2023-2025北京高三二模数学汇编：三角函数的图象与性质

2023-2025北京高三二模数学汇编

三角函数的图象与性质

一、单选题

1.（2023北京朝阳高三二模）已知4=1，力=c=sinl,则（）

A.a>b>cB.b>c>ciC.c>a>bD.a>c>b

2.（2024北京朝阳高三二模）下列函数中，既是奇函数乂在其定义域上是增函数的是（）

A./(x)=sinxB./(x)=cosx

C./(x)=«D./(x)=x*

3.（2023北京丰台高三二模）已知A,B是VABC的内角,“VABC为锐角三角形”是“sinA>cos6”的

（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2023北京海淀高三二模）下列函数中，既是奇函数又在区间（0/）上单调递增的是（）

2

A.y=lgAB.y=—C.y=2ldD.y-tanx

x

5.（2024北京昌平高三二模）若0va<b<l,ol,则（）

A.ch<cuB.log<a>k>g»C.sin—>sinyD.ac<be

ab

6.（2024北京西城高三二模）将函数/（x）=tanx的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于>轴对

称，得到函数g&）的图象，则飘外=（）

A.1-tan.vB.-1-tcin.vC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

7.（2024北京海淀高三二模）设函数/（x）的定义域为。，对于函数/（力图象上一点（七,%）,若集合

任wRl&（X7o）+）b"（x）,DxwQ｝只有1个元素，则称函数/（力具有性质。.下列函数中具有性质素的

是（）

A./（x）=|x-l|B./（x）=lg¥

.7T

C./(x)=VD.〃x)=-sin-x

2

8.（2025北京丰台商三二模）“红移”和“蓝移”是物理学和天文学中的概念.如果接收器接收到的光波的频

率小于波源发出的光波的频率，则光的谱线向红光方向移动，称为“红移”；如果接收器接收到的光波的频

率大「波源发出的光波的频率，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝移记接收器接收到的光波的频率

为正数/‘，波源发出的光波的频率为正数/,r和/满足光的普遍多普勒效应公式广=/法鸟

（尸£（0,1）为波源运动速率与光速的比值，。式0,可为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）.某同

学依据该公式利用加工具制作了“光的普遍多普勒效应计算器“，在给定范围内输入夕和。的值，点击“计

算''按钮后，运行结果显示“红移”、“蓝移”或“无频移下列说法正确的是（）

A.输入〃=0和任意夕，运行结果显不“红移”

B.输入。=楙和任意夕，运行结果显示“蓝移”

471

C.输入〃==和任意。＞£,运行结果显示“红移”

56

D.输入/=平和任意运行结果显示“蓝移”

二、填空题

9.（2023北京房山高三二模）若函数/（x）=sin（2.Lf）,x€[0，B的图象与直线），="有两个交点，则这两

42

个交点横坐标的和为.

10.（2023北京海淀高三二模）设函数/（x）=sins;g（x）=,小,

①若《=5〃7=1,则不等式/（x）＞g（x）的解集为；

②若3=:,且不等式/（力＞屋耳的解集中恰有一个正整数，则〃?的取值范围是.

11.（2025北京丰台高三二模）已知直线x=T为函数/（x）=cos"-3口＞0）图象的一条对称轴，则满

足条件的一个。的取值为—；若/"）在区间卜方，。）上有零点，则口的最小值为.

12.（2025北京高三二模）设函数仆）=2sin（2x+D则使得函数"网苦）在区间（。身上存

在最大值的一个0值为.

13.（2024北京通州高三二模）已知的数〃x）=sin（s+2）（^＞0）,若/（力的最小正周期为兀，/（力

的图象向左平移g个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g（x）

O

的图象，则g（x）=;若/（"在区间（。4）上有3个零点，则0的一个取值为.

14.（2024北京西城高三二模）已知函数/（x）=sin（公t+p）（&＞0,|同＜5，直线），=坐与曲线），=/（x）

的两个交点如图所示.若|A4|=%且/（力在区间（行，当）上单调递减，则/=;".

15.（2023北京丰台高三二模）已知函数/（x）Tcos2x|+l.给出下列四个结论;

①/。）的最小正周期是兀;

②的一条对称轴方程为X=f;

4

9JT

③若函数g（x）=/*）+仇〃eR）在区间0,—上有5个零点，从小到大依次记为x,々，为，匕，/，则

O_

x}+2（X2+七+七）+/=5兀；

④存在实数小使得对任意”?wR,都存在-［。且百工〜，满足叭4）=/（〃?）+:二伏二1⑵.

其中所有正确结论的序号是.

参考答案

1.D

【分析】利用中间值0J可以比较三者的大小关系.

【详解】因为〃=hi!<lnl=0,c=sin^e(0,l),

所以a>c>0.

故选：D.

2.D

【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.

【详解】/(x)=sinx是奇函数，它在区间-%k*+2kjv，2eZ上单调递增，在定义域内不是增函

数，所以选项A是错误的；

f(《)=cosx是偶函数，所以选项B是错误的；

/(》)=«既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；

/(x)=d满足既是奇函数乂在其定义域上是增函数，所以选项D是止确的；

故选：D.

3.A

【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成再举出反例得到必要性不成匕

/\

【详解】因为VABC为锐角三角形，所以且A+BA5，所以人>?一8,

其中8《0,£|，

因为y=sinx在xe。,])上单独递增，所以sinA>sin1]-8=cos8,充分性成立，

若sinA>8s8,不妨设4=],B=满足sinA>cos8,但V/1AC为直角三角形，故必要性不成立.

故选:A

4.D

【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.

【详解】对于A,)，=lgx的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错

误，

oI

对于B,=*的定义域为(YO,0)J(QXO),定义域关于原点对称，又x)=-x-所以

.1X

/(X)为奇函数，但在(0,1)单调递减，故B错误，

对于C,〃x)=2国的定义域为R,关于原点对称，又〃-x)=2i=2+f(x),故/(x)为偶函数，故C错

误，

对于D,/（x）=lan.%由正切函数的性质可知/（"=lanx为奇函数，且在（0,1）单调递增，故D正确，

故选:D

5.D

【分析】构造函数了二d，根据函数的单调性判断A选项；构造函数），=1。&」（1>0）,根据函数的单调性

判断B选项；构造函数y=sinx,根据函数的单调性判断C选项；构造函数y=根据基函数的性质，

判断D选项.

【详解】A：构造函数y="，因为c>l,所以y-c'为增函数，

又因为则有c”〉/,所以A错误；

B：构造函数V=logcX（x>0）,因为c>l,所以y=log°x（x>0）为增函数，

又因为则有log/clog/,所以B错误;

c：因为0<〃<力<1,所以一又c>i,则

abah

构造函数丁=5皿4，当x>l时，函数），=sinx不单调，

所以无法判断sin工与sinj的值的大小，C错误；

D：构造函数y=因为所以函数），=/在（0,+e）上单调递增，

有不〈凡D正确.

故选：D.

6.D

【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数冢文）的解析式.

【详解】将函数/"）=tanx的图象向右平移1个单位长度，所得函数为/（x-l）=ian（x-l）,

则函数/。-1）=划1（工一1）的图象再关于旷轴对称得函数8。）=/（一工一1）=1@11（一工一1）二一1@11（工+1）.

故选：D.

7.D

【分析】根据性质，的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.

【详解】根据题意，要满足性质4,则/（"的图象不能在过点出/（1））的直线的上方，且这样的直线只有

一条；

对A：〃“=卜-1|的图象，以及过点（1。的直线，如下所示：

数形结合可知，过点（L0）的百线有无数条都满足题意，故A错误;

对B：f（x）=lgT的图象，以及过点（M））的直线，如下所示：

数形结合可知，不存在过点0,0）的直线，使得/（力的图象都在该直线的上方，故B错误;

对C：/（工）=/的图象，以及过点（1』）的直线，如下所示：

数形结合可知，不存在过点（U）的直线，使得/（X）的图象都在咳直线的上方，故C错误;

对D：/"）=-sin^x的图象，以及过点的直线，如下所示：

数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线即&=0,满足题意，故D正确.

故选：D.

8.D

【分析】利用已知条件去研究另一个变量的函数值域，通过值域分析与1的大小，从而去比较r与/的大

小关系，即可判断各选项.

【详解】对于A,由〃

可知人,品=八窖"屋,席>八

1-pcosO1-p\\-p丫1-/>

由「一接收器接收到的光波的频率/'大:波源发出的光波的频率/,则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝

移”.故A错误；

对于B,由££（0」），

可知"@＜九

1-^cos-

由于接收器接收到的光波的频率/'小于波源发出的光波的频率/,则光的谱线向红光方向移动，称为“红

移”.故B错误；

4

对于C,由夕=g,可知r=/

"fcos。5-4COS。

5

则cosOe-1,4，即5一4cos0w(5一26,9],

因为5＜夕《兀，

6

此时工3^卜1』3)1,由于3所以广与/的大小关系不确定，故c错误;

ri

对于D,由夕=＞可知/'=/----尸2=f-----1=----,

33-2任。s。

因为则cos6w即3-2及cosew[3-2&,l),

4

此时三短T(⑶2*所以

由于接收器接收到的光波的频率/'大于波源发出的光波的频率/，则光的谱线向蓝光方向移动，称为“蓝

移”.故D正确；

故选：D.

八3兀

9.—

4

【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.

【详解】当。“W时一52”一%去

由22/解得x.

3兀3兀

所以两个交点横坐标的和为

故答案为：不

io.(9,一1)5。，1)崎

【分析】①在坐标系中分别作出/(X)和g(x)的图象，利用图像法求解即可;

②在坐标系中分别作出/(“和g(x)的图象，根据图象列不等式组求解即可.

和g(x)=V的图象如图所示,

由图象可得当X£(YO,T)D(0,1)时，/(x)>g(x)；

②当0=£时，/(x)=sin£x的图象如图所示,

若不等式/(x)>g(x)的解集中恰有一个正整数,

则由图象可得J,解得me

故答案为:(^o-l)u(O,1)；

H.1(答案不唯一)

【分析】根据余弦函数的对称性求出。的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出。的最

小值.

【详解】因为直线x=q为函数/(x)=cos"+沙>0)图象的一-条对称轴，

所以一四0+四=桁M€2,解得<y=l-3kMwZ,

33

又0>0,所以取g=1(答案不唯一)；

若“X)在区间卜宗。)上有零点，令5+方=]+EMeZ,解得％=言+^/wZ,

由一色〈二+生＜0,故左＜一1且口＞—，一3&,

366yco2

又0＞0且要求①的最小值，故2=-1,所以①的最小值为4;

故答案为：1（答案不唯一）；4

12.-y（答案不唯一）

【分析】首先求出/（X+0）的解析工3再根据正弦函数的性质求出。的范围，即可得解.

T

2x+*2.,则〃*+0)=2sin2X+20+T,

3J')x3，

令21+2^)+—=—+2kjt,kGZ,所以x=--—~(p+k7i,kEZ,

312

因为/（工+尹）（|同〈9在区间上存在最大值,

TVIF

所以0v-----(p+kn<一,keZ,

122

贝(!一匚+攵兀<:*<---+lai,kGZ,

1212

又即所以或需＜0＜5'

444乙1乙I乙乙

所以符合题意的一个。值为（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）

13.cosx或sin（x+］）6（答案不唯一）

【分析】由小）的最小正周期为兀，可求出/（x）=sin（2x+^）,再根据三角函数的平移和伸缩变化可求

出g（x）=8sx；根据求出5+舐但,?+小，结合题意可得3"警+黄4兀，解不等式即

Vovo2oy26

可得出答案.

【详解】因为/（X）的最小正周期为兀，所以丁吟=%解得：。=2,

所以〃x）=sin（2.i+J〃x）的图象向左平移,个单位长度后，

可得：y=sin2x+-1+-=sin（2x+‘=cos2x,

I6J6V2J

再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g"）的图象,

所以g（x）=cosx；

ll,।ccon兀=，h”,3I/,23

所以3兀<二一+:W4兀，解得：—<<y<—,

2633

则。的一个取值可以为6.

故答案为：COS.T或sin卜+]}6（答案不唯一）.

14.2--

3

【分析】根据/。）=乎和|4用=：,可构造方程求得出，并确定（鲁，詈）为半个周期，根据正弦函数单

调性可构造方程组求得。.

【详解】设A（z，y）,现孙必），

71〜

(ox.+(p=—+2kn

由#得：，Tt

;(丘z)，<w(x-Xj)=

22

cox2+(P=—+2KTI

又卜.=々_司=彳，.•.（0=5,解得©=2.

此时/（力的小正周期T=—=71,

CO

v7T-77=^=?>/"）在区间（崔，售）上单调递减，

.门喏和…皆分别为“X）单调递减区间的起点和终点,

(5n1g(5n1In

当XW时,2x+(pe

WE\oo

5兀冗…

—+^=—+2kn

(ZeZ),:.(p=--+2kit(k€Z),

1In3冗〜3

----+(p=—+2k兀

62

又"Y'

4J

综上所述：a）=2,8=-方，

故答案为：2,-y.

15.②③

【分析】画出函数图像，可判断①②，对于③，转化为与y=/(x)在xw0,—上交点问题，数形

O

结合得到5个根的对称性，从而得到答案；对于④，xw-£,0时，/(.r)=|cos2x|+l单调递增，且

O

/(-V)e彳,2,从而判断出存在实数4,使得对任意〃7WR,只有一个XC-7*0,满足要求.

_2J[_o

【详解】/(x)=lcos2x|+l的图象如下：

对于①，/。)的最小正周期是①错误；

对于②，/(X)的一条对称轴方程为彳=£,②正确：

4