2024-2025学年山东省青岛某中学九年级（上）期末数学模拟试卷

2024-2025学年山东省青岛大学附中九年级（上）期末数学模拟试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四

个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.

1.（3分）如图，这是由六个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（

主视方向

2.（3分）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部2的仰角为a,若AD

为米，则红旗的高度BE为（）

B.(―1—+h)米

tana

C.Itana米D.—1—米

tana

3.（3分）有两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以

得到两全等三角形（）

A.平行投影

B.中心投影

C.既不是平行投影也不是中心投影

D.可能是平行投影也可能是中心投影

4.（3分）己知一元二次方程7-6尤-2=0的两根分别为相，小则7”+w的值是（）

A.6B.1C.-5D.-6

5.（3分）在一个不透明的口袋中，放置6个红球、2个白球和〃个黄球.这些小球除颜色外其余均相同,

数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，如图，则“的值可能是（）

八频率

4

00..62

-

.»

a60.

5-

8-

o.L

56.

oa..

夕4y

2

o.5

050010001500200025003000

A.12B.10C.8D.16

6.（3分）如图在平面直角坐标系中，已知点A（-3,6）、B（-9,-3）,使原图形与新图形的相似比为

3：1,则点A的对应点4的坐标为（）

A.(-9,18)B.(-9,18)或(9,-18)

C.(-1,2)D.(-1,2)或(1,-2)

7.（3分）二次函数丫二分^法和反比例函数丫=且在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

X

8.（3分）抛物线y=o?+Zw+c（存0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4,0）；@4a-2b+c

=0；③方程G?+bx+cnZ有两个不相等的实数根；④5a+2c>0；⑤若（xi,yi）和（x2,y2）是抛物线

上两点，则当|尤1-1|＞|X2-1|时，其中正确的个数有（）

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.（3分）若三=工=&,且x+2y+3z=40,则3x+4y+5z的值为.

234

10.（3分）某商店今年1月份的销售额是2万元,3月份的销售额是4.5万元,从1月份到3月份.

11.（3分）将抛物线y=/-8x绕原点旋转180。，则旋转后的抛物线表达式为.

12.（3分）如图，菱形A8CD的对角线交于点O,过点C作连接OE.若OB=3,0E=3、/§，

则菱形ABCLi的面积为.

13.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，分别交y=Z（尤＞0）,（尤＜0）,

C两点，若△ABC的面积是3_________.

cZ_^R

A0x

14.（3分）如图，王华晚上由路灯A下的3处走到C处时,测得影子CD的长为1米，测得影子EF的长

为2米，已知王华的身高是1.5米米.

三、作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.求作一个菱形ABC。，使如图所示的/A是菱形ABC。的一个内角，且对角线AC=a.(请用直尺和圆

规作图，保留作图痕迹，不写作法)

四、解答题(本题满分0分，共有9道小题)

16.计算：

⑴2cos30°-裂"然+4(sin60。高产；

3tan45

(2)3X2-5x-2=0.

17.数学社团开展“讲数学家故事”的活动.下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A,B,C,D,

卡片除图案外其他均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，讲述卡片上数学家的故事.

(1)小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是

(2)小明随机抽取了两张卡片,请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家

华罗庚邮票图案的概率.

18.己知关于尤的一元二次方程x2-2x-m2-2m=0.

(1)求证：方程总有两个实数根;

(2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值.

19.走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料.如图，在航拍时，莹莹在C处测得无人机A的仰角为

45°,铅垂高度。G=5米(点E,G,C,B在同一水平线上).

(1)求莹莹和走走两人之间的距离。；(结果保留根号)

(2)求此时无人机的高度AB.(sin31°«0.52,cos31°«0.86,tan31°«0.60,结果精确到1米)

20.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天

恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)(/i)之间的函数关系，其中线段AB、8C表示恒温

系统开启阶段

请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间尤(0<x<24)的函数关系式；

(2)求恒温系统设定的恒定温度；

(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时

21.如图，矩形EFG8的顶点E,G分别在菱形A8CD的边AD,顶点RH在菱形ABC。的对角线

上.

(1)求证：BG=DE；

(2)若E为中点，FH=2,求菱形ABC。的周长.

ED

22.神韵随州，一见钟情.为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，

销售一段时间发现(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系

(1)直接写出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？

(3)“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过加元，在日销售量y(件)(元/件)

23.操作与研究：如图，△ABC被平行于的光线照射，于。

图1图2

(1)指出图中线段AC的投影是,线段BC的投影是；

(2)问题情景:如图1,RSABC中，/AC8=90。,我们可以利用△4届与4ACO相似证明AC2=AOxAB,

这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理；

(3)拓展运用：如图2,正方形ABC。的边长为15,点。是对角线AC、2。的交点，过点C作CFLBE,

垂足为尸；若BE=17,贝.

24.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BC=6c”z,点M从点A出发，同时点。从点C出发，沿C4方向

以lczn/s的速度向点A运动，点。同时停止运动，C重合时，作点M关于直线AC的对称点N,连

接功W,DN.设运动时间为f(s)(0<r<7)

(1)当f为何值时，MD//BC?

(2)点M在线段2C上运动时,是否存在某一时刻"更得△CMD与ACBA相似若存在，请求出此刻的

t值，请说明理由;

(3)点M在线段48上运动时，是否存在某一时刻f使得四边形AffiCD的面积占△CBA面积的六分之

五？

(4)当f为何值时，为直角三角形?

2024-2025学年山东省青岛大学附中九年级（上）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BADAADBC

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四

个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.

1.（3分）如图，这是由六个相同的小立方体摆成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形.

故选：B.

2.（3分）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部8的仰角为a,若A。

为九米，则红旗的高度BE为（）

A.(Ztana+A)米B.(—1一+h)米

tana

C.Itana米D.—1—米

tanJ

【解答】解：如图，米，Z）E=/z米,

四边形ADEC为矩形，则DE=AC=1米,

在RtAADC中，

：tanNBAC=呢，

AC

.'.BC=7tana,

BE—BC+CE—（ltana+/z）米.

故选：A.

3.（3分）有两根电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以

得到两全等三角形（）

A.平行投影

B.中心投影

C.既不是平行投影也不是中心投影

D.可能是平行投影也可能是中心投影

【解答】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，所以可

能是平行投影也可能是中心投影.

4.（3分）己知一元二次方程7-6x-2=0的两根分别为m，w,则的值是（）

A.6B.1C.-5D.-6

【解答】解：：该方程的两根分别为mn,

.".m+n—6.

故选：A.

5.（3分）在一个不透明的口袋中，放置6个红球、2个白球和“个黄球.这些小球除颜色外其余均相同，

数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，如图，则"的值可能是（）

个频率

.6>24

S6o

5

O.58l6'

O.54

O.5

0A.2k

050010001500200025003000

C86

12B.10D.

【解答】解：由统计图可知，黄球出现的频率为0.6,

n=0.8,

2+2+n

解得n=12,

故选：A.

6.（3分）如图在平面直角坐标系中，已知点A（-3,6）、3（-9,-3）,使原图形与新图形的相似比为

3：1,则点A的对应点4的坐标为（）

A(-3,6

B(-9,-3)

A.(-9,18)B.(-9,18)或(9,-18)

C.(-1,2)D.(-1,2)或(1,-2)

【解答】解：点A（-3,6）,-2）,使原图形与新图形的相似比为3：1,

所以点A的对应点4的坐标为原来横纵坐标的四或-1,

32

即（-1,2）或（5,

故选：D.

7.（3分）二次函数〉=口/+法和反比例函数丫=之在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）

【解答】解：当6>0时，反比例函数丫=旦、三象限，二次函数产办2+6无图象，开口向上*=上在y

轴左侧，当。<0时2+法图象，开口向下乂=上在y轴右侧，2选项符合题意;

当匕<0时，反比例函数y=旦、四象限，二次函数>=办2+版图象，开口向上x=U-在y轴右侧；

x4a

故选：B.

8.（3分）抛物线y=o?+Zw+c（存0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4,0）；②4a-2b+c

=0；③方程有两个不相等的实数根；④5。+2c>0；⑤若（xi,yi）和（%2,”）是抛物线

上两点，则当|无1-1|>应-1|时，yi>*其中正确的个数有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：由条件可知。<0,

因为抛物线对称轴是直线尤=1,所以_旦=1，

2a

抛物线与y轴的交点在正半轴，所以c>0,

故abc<7,①正确；

因为抛物线对称轴是直线尤=1,与x轴的一个交点坐标为（4,

所以与x轴的一个交点坐标为（-3,0）2+bx+c（存2）得，

4a-2b+c=8,②正确；

由图象可知，当y=2时，即方程af+bx+c=3有两个不相等的实数根，③正确；

把6=-2a代入44-46+c=0得，c--8a,④正确；

当依-时，说明点（xi,yi）离对称轴远，因为抛物线开口向下，函数值越大6<竺，⑤错误,

不符合题意；

故选：C.

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.（3分）若互=工=三，且x+2y+3z=40,则3x+4y+5z的值为76.

234

【解答】解：设&=工=&=%,

237

..x:=2k,y^3kj

x+2y+3z=40,

，2k+6左+12Z=40,

20左=40,

k=2,

.•.x=4,y=2,

3x+4y+8z=3x4+3x6+5x5

=12+24+40

=36+40

=76,

故答案为：76.

10.（3分）某商店今年1月份的销售额是2万元,3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份.

【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为x,则二月份销售额为2（l+x）万元6万元，

由题意可得：2（1+x）4=4.5,

解得：尤8=0.5=50%,X4=-2.5（不合题意舍去），

答：该店销售额平均每月的增长率为50%；

故答案为：50%.

11.（3分）将抛物线y=/-8x绕原点旋转180。，则旋转后的抛物线表达式为y=-（无+4）?+16.

【解答】解：,抛物线y=7-8尤=/-8x+16-16=（x-4）6-16,

抛物线顶点坐标为（4,-16）,

:抛物线y=f-6x绕原点旋转180°,

旋转后的抛物线顶点坐标为（-4,16）,

旋转后的抛物线解析式为：y=-（x+4）3+16.

故答案为：y=-（x+4）2+16.

12.（3分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O,过点C作连接OE.若OB=3,0E=3、/5,

则菱形ABCD的面积为_18芯_.

【解答】解：：四边形A8CD是菱形，。8=3,0E=3«，

・•・30=208=6,AO=CO,

VCE±AB,

・•・NARK90。，

.,.AC=60E=6V3，

・••菱形ABC。的面积=1"AOBD=/x蓊X4=18近，

故答案为：1873.

13.(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，分别交y=2(x>0),y=—(x<0),

XX

。两点，若^A3C的面积是3-4.

【解答】解：连接OC、0B,

〃冗轴,

5AACB=SAOCB,

而SA*|6|+X,

22

・・・,2小，

22

而k<0,

k--4.

故答案为：-4.

14.(3分)如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子8的长为1米，测得影子所的长

为2米，已知王华的身高是1.5米6米.

I解答】解「蠲|裳=黯雅,

当王华在CG处时，RtADCG^RtADBA,即里=段,

BDAB

当王华在E”处时，RtAF£W^RtAFBA,即里=m=段,

BFABAB

•CD=EF；

"BD而’

：CG=EH=1.5米，CD=7米，EF=2米,

设A3=x,BC=y,

CD—EF-GC—HE?即1一2,即&（,+i）=y+5,

BDBFABABy+3y+5

解得：y=3,

则L_^=2,

X4

解得，尤=6米.

即路灯A的高度AB=2米.

三、作图题用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.求作一个菱形ABC。，使如图所示的NA是菱形ABC。的一个内角，且对角线AC=a.（请用直尺和圆

规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【解答】解：①作/A的平分线AM；

②以点A为圆心，线段a的长为半径画弧；

③作线段AC的垂直平分线，分别交NA的两边于点8,D；

④连接CD,BC.

四、解答题（本题满分0分，共有9道小题）

16.计算：

⑴2cos30°-沫/区+47三60。-1）2；

3tan45

（2）3?-5x-2=0.

【解答】解：（1）原式=2X亚~_（遥）2

34X1

=V6-1+1-^-

=返

3

(2)3?-8x-2=0,

(7x+l)(尤-2)=2,

3x+l=5或x-2=0,

_1X5=2.

X8?

17.数学社团开展“讲数学家故事”的活动.下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A,B,C,D,

卡片除图案外其他均相同.将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，讲述卡片上数学家的故事.

(1)小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是1;

(2)小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家

华罗庚邮票图案的概率.

【解答】解：(1).••共有4张卡片，

小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是工,

8

故答案为：1.

4

(2)根据题意，画树状图如图，

开始

ABCD

BCDACDABDABC

由图可得，共有12种等可能结果，

抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为2=1

122

18.己知关于x的一元二次方程/-2x-m2-2%=0.

(1)求证：方程总有两个实数根；

(2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值.

【解答】(1)证明：：关于x的一元二次方程/-2x-毋-2〃z=0,

；.A=(-6)2-4x7x(-m2-2m)

=27n2+8m+3

=4(m+1))

V4(m+1)5>0,

该方程总有两个实数根；

(2)♦.•方程的一个根是另一个根的3倍,

设方程的一个根为X,则另一个根为5尤,

根据根与系数的关系得：X+3X=N=2,

2

.,.x=0.4,

.•j•3尤=二.2-3现=0.75,

1

.,.m=-且或-.

26

19.走走和莹莹要使用无人机采集一组航拍资料.如图，在航拍时，莹莹在C处测得无人机A的仰角为

45°,铅垂高度。G=5米（点E,G,C,B在同一水平线上）.

（1）求莹莹和走走两人之间的距离。；（结果保留根号）

（2）求此时无人机的高度AB.（sin31°=0.52,cos31°~0.86,tan31°~0.60,结果精确到1米）

【解答】解：（1）;走走所在斜坡b的坡比为1：3,铅垂高度。G=5米,

/.GC=3DG=15（米），

CD=VGD2CG3；

答：莹莹和走走两人之间的距离为503米；

（2）过点。作。H_L4B于点设米，

:.BH=DG=1米,DH=GB,

'：ZACB=45°,

二•AB=3。=%米，

：.DH=GB=(15+x)米，

ZADH=31°9

•,tanZ;ADH=777=X=tan31°~0.60，

DHx+15

解得@35,

：.AB-35米.

答：此时无人机的高度约为35米.

20.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天

恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)(/i)之间的函数关系，其中线段AB、8C表示恒温

系统开启阶段

请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间尤(0<x<24)的函数关系式；

(2)求恒温系统设定的恒定温度；

(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时

【解答】解：(1)设线段A8解析式为〉=匕犬+6(原0)

•线段AB过点(4,10),14)

b=10

代入得

2kj+b=14

解得1k3”

上=10

...AB解析式为：y=2x+10(7<x<5)

在线段AB上当x=5时，y=20

.•.2坐标为(2,20)

，线段BC的解析式为：y=20(5<x<10)

设双曲线CO解析式为：>=丝

(后知)

VC(10,20)

：.k2=200

双曲线CO解析式为：y=型&(10WE24)

X

・・・y关于］的函数解析式为：

r3x+10(0<x<5)

20(6<x<10)

尸

—(10<x<24)

Ix

(2)由(1)恒温系统设定恒温为20℃

(3)把y=10代入y=皿中，解得

X

A20-10=10

答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.

21.如图，矩形EfG"的顶点E,G分别在菱形A3C。的边AD,顶点凡”在菱形A3CD的对角线

上.

(1)求证：BG=DE；

(2)若片为AD中点，FH=2,求菱形A5CD的周长.

【解答】解：(1)•・•四边形石尸GH是矩形，

:・EH=FG,EH//FG,

：.NGFH=NEHF,

•IZBFG=180°-/GFH,/DHE=180。-/EHF,

：.ZBFG=ZDHEf

・・•四边形ABC。是菱形，

J.AD//BC,

：・/GBF=/EDH,

：.ABGF^/\DEH(AAS),

：.BG=DE；

（2）连接EG,

:四边形ABC。是菱形,

：.AD=BC,AD//BC,

:E为AD中点，

C.AE^ED,

,:BG=DE,

：.AE=BG,AE//BG,

四边形ABGE是平行四边形,

：.AB^EG,

,:EG=FH=2,

：.AB=2,

，菱形ABC。的周长=8.

22.神韵随州，一见钟情.为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，投放景区内进行销售，

销售一段时间发现（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系

（1）直接写出y与尤的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？

（3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过桃元，在日销售量y（件）（元/件）

保持（1）中函数关系不变的情况下，求相的值.

木y（件）

loo

6±十\

-O/550—?（元/件）

【解答】解：（1）设解析式为y=fct+b，

根据图象可知，点（30、（50

.f30k+b=100?

l50k+b=60

解得(k=-2,

lb=160

与x的函数关系式为y=-2x+160；

(2)设每天获利w元，

根据题意得w=(尤-30)•(-7x+160)=-2/+220x-4800=-6(%-55)2+1250,

：-2<6,

.•.当x=55时，w取最大值为1250,

答：当销售单价55元/件时，每天获利最大.

(3)由(2)知，当w最大=1200时2+1250=1200,

解得尤1=50,X4=60,

：.m的值为50

即m—50.

23.操作与研究：如图，△ABC被平行于的光线照射，CDLAB于。

(1)指出图中线段AC的投影是蟆,线段8C的投影是如；

(2)问题情景:如图1,RtAABC中，NACB=90。,我们可以利用△ABC与△ACO相似证明AC?=AOxAB,

这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理；

(3)拓展运用：如图2,正方形ABC。的边长为15,点。是对角线AC、8。的交点，过点C作CFLBE,

垂足为B若BE=17,则0/=105\二.

—34―

【解答】(1)解：线段AC的投影是A。，线段的投影是8D,

故答案为：AD,BD.

(2)证明：VZACB=90°,

ZACD+ZBCD=90°,

'：CD±AB,

：.ZB+ZBCD^90°,

：.ZB=ZACDf

'：ZA=ZA,

・•・AABC^AACD,

•・•AC二—AD,

ABAC

即AC2^ADXAB.

(3)解：OGIOF,如图2,

D

C

图2

:点。是对角线AC、BD的交点,

ZFOG=ZBOC=ZCFB=90°,

:./FOC=NBOG,

VZ4=Z2,

：.ZFCO=ZOBG,

在4。86与4OCF中，

'/FC0=Z0BG

■OC=OB，

,ZF0C=ZB0G

:.△OBGQXOCF(.ASA),

：.OG=OF,BG=CF,

：.ZOGF=ZOFG=45°,

.V2

••OF昔GF，

正方形ABCD的边长为15,CF±BE,

由射影定理可知，BC?=BFxBE,即152=17BF,

BF等，

由勾股定理，得：CF』。，

17

贝密G噌,FG喈，

所以0F=^-GF=1。?：，2-

234

故答案为：105加

34

24.如图，在△ABC中，ZABC=90°,BC=6c7w,点M从点4出发，同时点。从点C出发，沿C4方向

以lcm/s的速度向点A运动，点。同时停止运动，C重合时，作点M关于直线AC的对称点M连

接。M,DN.设运动时间为f(s)(0<f<7)

(1)当t为何值时，MD//BC2

(2)点M在线段8c上运动时，是否存在某一时刻/使得△CMO与△CBA相似若存在，请求出此刻的

t值，请说明理由；

(3)点M在线段A3上运动时，是否存在某一时刻f使得四边形M2CD的面积占△CBA面积的六分之