”的必要而不充分条件.

故选：B

3.C

【分析】根据函数图象的对称性求解参数，再利用充要条件的概念判断即可.

【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数y=k|与y=|x-4的图象，

则函数〃x)=min｛MBT｝的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分，

根据图象令x=—x+t,解得x=4，

2

分析可得其图象关于直线尤=：对称，

2

要使函数/⑺=min｛国,归-4的图象关于直线x=；对称，贝卜的值为t=\,

当f=l时，函数〃》)=而11｛国,卜一|｝的图象关于直线％=(对称，

所以“t=1”是“函数=min｛|x|,|x-?|)的图象关于直线x=；对称”的充分必要条件.

故选：C

4.C

【分析】根据题意分析可知/(尤)为奇函数且在R上单调递增，分析可知玉+彳2>0等价于

/&)+/(赴)>0,即可得结果.

【详解】由题意可知：“X)的定义域为R,且"0)=0,

若x>0,则一x<0,可知/(%)+/(—力=(%+1)+(-尤-1)=0,

若x<0,同理可得〃x)+/(-x)=0,所以“X)为奇函数，

作出函数/(尤)的图象，如图所示，

由图象可知/(x)在R上单调递增，

若占+马>。，等价于%>-%,等价于/(%)>/(-x2)=-/(x2),等价于

所以“无I+%>0”是“/&)+/)>。”的充要条件.

故选：C.

5.A

【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB,取特殊值判断CD.

-l,x<0

【详解】因为=龙-2|+1=，2尤一

3,x>2

由图象可知，函数图象关于点(1,1)中心对称，故A正确；

图象不关于点(0,-1)对称，故B错误；

当x=l时，f(2-l)=1^2+/(l)=3,故C错误；

令x=-L,则f(2-l)=lr八3)=3,故D错误.

故选：A

6.B

【分析】先考虑1,x>l,求出再考虑—IvxWl,止匕时

g(x)=/"+2)-/(力=(x-ay+7-片，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求

出〃的取值范围.

【详解】若X+2W1,即％«-1,

止匕时/(犬)=4x+8—4a—4%+4〃=8>0,满足要求；

若兀>1,则犬+2〉3,

止匕时/(x+2)—/(x)=(x+2)2—2〃(％+2)+3—J+2or—3=4%+4—4〃>0,

故avx+l恒成立，

其中％+1>2,故。<2；

若x+2〉l且BP-1<X<1,

止匕时g(x)=/(x+2)—/(x)=(x+2)2—2a(%+2)+3—4X+4Q

=x2—2ar+7=(^x—af+7—a2,对称轴为1=〃，

若a<-L,止匕时g(力=(x—〃y+7—/在%£(—U］上单调递增，

故只需g(—1)之。，即2a+83。，解得故一44a4一l；

若一1vavl,止匕时g(%)=(x—a)2+7-。2在%£(_1,〃)上单调递减，

在xe(a,l)上单调递增，

故g(x)n>in=g(a)=7-a2,令7一标>0,解得_币<”用,

与-77<。<近取交集得

若l<a<2,止匕时8(%)=(%-4)2+7-/在上单调递减,

故只需g(l)>0,即—2a+8>。，解得a<4,

"。<2与”4取交集得1<。<2；

综上，实数。的取值范围为［T,2］.

故选：B

7.{x|x>l)

【分析】解不等式X-G。即可得函数的定义域.

【详解】令二二20,可得X-120,解得XN1.

故函数/«=的定义域为3尤>1).

故答案为:卜归之”.

8.1心

「门Y1,,r2xi>1..

【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求分|2尤|<1、和忖21三种情况，结合

题中函数解析式分析求解.

【详解】由题意可知：f/g1=f(l)=l；

因为f(%)</(2%),

当［2元|<1,即