2024-2025学年山东省烟台市开发区九年级（下）期中数学试卷（五四学制）+答案解析

2024-2025学年山东省烟台市开发区九年级（下）期中数学试卷（五四

学制）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

1.下列各数中，无理数是（）

A.V4艮户C案

D.27r

J.JLo

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（：

B）“穆

&Ocd

3.若4=2，a=3,则，a-b的值等于（）

A.1B.-1C.-D.6

3

4.登上奥运领奖台是每一位体育运动员的梦想，你知道吗,奥运会领奖台通常分为一—71

亚军台图为米，季军台高为米，其整体可以看乙~~'

三个高度，冠军台高为1米,0.70.5

成如图所示的立体图形，你认为它的左视图是（）正面/

A.1।-------1B._________C.。吕

5.如图，在一个边长为m的正六边形纸板中截去一个边长为«"的等边三角形后，余下部分/------\

的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（）

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

6.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分频率

布折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）0.4

0.3

A.抛一枚硬币，出现正面朝上0.2

B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上0.1

C.任意画一个三角形，其内角和是360。100200300次数

D.从一个装有2个黄色和1个白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球

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7.如图，在边长为1的正方形网格中，点/、B、C均在格点上，贝iJcos/48。的

值为（）

D.苧

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形48CD的顶点，，C分别在x轴，y轴的

正半轴上，已知边AD的中点£在了轴上，且/。4。=30°，40=4，若

反比例函数沙=绿＞0出＞0）的图象经过点3,则左的值为（）

A.8^3

B.8___________XZ_________

0Ax

C.6

D.6^3

9.若立=2025是关于x的方程aa?+红+]=0的一个根，则关于x的方程研刀+2）2+bx+2b--1必有一

个根为（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

10.如图是二次函数4=a/+brr+c图象的一部分，直线立=—1是对称轴，有以、=]为

下判断:①2a—b=0；②昭一4ac＞0；③方程ax2+bx+c=0的两根是2和一4

④若（—3,勿），（—242）是抛物线上两点，则见〉改；其中正确的个数有（）：\

B.2

C.3

D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.近似数3.150x1。6精确到____位.

12.因式分解：m4—8m2+16=.

13.若2c—?/—3=0,则9,+3,—1的值为.

14.如图，线段0/,。2,。。的长度分别是2,3,4,AAOD=25°，且OB平分ZAOC，C

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若将点N表示为（2,25°）,点C表示为（4,105°）,则点3可表示为.

15.如图是©O的直径，点C,。都在00上,若点/是血的中点，CD=4，W，

cosZCPB=I，则AB的长为.

16.小好同学用计算机软件绘制函数沙=/_3/+37-2的图象如图所示，发现它关

于点（1,—1）成中心对称，若点4）（0,咐,4（（H,gi）,4（0.2例）,4（0.3,%）…,

49（19以9），420（2,彼0）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加01，则

%I+巩+92H---F阴9+沙20的值是.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

【阅读材料】运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其它公式,

如立方和与立方差公式，其公式如下:

立方和公式：Xs+y3=（x+y）（a?2—xy+y2）；

立方差公式：x3-y3=（x-7/）（rr2+xy+y2）.

根据材料和己学知识，先化简代数式jZ-—立+4）,并求出当c=6时的值.

%2_2①城_8'x2-4

18.（本小题7分）

如图，△AgC中，AB=AC，分别以瓦C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点。，连接8D,

CD,AD,4D与BC交于点E,

(1)求证：AABD出AACD；

⑵若B0=4，ZBDC=120°-求8c的长.

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19.(本小题8分)

某校志愿者社团为了解全校2800名学生参加志愿服务的情况，随机抽取部分学生进行以下问卷调查:

［本学期您参加志愿服务的时长(每项含最大值，不含最小值)大约是;

40—3九；B.3—6/i；C.6—9/i；D9%以上.

2.学校计划组织学生们到博物馆参加“小小解说员”的志愿服务活动，您最想去的一座博物馆是

E烟台市博物馆；F.北极星钟表文化博物馆；G.磁山地质博物馆；张裕酒文化博物馆

形成了如下不完整的调查报告：

请根据以上信息解答下列问题：

(1)求出参与本次抽样调查的学生人数，并将条形统计图和扇形统计图补充完整；

(2)说明在抽取的学生中，本学期参加志愿服务时长的中位数在哪个时段；

(3)请估计在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“6-9犷’的学生人数；

(4)若有一男生一女生想采用抽签的方式(第一人抽签后又放回，第二人再抽取)决定去哪座博物馆解说,

请用树状图或者列表格求出两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率.

本学期参加志愿服务本学期参加志愿服务般想去的博物馆条形统计图

时长条形统计图时长扇形统计图

人数

□男生

80

二二嬴二二二二二二;□女生

70匝［…O.....俾

60„54..

50N50

4()■"前二一

30

20

10

EFGH选项

20.(本小题9分)

年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的收藏品.学校动漫社团的同学

们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的L2倍，经

统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760

元.

(1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价；

(2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数

量若超过20个，则可以打九折销售.同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办.若能,

写明购买方案；若不能，请说明理由.

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21.（本小题9分）

某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.

活动主题测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离

测是工具米尺、测角仪、指南针、计算器等

学校的人工湖中有一个雕塑C,湖边有两条直路N3,AD,路边有8,。两处

观景平台，其示意图如下：

北

模型抽象

/X工湖

活动过程

①用米尺测得的距离为8米；

②用米尺测得的距离为8.6米；

③在点A处用指南针和测角仪测得观景台2在正西方向,雕塑C在北偏西30°

测绘过程与

方向，观景台。在北偏东23°方向；

数据信息

④在点B处用指南针和测角仪测得雕塑。在北偏东30°方向；

⑤用计算器计算得：sin23°^0.4,cos23°0.9-tan23°0.4,

sin53°«0.8-cos53°«0.6-tan53°«1.3.

请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）.

22.（本小题10分）

如图，四边形N8C。内接于0。，NC是。。的直径，过点C作圆的切线CE交/£＞的延长线于点£,过点/

作AFIIBC交CD的延长线于点F,已知NF=ZADB，EC=10-DE=6,求。尸长度.

23.（本小题11分）

综合与实践活动是一种非常有效的数学学习方式,通过活动可以提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富

数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣.

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【折一折】将正方形纸片/BCD折叠，使边幺B,/£(都落在对角线NC上，展开得折痕NE,AF,连接ER

如图1.

(1)则/七4/=°；

【转一转】连接正方形对角线AD,将图1中的NEAF绕点/旋转，使它的两边分别交边3C,CD于点尸,

Q,交对角线8。于点M、N,连接P。，如图2.

(2)求CQ：的值；

(3)直接写出线段BPPQ,。。之间的数量关系.

【剪一剪】将图2中的正方形纸片沿对角线2。剪开，如图3.

(4)探究线段DN,九W之间的数量关系，并证明你的结论.

图1图2图3

24.(本小题12分)

如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点为4(4,0),呜—2),。(0,3),3C边交x轴于点D,抛物线

g=a/+近+c过点/,D,C.

(1)求抛物线的表达式；

⑵判断△AB。的形状，并说明理由；

(3)若£为直线/C上方的抛物线上一点，且tan/EC4=；,求点E的坐标；

(4)N为线段/C上的点，动点尸从点3出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段3N运动到点N,再以每

秒逐个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,又以每秒1个单位长度的速度沿线段C。向点。运动，当

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点P运动到点。后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4=2，户=-2是整数，筌是分数，它们不是无理数,

JL1O

27r是无限不循环小数，它是无理数，

故选：D.

无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可.

本题考查无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断如下：

/、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

8、此图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

。、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案.

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，将一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互

相重合，那么这个图形是轴对称图形；将一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转后图形能与原来的图形

重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟知概念是关键.

3.【答案】C

b

【解析】解：•.•①。=2，x=3>

O

._3a二》_6_Q3o_2

..—•<£z—I«Zz]•tJU—4(O—•

o

故选：c.

根据同底数幕除法的逆用和幕的乘方的逆用求解即可.

本题考查同底数幕的除法、幕的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：它的左视图是：

目

故选：C.

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根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案，

本题考查了简单组合体的三视图，正确理解简单组合体的三视图是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：如图所示，设正六边形4BCDEV的中心为。，连接03、0A,

CD

：,0A=0B,"03=60°,

.•.△40B是等边三角形，

•.•正六边形的边长为相，

AAOB是边长为m的等边三角形，

：S阴影=S&AOB=8s正六边形48coEF，

.•・余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为5:1,

故选：C.

设正六边形/BCD跖的中心为。，连接03、OA,证明△40B是等边三角形，进而推出

S阴影=S&AOB=gS正六边形4BCDEF，由此即可得到答案•

本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题.

6.【答案】D

【解析】解：4抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为：，不符合题意；

2.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为:，不符合题意；

0

C任意画一个三角形，其内角和是360°的概率为0,不符合题意；

D从一个装有2个黄色和1个白色乒乓球的不透明袋子中任取一球，取到的是白球的概率为:，符合题意.

故选：D.

根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率Pu0.33,计算四个选项的概率，约为0.33者即为

正确答案.

此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与

总情况数之比.同时此题在解答中要用到概率公式.

7.【答案】B

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【解析】解：连接4C

观察图形可知乙408=90°，

•;8。=通，=，12+32=怖,

BC_V2V5

cosAABC

51

故选：B.

判断出NACB=90°，利用勾股定理求出3C,AB可得结论.

本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

8.【答案】D

解：如图，作BELr轴于点£,

AAOE=30°，AE=DE=|^4D=2,

OE=-AE1=1,/.AEO=60°，

OA=\/3,Z-CEO—60。，

.■.ZDCE=30°>

:.CE=2DE=4,

,-.CD=2V3>

：,AB=2V3>

在RtZSABE中，NABE=30°,

AE=—=A/3,BE=3,

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.•.B的坐标为(2，W,3)，

/.k=2\/3x3=6\/3.

故选：D.

作轴于点E,根据有一个30°角的直角三角形的性质，求出各边的长，得5的坐标，即可求出人的值.

本题考查了反比例函数4的求法和解直角三角形，解题的关键是掌握一个30°角的直角三角形的性质.

9.【答案】A

【解析】解：关于x的方程a(rr+2)2+bx+2b—一1变形为a(x+2>+6(/+2)+1=0,

此方程可看作关于(2+2)的一元二次方程，

工=2025是关于x的方程ax2+bx+l=0的一个根，

x=2025是关于x的方程a(x+2)2++2)+1=0的一个根，

x+2=2025,

解得力=2023,

二.关于x的方程初立+2)2+法+26=-1必有一个根为x—2023.

故选：A.

关于x的方程a(rc+2)2+M+2b=—1变形为a(a;+2曰+6侬+2)+1=0,此方程可看作关于(工+2)的

一元二次方程，根据题意得到2+2=2025,从而得到;r=2023.

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

10.【答案】C

【解析】解：•.•抛物线的对称轴为直线/=-1,

——=-1，即b=2a,

2a

：.2a-b=Q,所以①正确；

•.•抛物线与x轴有两个交点，

,•.△=庐—4ac>0,所以②正确；

•.•抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),对称轴为直线2=-1,

.•.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-4,0),

二方程a/+62+0=0的两根是2和一4,所以③正确；

1时，夕随x的增大而增大，

:.yi<y2,所以④错误.

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故选：c.

根据抛物线的对称轴方程可对①进行判断；利用抛物线与X轴的交点个数和判别式的意义对②进行判断；

先根据抛物线的对称性得到抛物线与X轴的另一个交点坐标为(-4,0),然后根据抛物线与X轴的交点问题

对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数°决定抛物线的开口方向和大小.当a〉0时，抛物线

向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数。共同决定对称轴的位置：当。与b

同号时，对称轴在y轴左；当a与6异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与

y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=庐—4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=肝—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=&2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

11.【答案】千

【解析】解：3.150X1()6中，o在千位上，则精确到了千位.

故答案为：千.

近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，据此作答即可.

本题考查了科学记数法与有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一

位是需要识记的内容，经常会出错.

12.【答案】(m+2)2(m-2)2

【解析1解：m4—8m2+16

=(m2-4)2

=[(m+2)(m—2)]2

—(m+2)2(m—2)2,

故答案为：(m+2)2(m一2)2.

先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可.

本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式分解因式是解题的关键.

13.【答案】26

【解析】解：•.•2―9-3=0,

2r-。=3,

9,+3y—1=(32)X+3^—1=32x~y-1=33-1=26.

故答案为：26.

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根据同底数幕的乘除法法则进行解题即可.

本题考查同底数幕的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

14.【答案】(3,65°)

【解析】解：•.•NAOO=25°，且。5平分N/0。，ZDOC=105%

AAOC=ADOC-AAOD=105°-25°=80°，

.•2408=40°，

ADOB=AAOD+AAOB=25°+40°=65°，

二点3可表示为(3,65°),

故答案为：(3,65°).

根据题意，可以计算出的度数，然后即可表示出点8.

本题考查坐标与图形的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

15.【答案】8

【解析】解：设CD与相交于点E,

D

,点A是W方的中点，

ACAD'

•「AB是00的直径，

:.NBED=90°,■=氤,

:.BC=BD,

■：cosZCDB=

:,NCDB=60°，

是等边三角形,

,-.BD=CD=4y/3>

■：ZBED=90°,ACDB=60°,

AABD=90°-ACDB=30°,

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•■•48是。。的直径,

NADB=90°，

_门BD4\/3门

AB=---------=——=8

cos30°y3

~T

故答案为：8.

设CD与N3相交于点E,根据已知可得：10=么方，再利用垂径定理可得/BED=90°，或=部,

从而可得=8。，再根据特殊角的三角函数值可得=60°，从而可得△BCD是等边三角形，进

而可得AD=CD=4%&，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：AABD=30°,再根据直径所对的

圆周角是直角可得：乙408=90°，从而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.

本题考查了解直角三角形，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合

图形进行分析是解题的关键.

16.【答案】—21

r4-r--1々刀,^7r-,0+20.1+1.90.2+1.80.9+1.1

【解析】解：由条/A件r可知=---=---=•••=---=1,

二.如+见+於+93H-----?/9+yn------Fm9+V20=-20,

...例+阴+彼+阴+......+yw+3/20=-20+910，

又：410(1,—1),即阴0=—1,

?/0+91+?/2+禽+......+U19+2/20=_20+yio=—20-1=-21.

故答案为：-21.

根据题意得出阴+92+53+,•,99+911,■•+阴9=—20,进而转化为求910,根据题意可得V10=-1，即可

求解.

本题主要考查了坐标规律、求函数值、中心对称的性质，熟练掌握以上知识点是关键.

17.【答案】3(，+4,u

2

a/4cx2+2x+42

x2—2xx3—8/—4

_r4c(2+2)2](a；+2)(/-2)

二-2)―(2-2)32+22+4),2-

4x[x+2)[x-2)[x+2)2[x+2)(c—2)

=x(x-2)2——2)(42+2-+4)2-

(rc+2广(a:+2)(rc—2)

=2Q+2)-3—2)(/+292

第14页，共24页

=2(4+2)一才

_3(/+2)

=-------,

2

当2=6时，原式=3*(6+2)=12.

2

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

18.【答案】见解析;

4^3.

【解析】(1)证明：由作图可知80=。。，

在△4BO和△4CD中，

fAB=AC

<BD=CD,

(AD=AD

.-.^ABD^/\ACD(SSS)；

⑵解：■：/XABD^/XACD,

：.DB=DC,AADB=AADC=^BDC=60°,

,-.DE1,BC,BE=EC,

/o

BE=3Dsin60。=4xg=2通，

:,BC=2BE=4通.

(1)利用sss证明三角形全等即可；

⑵证明/口0后=/。_0石=60°，DE1BC，BE=EC，求出8E即可.

本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，

19.【答案】参与本次抽样调查的学生人数为400人，补充条形统计图和扇形统计图见解答过程;

本学期参加志愿服务时长的中位数在6-9人时段；

本学期参加志愿服务的时长大约“6-9/i”的学生约为1092人；

两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率为2.

16

【解析】解：(I)、•选择/的36人，占被调查人数的9%，

二参与本次抽样调查的学生人数为36・9%=400(人)，

■.•400-36-156-136=72(A),

选择N的有72人；

第15页，共24页

1364-400x100%=34%,

.•・选择D的占抽样调查的学生人数的34%，

补充条形统计图和扇形统计图如下：

本学期参加志愿服务本学期参加志愿服务

时长条形统计图时长扇形统计图

80

60

40

20

00

80

60

40

20

(2)由条形统计图可知，本学期参加志愿服务时长的中位数在6-9%时段；

⑶•1-2800x39%=1092(人),

二在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“6-9九”的学生约为1092人;

(4)用列表法表示所有可能出现的结果如下：

EFGH

EEEEFEGEH

FFEFFFGFH

GGEGFGGGH

HHEHFHGHH

一共有16种可能出现的结果，其中两人正好抽到E博物馆的有1种，

二.两人正好抽到各自性别中最想去的博物馆的概率为

(1)•.•选择/的36人，占被调查人数的9%，可得参与本次抽样调查的学生人数为36・9%=400(人)，再

列式求出选择/的有72人；选择。的占抽样调查的学生人数的34%，最后补充条形统计图和扇形统计图;

(2)由条形统计图可得本学期参加志愿服务时长的中位数在6—9/i时段；

(3)用样本估计总体的方法可得在本校2800名学生中，本学期参加志愿服务的时长大约“6-9/i”的学生

约为1092人;

(4)用列表法表示所有可能出现的结果数，再用概率公式可得答案.

本题考查用列表或树状图求概率，涉及条形统计图，扇形统计图，解题的关键是读懂题意，掌握概率公式.

20.【答案】哪吒手办的单价为48元，敖丙手办的单价为40元；

不能，理由见解析.

第16页，共24页

【解析】解：（1）设敖丙手办的单价为X元，则哪吒手办的单价为L2/元,

1200760

由题意得:

x

解得：力=40,

经检验，力=40是原方程的解，且符合题意,

，1.2①=1.2义40=48,

答：哪吒手办的单价为48元，敖丙手办的单价为40元；

（2）不能，理由如下：

原来统计的哪吒手办为器=25（个），敖丙手办为粤=19（个），

4840

调整后的哪吒手办的单价为44元，敖丙手办的单价为40元，

费用为：25x44+19x40=1860（元），

•1-1860>1850,

,同学们现有1850元，不能购买到原来统计的手办.

（1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为1.2/元，根据买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6

个，购买哪吒手办共需1200元，敖丙手办共需760元，列出分式方程，解分式方程即可；

（2）先求出原来统计的手办的数量，再由调整后的结果，计算出费用，进行比较即可.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

21.【答案】8观景台到雕塑的距离为8米，。观景台到雕塑的距离为7米.

【解析】解：如图，过/作NS14B,CELAD,连接/C,

根据题意，43=8米，40=8.6米，ANAC=30%ANAD=23%ACBA=60°,

ACAB=NNAB-ZNAC=60°,

△ABC是等边三角形，

.•.4C=BC=AB=8米，

•.•在RtZVICE中，ACAE=ANAC+ANAD=53%AC=8米,

CE=AC-sinNCAE=8-sin53°x6.4（米）,

第17页，共24页

AE=AC-cosACAE=8-cos53°仁4.8（米），

DE=AD-AE=8.6-4.8=3.8（米），

•.•在RtZiODE中，CD2=CE2+DE2，

.•.002=642+382=55.4,

.•.CD"米），

答：3观景台到雕塑的距离为8米，。观景台到雕塑的距离为7米.

根据题意，结合图形，得到△/笈。是等边三角形，得到的长，即8观景台到雕塑的距离；在RtZXACE

中，求出CE,/£的长，在中，利用勾股定理，求出CD的长，即可得到结果.

本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

22.【答案】学.

O

【解析】解：•••4。是。。的直径，

.•.NAD。=90°，

ACDE=90°，

CD=\/CE2-DE2=V102-62=8.

•「EC为圆的切线，

:.OC1CE,

.•.NACE=90°，

CDLAE,

：.MDEs4ACE,

CD_DE

"^C=~CE'

.8_6

,T二。

A…C=—40.

o

■：AF//BC,

：,AFAC=AACB,

■：AACB=AADB,NF=NADB,

ZFAC=ZF，

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：,DF=FC-CD=^--8=^

oo

利用圆周角定理和勾股定理求得CA,利用圆的切线的性质定理和相似三角形的判定与性质定理求得NC,

利用平行线的性质定理，圆周角定理和等腰三角形的判定与性质得到4。=尸C，则。F=CD

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与

性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键.

23.【答案】45；

通;

BP+DQ=PQ-

BM2+DN2=MN2,证明见解答.

【解析】解：（1）由翻折的性质可知=ABAE=AEAC,

•.•四边形A8CD为正方形,

：.ABAD=90°，AB=BC=CD=AD，

.•.△48。，△40。为等腰三角形，

ABAD=ADAF+AFAC+NBAE+NEAC,

：,ABAD=2(ZFAC+AEAC),

■：AEAF=AFAC+AEAC,

:.NEAF=g/BAD=1x90°=45°,

故答案为：45；

⑵・：BD、/C为正方形/BCD的对角线，

：,AC=V2AB^

:ZABM=AACQ=45°,ABAC=45°，

•.-ZFAQ=45°,

ABAM=45°-APAC，^CAQ=45°-APAC,

：,ABAM=Z.CAQ,

：,/\ABM^AACQ,

•丝=些=在

"BM48—V，

(3)如图，将△4DQ顺时针旋转90。，

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由旋转的性质可得AQ=4Q',DQ=BQ',ADAQ=ABAQ',

由（1）中结论可得APAQ=45°,

•.•四边形N8CD为正方形，^BAD=90°,

/及4P+/D4Q=45°,

.•.ZBAQ/+ZBAP=45°,

.-.APAQ=APAQ',

二在△APQ和△APQ'中，

AP=AP

APAQ^APAQ',

{AQ=AQ'

△4PQgA4PQ'（S/S）,

:.PQ=PQ',

-：PQ'=BQ'+BP,

：.PQ=DQ+BP；

^BM2+DN2=MN2,证明如下：

如图，将△4DN顺时针旋转90。，连接MN'，

由（2）中的结论可得4AMN咨dAMNl

:.MN=MN'，

■.-ZD=45°，AABD=45°.

根据旋转的性质可得NO=AABN'=45°，DN=BN'，

：,AMBN'=AABD+AABN'=90°，

在中，BM2+BN'2=MN'2，

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BM2+DN2=MN2.

(1)由翻折的性质可知：ADAF^AFAC,NBAE=NEAC,ZEAFZFAC+ZEAC,根据正方形

的性质：AB=BC=CD=AD,ABAD=90°=ADAF+AFAC+ABAE+AEAC,贝!I

AEAF=AD=A5°,△AB。，△AD。为等腰三角形；

⑵证明△4CQSA4BM即可得出结论；

(3)将AADQ顺时针旋转90°，证明△APQ电△2PQ'全等，即可得出结论；

⑷根据题意可得。N=BN'，利用全等三角形的性质得MN=MN'，△BWN为直角三角形，结合勾股

定理即可得出结论.

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质,

相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键.

24.【答案】y=|a:2-^-x+3；

△46。为直角三角形，理由见解析；

上250、

点E坐标为

运动时间的最小值为2遍+3，此时N坐标为(3,%).

【解析】解：⑴设直线3C的解析式为2/=fcr+b(k#0),

代入3(|,—2),0(0,3)得＜2k+b=~2,

、b=3

解得:｛、「，

.・.直线BC的解析式为4=—2/+3,

当g=0时，0=—23+3,

解得：x=|3,

・•.呜0)；

3

将4(4,0),D(-,0),<7(0,3)代入y=ax2+bx+c9

1

16a+4b+c=0

0=2

?a+?b+c=0，解得：<

得,11，

42b=F

c=3

c=3

第21页，共24页

二.抛物线的表达式为u=+3；

(2)448。为直角三角形，且/34。=90°，理由为：

•••4(4,0),。(0,3),

AB2=(4-1)2+(0+2)2=.,AC2=(4+0)2+(0-3)2=25，BC2=(1-0)2+(-2-3)2=卒,

AC2+AB2=BC2，

.•.△4BC为直角三角形，且NBA。=90°;

(3)由(2)知AB=AC=5，

4D

/.tanABCA=——-=tan/EC4,

AC2

：,ABCA=AECA,

延长A4至R