2023-2025年全国中考数学试题分类汇编：三角形（解析版）

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专题14三角形

考点01三角形中的线段

1.（2025•江苏连云港•中考真题】下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,5,8D.4,5,10

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三

边.只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可.

【详解】A.1、2、3：1+2=3,不满足两边之和大于第三边，不符合题意；

B.2、3、4：2+3=5>4,满足条件，能构成三角形，符合题意；

C.3、5、8：3+5=8,不满足两边之和大于第三边，不符合题意：

D.4、5、1（）：4+5=9<10,不满足条件，不符合题意：

故选:B.

2.（2024•青海西宁•中考真题）若长度分别为3,6,。的三条线段能组成一个三角形，则整数。的值可以

是.（写出一个即可）

【答案】4（答案不唯一）

【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边。的取值范隹是解答的关

键.

根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可.

【详解】解：由题意知：6-3<a<6+3,即3<。<9,

所以整数。可取4、5、6、7、8中的一个.

故答案为：4（答案不唯一）.

3.（2024,江苏镇江,中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种

情况讨论：当6为一腰长时：当2为一腰长时：分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构戌三角形，即可得出答案.

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰氏为6,底边长为2,

v6+6＞2,

・••能构成三角形，

，第三边长为6：

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,

•/2+2＜6,

二•K能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6,

故答案为：6.

4.（2023•江苏南京・中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3,则它的周长可能是（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键.根据等腰三角

形的定义及三角形的三边关系求解即可.

【详解】解：•••等腰三角形的腰长为3,

.•.3-3〈等腰三角形的底长＜3+3,

即0＜等腰二角形的底长＜6,

.•.6〈等腰三角形的周长＜12，

故选：B.

5.（2024•山东德州•中考真题）如图，在V/8C中，/O是高，力£是中线，力。=4,53蛇=12,贝I]4K的

长为（）

A.1.5B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据SM&C=12和4。=4求出BC=6,根据力E是中线即

可求解.

【详解】解：•・・S^8c=；x8Cx/g=12，4)=4,

・•・BC=6

•・•,4E是中线，

・•.BE=-BC=3

2

故选：B

6.（2024・河北・中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段8。一定是\「48。的（）

C.中位线D.中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得8。J.4C,从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：BDLAC,

・•・线段8。一定是V48C的高线；

故选B

7.（2025•山东威海•中考真题）如图，V48c的中线BE,CQ交于点兄连接。E.下列结论错误的是（）

B•SgDE=2Spq边3C£”

D.S…酸=SNEB

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识;

根据三角形的中位线定理结介三角形中线的性质可得=；8G。七〃8C,S“凶=；S“*.,S=；S”8c，

乙乙乙

可得△4Q£s△力8C,再根据相似三角形的性质进一步判断即可.

【详解】解：・・・V45C的中线CD交于点F,

'•DE=—BC,DE//BC,S“℃=5，S”协=；S：c»

.MADESAABC,5^=5^=15^,故D选项结论正确；

.DF_EF_££__[

't~CF~~BF~~BC~2,^F~4^C，

=

•**S&DEF=T^ABCF，S^DBF~3sdscF，^J^ADE4S四边形岚如，故A、C选项结论正确，B选项结论错误；

故选：B.

8.（2024•黑龙江绥化•中考真题）己知：VABC.

（1）乂规作图：画出V48。的重心G.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

（2）在（I）的条件下，连接4G,BG.已知力灰?的面积等于5cm2,则V48c的面积是

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；

（1）分别作4C,/IC的中线，交点即为所求：

S2

（2）根据三角形重心的性质可得产=、，根据三角形中线的性质可得s”8c=2S“BD=15cm2

ABD'

【详解】（1）解：如图所示

作法：①作8C的垂直平分线交BC于点D

②作AC的垂直平分线交AC于点尸

③连接40、8b相交于点G

④标出点G,点G即为所求

（2）解：・・・G是V48C的重心，

AAG=-AD

3

・S&ABG_2

•・・/8G的面积等于5cm工

S4ABD=7.5cm2

又・・・0是8C的中点,

**,S.ABC=2s“BO=15cm2

故答案为：15.

9.（2023•浙江嘉兴•中考真题）如图，点P是V48C的重心，点。是边力。的中点，PE〃AC交BC十点、E,

DF//BC交EP于点、F,若四边形CD町的面积为6,则V48c的面积为（）

【答案】C

【分析】连接B。，由点?是V/EC的重心，点。是边4C的中点，可得点从尸、。在•条直线上，且

145

BP：PD=2:1,S&BCD=5s“8C'返ABEPS&BCD:1f得S^BEP=Q\BCD,从而得到次边形CEP/）=§Sa8co,通

I141

过ABEPS^DFP，可得8"r=彳5阳,邑邑88,再根据四边形CO町的面积为6,可得出小时。，

进而可得出V45C的面积.

【详解】解・：如图所示，连接阴儿

A

••,点/）是V48c的重心，点。是边4c的中点,

:•点B、P、。在一条直线上，且8P:PO=2:1,

•/PE//AC，

:ABEPS/CD,

BP:PD=2:1,

BP:BD=2:3,

♦q.c=49

•••—sEP-3°A8CD'

S四边形CEPD=S^BCD~S&BEP=g^^BCD，

VDF//BC,

:HBEPS^DFP,

BP;PD=2:1,

•c•c-4

••°GBEP-0^DFP~f，

1c

•，•S&DFP上88EP3户egJ.BCD，

5.3_6

=0

*,$四边形COFES四边形CEP。+SqFP十,JaBCD-§3A8CD-，

SaBCD=9»

,，LBC=18，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟

练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键.

考点02三角形的内、外角

1.（2024•四川凉山•中考真题）如图，V48C中，ZBCD=30°,N4C8=80。，CO是边力B上的高，力石是

/C43的平分线，则的度数是

C

【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出乙〃;。=50。，结合高的定义，

得NO/C=40。，因为角平分线的定义得/C4E=20。，运用三角形的外角性质，即可作答.

【详解】解：•・・/8CQ=30。，/力。8=80°,

・•・^ACD=50°,

•:CD是边AB上的高，

・•・ZJZ)C=90°,

・•・ZDJC=40°,

•・FE是/。8的平分线,

・•・ZC/iE=-ZZ)/fC=20°,

2

/AEB=NCAE+ZACB=200+80°=100°.

故答案为：100。.

2.(2023•辽宁•中考真题)如图，在三角形纸片”。中，48=4C,N8=20。，点。是边"C二的动点，将

三角形纸片沿力。对折，使点6落在点"处，当8Z>_L8C时，力。的度数为.

【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解.

【详解】解：由折叠的性质得：Z4DB'=NADB；

：./8。8'=90°；

①当夕在8c下方时，如图,

•・•AADB+ZAD8'+NBDB'=360°，

:./ADB=yx(360°-90°)=135°,

/./.BAD=180°-ZA?-Z.ADB=25°；

N/Q4+4ZM'=90。，

・•・乙404」x90。=45°,

2

故答案为：25。或115。.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论.

3.(2025・湖南长沙•中考真题)如图，在VMC中，AB=AC,NB=72。,以点。为圆心，适当长为半径作

弧，交。于点〃，交C8于点M再分别以点.M,N为圆心，大于!的长度为半径作弧，两弧相交于

2

点P，作射线。交力8于点D.

⑴求N8CQ的度数；

(2)若〃C=2.5,求力。的长.

【答案】(1)36。

(2)AD=2.5

【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可.

(1)由题意得乙4c8=N8=72。，根据。。是N4C8的角平分线即可求解：

(2)求出/8。。=180。一/8-/5。。=72。，得到CZ)=C8：求出

ZJ=ABDC-ZACD=72°-36°=36°.ZA=N4CD.推出力。=CO.即可求解：

【详解】(1)解：•.•43=4C,ZS=72。,

/.Z.ACB=Z5=72°.

由作图可知，C。是N/CA的角平分线，

（2）解：在△8CQ中，由三角形内角和定理得/4。。=180。一/3-/8。。=72。，

/.，BDC=Z.H,

/.CD=CB,

在“C。中，•;NBDC=ZA+ZACD,ZACD=36。,

ZA=/BDC-乙4CD=72°-36°=36。.

ZJ=ZACD.

/.AD=CD.

AD=BC.

BC=2.5,

/.AD=2.5.

4.（2025•古林•中考真题》如图，正五边形月6CQ?的边月6,0c的延长线交丁点尸，则N尸的大小为

度.

CD

【答案】36

【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理.，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出

住BC、尸C8的度数，再利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：五边形48C0E是正五边形，

・•・NFBC=NFCB==72°,

・・・ZF=180°-/FBC-AFCB=36°,

故答案为：36.

5.（2024・湖南・中考真题）等腰三角形的一个底角为40。，则它的顶角的度数是.

【答案】100。〃00度

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是

解题的关键.根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可.

【详解】解：•・•等腰三角形的一个底角的度数为40。，

・•・它的顶角度数为：180°-40°x2=100°.

故答案为：100°.

6.（2024•江苏无锡・中考真题）如图，在VX8C中，ZB=80°,ZC=65°,将V48C绕点A逆时针旋转得

到△4TC.当48'落在XC上时，/41C的度数为（）

A.65°B.70°C.80°D.85°

【答案】B

【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得NBNC'=NA4C,

由三角形内角和定理可得出/6%C'=N£4C=35c,最后根据角的和差关系即可得出答案.

【详解】解：由旋转的性质可得出N8NC'=4%C,

•••Z^C+Z5+ZC=180°,

NBAC=180。一80。-65。=35。，

：./B'AC'=NBAC=35。,

/BAC=NBAC+NB'AC'=70°,

故选：B.

7.（2023•辽宁丹东•中考真题）如图所示，在V月BC中，CDA.4B,垂足为点。，DE//AC,交BC于点

E.若4=50。，则NCOE的度数是（）

A

【答案】B

【分析】首先根据平行线的性质得N5Z）E=N/=50。，再根据垂直的定义得NCOS=90。，进而根据

ZCDE=NCDB-ZBDE即可得出答案.

【详解】解：♦;DE/]AC,4=50。，

/.NBDE=ZJ=50°,

•••CDLAB,

NCDB=90°,

ZCDE=ZCDB-NBDE=90°-50°=40°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键.

8.12025•辽宁•中考真题）如图，点C在/力。8的边。力上，CQ_LO8,垂足为。，DE〃04,若NEDB=40。,

【答案】C

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到再根据三角形的

外角的性质，求出乙4CO的度数即可.

【详解】解：•：CDLOB,DE/iOA,NEDB=40°,

：.Z.CDO=90。,NO=Z.EDB=40°,

・•・^ACD=NCQO+NO=90。+40°=130°；

故选C.

9.12023•辽宁锦州•中考真题）如图，在V"C中，8C的垂直平分线交8c于点。.交AB于点、E.连接工.若

CE=CA,ZACE=40°,则的度数为.

【答案】35。/35度

【分析】先在△4CE中利用等边对等角求出/4EC的度数，然后根据垂直平分线的性质可得8£=CE,再

利用等边对等角得出4B二/BCE,台三角形外角的性质即可求解.

【详解】解：•：CE=CA,ZJC£=40°,

・・.4=4ECJ80°-4CE=7。。,

2

•・•D£•是8。的垂直平分线,

・•・BE=CE,

・•・/B=Z.BCE,

又乙AEC=4B+/BCE、

:.Z5=35°.

故答案为：35。.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三

角形的等边对等角是解题的关键.

考点03等腰、等边三角形的判定与性质

1.（2025・四川凉山•中考真题）如图，4B=AC，AE=AD,点E在BD上,ZEAD=ZBAC/BDC=56。,

则/4的度数为（）

A

E

BC

A.56°B.60°C.62°D.64°

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等用，先证明

再利用SAS可证明ABAEWCAD得到4BE=ZACD,利用三角形内角和定理可证明ZBAO=ZCDO=56°,

据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案.

【详解】解：・.・NE4）=乙%C,

，4EAD-/CAE=NBAC-NCAE,g|JZBAE=ZCAD,

在力£和中，

AB=AC

<ZBAE=ZCAD,

AE=AD

・•・AB/IEg△CIQ(SAS),

・•・/ABE=ZACD；

如图所示，设/C,4。交于O,

•・•£AOB+ZABO+ZBAO=180°,ZCOD+ZDCO+ZCOD=\^G°,

ZAOB=ZCOD,

・•・4BAO=/CDO=56°,

VAB=AC,^ABC+ZACB+Z.BAC=180°,

180°—N8/C1800-56°

/ABC=NACB==62°,

2-2

故选：C.

2.（2024,宁夏•中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该

直线的解析式可能为（写出一个即可）.

【答案】y=x+l（答案不唯一）

【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线力8过4（（M）,5（-1,0）,再

求解一次函数的解析式即可.

【详解】解：如图，直线45过4(0,1),4(-1,0),

设直线为丁=米+1,

・・・-攵+1=0,

解得：k=1,

，直线48为y=x+i,

故答案为：y=x+L(答案不唯一.)

3.(2024•甘肃兰州•中考真题)如图，在V力8c中，AB=AC,N8/C=130。，_L4C,则()

A.100°B.115°C.130°D.145°

【答案】B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质.根据等腰三角形的性质，可得

女J80。：切OR,再由三角形外角的性质，即可求解.

【详解】解：VAB=AC,ZBAC=130°,

・・.“=蟠卫”=25。，

2

•・•DALAC,

・•・土CAD=90°,

・•・NADB=ZC+NCAD=115°.

故选：B

4.(2024•四川・中考真题)如图，在V力3c中，AB=AC,/力=40。，按如下步骤作图：①以点8为圆心,

适当长为半径画弧，分别交84，8c于点。，E；②分别以点Q,E为圆心，大于;OE长为半径画弧，两

弧在N/BC的内部相交于点E,作射线胪交/C于点G.则乙小7的大小为度.

【答案】35

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的

尺规作法是解题的关键.根据ZJ=40°,由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得

N/8C=4C8=70。，由尺规作图过程可知8G为448C的角立分线，由此可得

NABG=NGBC=-Z.ABC=35°.

2

【详解】解：=AB=AC,4=40。，

NABC=NACB=70°,

根据尺规作图过程，可知4G为/川的角平分线，

/./ABG=ZGBC=-ZABC=35°,

2

故乙45G=35。,

故答案为：35°.

5.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程、2—|0工+21=0的两个根，则这个三角形

的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查r解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得*=3,

e,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3.腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程12-10工+21=0得，$=3,.马=7,

V3+3<7,

・••等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

・•・这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：c.

6.(2025•吉林长春•中考真题)图①、图②、图③均是4x3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方

形，其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作使V/18C的顶点均

在格点上.

图①图②图③

(1)在图①中，V44C是面积最大的等腰三角形；

(2)在图②中，V/18C是面积最大的直角三角形；

(3)在图③中，V/18C是面积最大的等腰直角三角形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考杳了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的

关键.

(1)根据面积最大，且V/18C为等腰三角形，顶点均在格点上：

(2)根据面积最大，且V/I5C为直角三角形，顶点均在格点上：

(3)作个腰长为丽的等腰直角三角形，顺次连接力、B、C,则V力8。即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求;

图①

(2)解；如图所示，V48C即为所求:

BC

图②

(3)解：如图所示，VABC即为所求.

图③

7.(2024•四川自贡,中考真题)如图，在V/8c中，DE//BC.ZEDF=4C.

(1)求证：NBDF=ZA；

(2)若41=45。，DF平分4BDE,请直接写出V/8C的形状.

【答案】(1)见解析

(2)Y48C是等腰直角三角形.

【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定.

(1)由平行证明4EO=NC,由等量代换得到NED尸=利用平行线的判定“内错角相等，两直线平

行“证明。b〃4C,即可证明NBDF=ZA；

(2)利用平行线的性质结合角平分线的定义求得N3Z)E=90。,£)5=9()。，据此即可得到V/8C是等腰直

角三角形.

【详解】(1)证明：•・•/)£〃8C,

・•・ZJE£)=ZC,

•・,Zf£>F=ZC,

NEDF=N4ED,

:,DF〃AC,

・•・/BDF=4；

(2)解：V/fBC是等腰直角三角形.

•・•ABDF=^A,

・•・N8O£=4=45°,

DF平分NBDE,

，乙BDE=2ZBDF=9俨，

•・•DE//BC,

・•・Z5=180°-Z5DE=90°,

:.ZC=180°-ZJ-=45°=,

・・・V48C是等腰直角三角形.

8.（2023•四川绵阳•中考真题）如图，过原点。的直线与反比例函数乂=：（4/0）的图象交于彳（1.2）,“两

点，一次函数为="a+'（〃?/0）的图象过点力与反比例函数交于另一点。（2，〃）.

⑴求反比例函数的解析式；当,>为时，根据图象直接写出x的取值范围；

（2）在歹轴上是否存在点股，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】⑴M=-，0<x<l或%>2

X

（2）点M的坐标为（0,百）或（0,-石）或（0,2）或（0,1）

【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学

思想是解题的关键.

（1）将点力坐标代入反比例函数解析式即可求出片，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围.

（2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题.

【详解】（1）解：由题知，将力点坐标代入反比例函数解析式得，

A=1x2=2,

所以反比例函数的解析式为乂=2.

X

由函数图象可知，在直线X=0和X=1之间的部分及直线X=2右侧的部分，

反比例函数必的图象在一次函数乃的图象的上方，即，I.

所以x的取值范围是：0＜工＜1或不＞2.

（2）将x=2代入反比例函数解析式得y=l,

所以点C的坐标为(2,1).

则0c=^(2-0)2+(1-0)2=旧.

所以点M坐标为（（0,石）或（0,-石）.

当CM=CO时，点。在OW的垂直平分线上，

又因为点。坐标为（2,1）,

所以点M坐标为（0,2）.

当"O=〃C时，点M在OC的垂直平分线上，

过点。作CN_Ly轴于点N,

令MO=m,则MC=m，MN=，n-l,

在R/ACMN中，

CN2+MN2=MC2

即2—（〃?—1）2=〃/,

解得川q

所以点M的坐标为（0,}.

综卜.所述：点M的坐标为（0,石）或（0,-石）或（0,2）或（0尚）.

9.（2024•江苏南通・中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活

动.

【特例探究】

（I）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和马两腰之积.

图①图②图③

等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表

图角平分线/。的/B/D的度两腰之两腰之

腰长

序长数和积

图

160°244

①

图

145°2x/22

②

图

130°———

③

请补全表格中数据，并完成以下猜想.

已知V月8C的角平分线力。=1,,48=XC,NBAD=a,用含。的等式写出两腰之和+与两腰之积

川B4C之间的数量关系：.

【变式思考】

（2）已知V/4C的角平分线40=1,®C=60。,用等式写出两边之和44+力。与两边之积4之间的

数量关系，并证明.

【拓展运用】

（3）如图④，V/8C中，AB=HC=l,点。在边4c上，BD=BC=AD.以点C为圆心，长为半径

作弧与线段8。相交于点凡过点E作任意直线与边48,8。分别交于M,N两点.请补全图形，并分析

言+焉的值是否变化？

A

图④

【答案】（1）见解析；叱+}=2cosa,（2）+=证明见解析；（3）二7+」是

AB-ACRMBN

定值

AD1

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即小再由＜5="==——可得结论；

cosacosa

（2）如图，延长力8至E使力E=/C,连接CE,过B作BHLCE于〃,延长力。交CEF尸，证明△力CE

为等边三角形，AFLCE,ZEAF=ZCAF=30°,设/C=4七=CE=2x,EH=a,利用相似三角形的性

・I、/，,2\/3x'-2x

J贞求他ia=--；=-----,再进•步可得48+/C=648dC；

2V3x-l

（3）根据题目要求画图，设4=a,运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得a=36。，过点上作

EFA.ABfF,EH上BC于H,过点、N作NG1AB于G,利用&&的=S△皿+S△竭v，即可求得答案.

【详解】解：（1）•••/8/1。=/。。=30。，/。是V/出。的角平分线，AD=\,

：.AD1BC,

AD1_273

AB=AC=

cos30°7T~：

2

,\AS+AC=—^AB-AC=^

33

图角平分线/。的NBAD的度两腰之两腰之

腰长

序长数和积

图

160°244

①

图

145°422后2

②

图

2百4石4

30。

1——

③3

如图，由（1）可得：ADd.BC,

AD

AB=AC=

cosacosa

AAB+AC=^—,ABAC=—^―

cosacos-a

.AB+AC

=2cosa

"ABAC

（2）猜想：AB+AC=gBAC，理由如下:

如图，延长48至上使力£=4C,连接CE,过8作BHICE]H,延长力。交尸，

VABAC=60°,力。平分NA4C,

•••△/CE为等边三角形，AF1CE,AEAF=ACAF=30°,

设,4C=AE=CE=2x,EH=a»

CF=EF=x,AF=>/3x,而AD=1,

:.DF=氐-1,

•：BHICE,AFLCE,

:.BH//AFt

：.£EBH=NEAF=30°,^CDF^^CBH,

・•・BE=2a,EH=瓜，

'：ACDFS^CBH,

.DFCFnnV3x-lx

BHCH岛2x-a

_2辰-2x

解得:

2x/3x-i

22x

AAB+AC=4x-2a=4x-^f^=±^L.

2V3x-l2V3x-l

4.

ABAC=2x（2x-2a）=4x2-4ax=—,

'72石-1

:・AB+AC=&BAC;

（3）补全图形如图所示:

设Z.A=a,

•••BD=AD.

Z.ABD=Z.A=a,

/.Z.BDC=Z.ABD+Z.A=la,

•;BD=BC,

£BCD=2BDC=2a,

•••AB=AC,

/ABC=NACB=2a,

Z4+/ABC+ZACB=\80°,

:.a+2a+2a=\80°,

解得：a=36。，

/.ZJ=Z.ABD=Z.CBD=36°,

如图，过点七作于产，EHJLBC于H,过点N作NG_L/5于G,

A

-BMNG=-BMEF+-BNEH,

222

•：NABD=NCBD,EFLAB,EHIBC.

EF=EH,

在RtABNG中，NG=BN•sinZ.ABC=BNs\n72°,

...BM-BN，sin720=(BM+BN)-EH,

.An720_BM+BN11

,EH-BMBN一丽+丽'

,/----=sinZ.CBD=sin360,

BE

EH=BEsin360,

11二sin72。

嬴'+丽'一〃Esin36。

由V48C是确定的，由作图可得如为定长，而5抽36。和近1172。为定值,

sin720

为定值,

8Esin36°

即表+焉为定值.

【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质,

勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

10.（2025•福建•中考真题）如图，V川?。是等边三角形，力是的中点，CE1BC,垂足为C,EF是

由。。沿CE方向平移得到的.已知E/过点力，BE交CD于点G.

F

A

BC

(1)求，。。£的大小；

(2)求证：ACEG是等边三角形.

【答案】(1)60。

(2)见解析

【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的

性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想

等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

(1)等边三角形的性质推出/OC8=30。，垂直，得到/8CE=90。，角的和差关系求出/QCE的大小即可:

(2)平移得到CD〃小，进而得到/£4。=/。。=30。，角的和差关系推出NE4C=NEC4.进而得到

AE=CE,ZAEC=120°,根据力8=。8,推出AE垂直平分/C,进而得到NGEC==60。，推出

2

ZGEC=NGCE=NEGC,进而得到MJEG是等边三角形即可.

【详解】(1)解：4。是等边三角形，

：.ZACB=60°.

是48的中点，

ZDCB=ZDCA=-ZACB=30°.

2

CE1BC,

ZBCE=90°,

ZDCE=/.BCE-Z.DCB=60n.

(2)由平移可知：CD//EF,

NE4C=NOC4=300,

乂G/ECA=NBCE-NACB=300.

/.Z.EAC=Z.ECA,

AAE=CE,ZAEC=\20°,

又•：AB=CB,

BE垂直平分AC,

/.ZGEC=-ZJEC=60°,

2

由（1）知，Z.GCE=60°,

/.ZEGC=60°,

NGEC=NGCE=4EGC,

「.△CEG是等边三角形.

11.（2025・广西•中考真题）如图，点4。在同侧，4B=8C=C4=2,8。=。。=后，则4。=

【答案】G-1/-1+百

【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点。作8c垂线交于点”，先

证明△8。"四△C。"，得到8〃=/。=1,证明4。,〃在同•线上，根据勾股定理得到力”,短〃，最后通过

线段和和差即可求.

【详解】解：过点。作8。垂线交于点//,即。〃_L8C

NDHB=NDHC=9。。

BD=CD,DH=DH

:ABDH%CDH（HL）

：.BH="C=、BC=T,即DH是BC的垂直平分线，

2

°：AB=AC,BD=CD,

.•.42”在同一线上，

・•.DH=JBD2-BH2=1,AH=7AB?-BH2=石

AD=AH-DH=^-\

故答案为：\/3—1.

A

12.（2024•江苏南京•中考真题）如图，在边长为4的等边三角形力8c中，4。是中线，将D4绕点。顺时

针旋转60。得到。连接8E,则是加=.

A

【分析】过点E作EH18C交8。延长线于点〃，由等边三角形的性质得到48=8C=力C=4,继而由三

线合一得到力O/8C,BD=CD=2,由勾股定理得到力。=26，旋转得到OE=D4=2jL乙4OE=60°,

则/E0C=3O。，继而£7/=!。£=百，即可求解面积.

【详解】解：过点、E作EHJ.BC交BC延长线于点、H,

•・・VH4c为等边三角形

:.AB=BC=AC=4,

二,4。是中线，

AAD1BC,BD=CD=2,

・••由勾股定理得：AD=dAB，-BD?=2百，

由旋转得：DE=DA=26,NJD£=60。,

，£EDC=30°,

•；EH1BC,

:.EH=、DE=6

2

・•・%/）£=；8Z）X£7/=；X2XVJ=5

故答案为：上.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，30。角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助

线是解题的关键.

13.（2024・山东济南•中考真题）如图1,V/BC是等边三角形，点。在边44上，BD=2,动点2以每秒1

个单位长度的速度从点6出发，沿折线8C-C4匀速运动，到达点A后停止，连接。设点户的运动时间

为/（s），。尸为V.当动点P沿8C匀速运动到点。时,V与，的函数图象如图2所示.有以下四个结论：

①"=3；

②当f=5时，歹=1；

③当时，l<.y<3；

④动点尸沿8C'-。匀速运动时，两个时刻。，/IJ）分别对应M和％,若4+4=6,则必>为.其中正

确结论的序号是（）

A.®®®B.®®C.@@D.①②④

【分析】由图知当动点P沿8c匀速运动到点C时，。尸=7,但DEJ.BC于点、E,利用解直角三角形和勾

股定理，即可得到8C,即可判断①，当/=5时，证明是等边三角形，即可判断②，当4«区6时,

目.DP_L4c时，。尸最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出必和为进行比较，即可判断

④.

【详解】解：由图知当动点P沿5c匀速运动到点。时，D尸=7,

作DE工BC于点E,

A

o

DE=BDa\n60=>5f=5Dcos60°=1,

:.EP=^DP2-DE1=2>

:.AB=BC=BE+EP=3,

故①正确；

当1=5时，PC=5-3=2,AP=\=AD,

DP=AP=AD=l,

：.y=DP2=\,

故②正确;

当4W6时，且。尸_L4C时，OP?最小,

Z.A=60°,

尸最小为:，即y能取至ij：,

44

故③错误；

动点P沿BC-CA匀速运动时，

+q=6,

t<3,/,>3,t2=6-/),

必=D+(G)=42-2)+4；

当DP_L4C时，CP=a，£>P2=-,

「.Ji=一2,十4一_rj三3_f]>0,

-y>y2；

故④正确：

综上所述，正确的有①②④，

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂

函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键.

14.（2024•湖北•中考真题）如图，由三个全等的三角形"CF,A。。）与中间的小等边三角形。

拼成一个大等边三角形力8c.连签3。并延长交片。于点G,若4E=ED=2,则：

（1）NFO8的度数是；

（2）OG的长是.

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知

识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

（1）利用三角形相似及AE=DE可得BF=DF,再利用三珀形的外角性质结合可求得NDBF=30。；

(2)作。〃1"G交BG的延长线于点H,利用直角三角形的性质求得CH=1,"=百，证明AADGSKHG,

利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】解：尸名△CW(己知)，

/.AD=BE=CF,AE=BF=DC,

•/AE=ED=2,

AD=BE=4,

•.•△DEF为等边三角形,

:.EF=DF=DE=2,NEFD=4EDF=60。,

：.BF=DF=DC=2,

4FDB=Z.FBD=；2EFD=3①,NADB=NEDF+ZFDB=90°,

如图，过点C作CH_L8G的延长线于点〃，

.­.C/7=CDxsin3(F=2xl=l,

2

D//=CDxcos300=2x—=百，

2

•/ZADG=Z.CHG,ZAGD=ZCGH,

:.AADGSKHG,

.DGAD_4

**HG~~CH~~\"

44l

/.DG=-DH=-y/3.

故答案为：3()。，迪.

5

15.（2023・广东广州•中考真题）如图，在正方形48CQ中，E是边力。上一动点（不与点4。重合）.边

8C关于“对称的线段为跖，连接外.

（1）若48七=15。，求证：△/"厂是等边三角形:

（2）延长FA,交射线BE于点G:

①A8G产能否为等腰三角形？如果能，求此时/48E的度数：如果不能，请说明理由;

②若48=追+后，求ABG尸面积的最大值，并求此时4E的长.

【答案】（I）见解析

（2）①产能为等腰三角形，乙姐£=22.5。；②力E=G

【分析】（1）由轴对称的性质得到班'=5。，根据正方形的性质得到45C=90。，求得NCBE=75。，根

据轴对称的性质得到NFBE=NCBE=750,根据等边三角形的判定定理即可得到结论；

（2）①根据轴对称的性质得到8c=斯，根据正方形的性质得到8c=",得至IJ比1<8E<8G,推出点8

不可能是等腰三角形8G尸的顶点，若点F是等腰三角形8G厂的顶点，则有NFGA=N^BG=NC8G,此时

E与。重合，不合题意，于是得到只剩下G尸=G8J',连接CG交于〃，根据全等三舛形的性质得到

FG=CG,得到"G/为等腰三角形，根据平行线的性质得到4HG=/8CG,求得

N6GF=乙BGC=；£FGH=45。,根据等腰三角形的性质得到NGBC=/GC8=g（18（r-N8GC）=67.5。,

于是得到ZABE=NABC-4GBe=90°-67.5°=22.5°:

②由①知，ACBG知FBG,要求A8GE面枳的最大值，即求.BGC面积的最大值，在"GC中，底边8。是

定值，即求高的最大值即可，如图