2024冀教版八年级数学上册第十五章《 二次根式》每课时教案汇编（含五个教案）

第十五章二次根式

15.1二次根式

第1课时二次根式及其化简

教学目标

1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性；

2.理解和掌握二次根式的性质，并能利用它们进行化简或计算.

教学重难点

重点：二次根式的概念和二次根式的非负性；

难点：理解和掌握二次根式的性质，并能利用它们进行化简和计算.

教学过程

旧知回顾

1.什么叫平方根?如何表示？

2.什么叫算术平方根?如何表示?

导入新课

问题情境引入“二次根式”

问题情境一：2,18,卷，卷的算术平方根是怎样表示的？

回答:瓜V18,居金

非负数如p+q,的算术平方根又是怎样表示的？

回答：y[m,yjp+q,Vt2-1

问题情境二：学校要修建一个占地面积为6m2的圆形喷水池，它的半径应为多

少米?如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为an?的环形绿化带，

那么所成大圆的半径应为多少米？

设喷水池的半径为「米，大圆的半径为R米

7ir2=立则户=—,r

71

RR2=力+。,贝！JR2=

答：喷水池的半径为R大圆的半径为丝

N兀v71

通过前面两个实例，我们发现在日常生活中，常会用到一个数的算术平方根.

一个数的算术平方根有什么特征和性质呢？

我们一起来探究吧……教师板书课题.

探究新知

一、二次根式的概念

思考1:下列是问题情境中的式子，说说它们在表达形式上有什么共同特征?

也抽，患，居必，2-1，J|，舟

引导学生分析得出：1.都含有“厂”，根指数都为2；2.被开方数为非负数.

思考2：如果我们将上述式子定义为二次根式，同学们类比整式、分式，说说二

次根式的定义？

引导学生概括二次根式的定义：在上面的问题中，我们得到了遮，V18,聆,

点，标，廊西，VtM,用等式子，它们分别表示某个非负数的算

术平方根.一般地，我们把形如迎(介0)的式子叫做二次根式.

总结：二次根式的必备条件：

①含根号且根指数为2(通常省略不写)；

②被开方数为非负数.

知识拓展

(1)二次根式的被开方数a可能为整式，也可能为分式，因此要分清。所代表的

式子类型.

⑵历本身作分母时，要注意只能大于0,不能等于0.

(3)要注意7^不1,衣厂TT等，这时无论。取何值都有意义.

练习：判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.

(1)764;(2)7^+!；(3)7^；(4)①+l(a>0);(5)(6)J-(Q-4产

学生分析：判断二次根式的条件：①含根号且根指数为2(通常省略不写)；

②被开方数为非负数.

解：(1):•归根指数是3,•••洞不是二次根式；

(2)不论x为何值，都有封+1>0,...五E是二次根式；

(3)当一5a20,即aW0时，产而是二次根式；当a>0时，-5a<0,则产而不

是二次根式・不一定是二次根式.

(4)而+l(a>0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式；

(5)当x=-3时，狂三无意义，•,•小乐也无意义；

当"—3时,看>。，；•忌是二次根式•二小总不一定是二次根式•

(6)当a=4,即a—4=0时，J-(a-4>是二次根式;

当aH4时，一(a—4)2V0,•••J—(a—4尸不是二次根式.

•••J一(a-4尸不一定是二次根式.

概念解析：

(1)二次根式的定义是从代数式的形式上界定的，必须含有二次根号“厂”；

(2)被开方数。可以是一个数，也可以是一个含有字母的代数式，但是a必须大

于或等于0;

(3)在具体问题中，已知二次根式血，就有了a20这一隐含条件；

(4)形如b仿(a20)的式子也是二次根式.b与遮是相乘的关系，若6为带分数,

则要写成假分数的形式.

易错提示：

(1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，如：血是二次根式.

(2)像迎+l(a>0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根

式.

二、二次根式的简单性质

大家谈谈

小亮和小颖对二次根式“五(GO)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观

点吗?请举例说明.

小亮的观点：因为正表示的是非负数。的算术平方根，所以，根据算术平方

根的意义，有Va>0.

小颖的观点：因为迎表示的是非负数。的算术平方根，所以，根据算术平方

根和被开方数的关系，有(6)2=。

学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确.

教师总结：(1)点(至0)是一个非负数，即迎具有双重非负性，一是被开方数是非

负数，二是它的结果是非负数；(2)(历)2=以至0),即非负数。的算术平方根的平

方等于a.

做一做(填空，并试着归纳其中的规律)

(1)722=；(2)7122=；

(3)V(-2)2=;(4)7(-1.2)2=；

教师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

亚=2；VL22=1.2；J(—2)2=2；7(-l-2)2=1.2.

思考：1.⑴与(3)、(2)与(4)这两组题的被开方数下乘方的底数有什么联系？

2.每组题的结果与它们的被开方数下乘方的底数有什么关系？

学生讨论，引导学生得出：1.互为相反数；2.底数的绝对值

想一想：根据上面的计算，你能得到什么结论？

学生讨论得出，一般地，V^=a(a>0).

探究：与(迎)2(a>0)的异同点

表达式7^(Va)2

取值范围a为全体实数a>0

运算顺序先平方后开方先开方后平方

不同点

5⑷J"°)'

运算结果(y[a)2=a(a>0)

1—a(a<0),

相同点与(7^)2均为非负数，当(2>0时，Vo5-=(Va)2

总结：平方在外面，直接去根号；平方在里面，得到绝对值，分类来讨论

做一做：

化简：（i）（遮）2；（2）（52；⑶府；（4）jg）2

解：⑴（圾2=3

（3）府=5

学生分析：

例化简：（1）也的；

学生分析：0.04=0.22,1=（9,可以利用值=以位0）化简.

解：（I）①M=VU^=O.2.

।---*

课堂练习

1.下列等式正确的是（）

A.（"）2=3B"=3C，7（-3）2=-3D.（-后=-3

2.心运有意义，则加的取值范围是.

m—1

3.当K0时，化简«_x）2+J（3-x）2=.

4.已知Jq-5+-a-b+3,贝！Ja=,b=.

5.10-J16-a的最大值是，止匕时。=.

参考答案

l.A2.mN-2且旭#13.24.5,-35.10,16

课堂小结

1.二次根式的定义

一般地，把形如遍（位0）的式子叫做二次根式.

判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是否同时具备如

下两个特征：

（1）带有二次根号“「"，即根指数是2；

（2）被开方数不小于零.

只有同时满足上述两个特征，才是二次根式，如果不满足其中任何一个特征，就

不是二次根式.

2.二次根式的基本性质：

⑴当a>0时，（迎）2=。；（2）当tz>0时,yfa^=a.

布置作业

完成教材习题A组、B组.

板书设计

15.1二次根式

第1课时二次根式及其化简

-概念：我们把形如（生。）的式子叫做二次根式

二次根式

性质：（1）双重非负性：即壮0,>0；

（2）当壮0时，（份）2=〃

（3）当a>0时，y[c^=a.

第十五章二次根式

15.1二次根式

第2课时二次根式的性质

教学目标

1.理解和掌握积（商）的算术平方根的性质；

2.会利用积（商）的算术平方根的性质对根式进行化简；

3.理解最简二次根式的概念，并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为

最简二次根式.

教学重难点

重点：二次根式的性质及最简二次根式的概念.

难点：会利用二次根式的性质化简二次根式.

教学过程

旧知回顾

二次根式已经具备哪些性质？

(l)Va>0fa>0)；(2)(遍)2=a；(3)V^=|a|.

探究新知

一、二次根式的性质

1.积的算术平方根

问题1：计算下列各组算式，对比它们的结果，你能得到什么结论?请根据你得到的结论,

对-6和后7^(e0,厄0)的关系提出你的猜想，并说明理由.

(1)743^9=,V4xV9=；

(2)V25x49=,V25xV49=,

(2)/36x49=,V36xV49=,

学生计算,(1)6；6；(2)35；35；(3)42；42,得出(1)(2)(3)中两式均相等.

当至0,厄0时，对石和历•历的关系提出你的猜想，

因为当a>Q,b>0时,石)2=a。,(V^V^)2=(VH)2.(V^)2=a.O,所以石

引导学生进行归纳得出：积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即

4aJb=y/a-Vb(a>0,Z?>0).

知识拓展

积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况.

y/abcd=y[a-4b-\/c-Vd(a>0,b>Q,c>0,d>0).

2.商的算术平方根

问题2：计算下列各组算式，对比它们的结果，你能得到什么结论?请根据你得到的结论,

对和第3Kb方>。)的关系提出你的猜想，并说明理由.

/16V16

后=------诟=•

叫石=--------，南=-------;

学生计算，(1)|;泉(2&京⑶*会得出⑴⑵⑶中两式均相等.

对照刚才得到的结论，当位0,人>0时，器与母有什么关系?并说明理由.

学生不难猜想得到忐=祟壮0,b>0）.

引导学生根据刚才的过程加以证明.

22

解：因为当位0,。>。时，（回膏,偿）=潴=皋所以,=春

思考：对照积的算术平方根的性质，你能总结出商的算术平方根的性质吗？

引导学生归纳：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的

商,即

口=当或"a++次）（介0,Z?>0）.

7b7b

归纳二次根式的性质：

（1）积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即曲=迎•孤（。加，

厄0）.

（2）商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即

口=平（或+匕=6+逐）（闫）,&>0）.

7b7b

需要注意的几点：

1.在4I=6XVb（aN0”N0）中被开方数一定是积的形式，不能出现《。2+炉

=后+花的错误.

2.最后要检验开出来的数（式）及留在根号内的数（式），要保证它们都是非负数.

例2化简：（1）府；（2）750.

教师引导，学生分析：直接利用7^=迎・涧（介0,厄0）进行化简.

解：（1）画=回石=眄*乃=3痣

（2）V50=V25x2=V25xV2=5V2.

例3化简：⑴上（2）J|；（3）740^.

教师引导，学生分析：⑴（2）利用监=电（介0,。>0）进行化简；（3）先将分数化

\b7b

为小数,再利用够=强介0,

。>0）进行化简.

总结：

（1）被开方数分成两部分相乘，第一部分为某数平方，第二部分中不能含一个

数的平方；

（2）当分母不是平方数时，要给分母凑成最小的平方数；

（3）当被开方数是小数时，先将小数化为分数.

二、最简二次根式

观察上面例题中每个小题化简前后被开方数的变化，请思考：

⑴化简前，被开方数是怎样的数？

（2）化简后，被开方数是怎样的数?它们还含有能开得尽方的因数吗？

归纳：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方

的因数或因式.我们把这样的二次根式叫作最简二次根式.

说明：二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程.

简记为：根号下（1）不含分母（2）不含小数（3）不含平方.

练习

化简：（1）姬；（2）748；（3）J]-（4）7^5.

学生自主完成，教师进行评价.

答案：（1）旧=夜又=⑺x/

（2）V48=V16X3;V16xV3=4V3

课堂练习

1.在下列根式：4百，百，扬，府中，最简二次根式有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.若即可正可=如与.7^2则X的取值范围是()

A.x>—3B.x>2C.x>_3D.x>2

3.化简：

⑴后⑵斤7)x(一14);⑶忌⑷.

参考答案

l.C2.B

3.解：fl)V125=7s2x5=5A/5;

(2)7(-7)x(-14)=V7x14=J72x2=76；

L4I4xI22x2yJx

⑶19%J(3x)23x，

(4)J-44=02x/x(-%)=—2%V—%.

课堂小结

1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即孤石=8•历(近0,后0).

2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即

H=孚(或，a+b=VH+VK)(tz>0,Z?>0).

7b7b

3.最简二次根式

一般地，如果一个二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式，

②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把这样的二次根式叫做最简

二次根式.

布置作业

完成教材练习及习题.

板书设计

15.1二次根式

第2课时二次根式的性质

二次根式的性质：疝^=乐死(心0,心0)；

=亲或V。+b=+VF)(心0力>0)

二次根式

最简二次根式：一般地，如果一个二次根式满足：①被开方

数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方

的因数或因式，我们把这样的二次根式叫作最简二次根式

第十五章二次根式

15.2二次根式的乘除运算

教学目标

1.了解二次根式的乘除运算法则；

2.会运用二次根式的乘除法则进行简单的运算；

3.会进行分母有理化.

教学重难点

重点：掌握二次根式的乘除运算法则，并会运用二次根式的乘除法则进行简

单的运算.

难点：会进行分母有理化.

教学过程

探究新知

一、二次根式的乘除

问题1：二次根式具备哪些性质？反向利用他们，你发现了什么？

（1）积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，

即•b=m•&（tz>0,Z>>0）

（2）商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，

即=¥Ca-0,5>。）­

反向利用得出：Va-Vb=4cTb（t?>0,厄0）,即为二次根式的乘法

奈=J|（a>0,b>0）,即为二次根式的除法

总结：（1）二次根式的乘法法则:上证=VaTbda>0,b>0）,即两个二次根式

相乘，将它们的被开方数相乘.

注意：①至0,历0是公式成立的必要条件；

②公式中的小6既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的；

③此法则也可以推广为VH・班・A/F•迎=yja-b-c-d(a>0,b>0,c>0,d>

0).

(2)二次根式的除法法则：任=得(a>0,b>0),即二次根式相除，把被

开方数相除，根指数不变.

注意：①至0,6>0是公式成立的必要条件；

②公式中的人人既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的；

二、例题讲解

例1计算下列各式:

(1)V3xV2；(2)V8xV32;(3)V20xV50.

解：⑴巡；

(2)V8xV32=V8x32=7256=16；

(3)V20xV50=V20x50=Vl000=10V10.

对于第(3)个你还有其他解法吗？教师引导学生观察:

V20xV50

=2V5x5V2

=2xV5x5xV2

=10V10.

相比较而言，哪个解法更好？

学生通过对比发现第一个解法更好，先乘再化.

三、分母有理化

例2计算下列各式:

(2)

_2^7_2V105

V1515'

思考：对于(1)你还有其他想法吗？学生独立思考，发表自己的见解.

方法二：⑴解：黑=窑=季

V3V3'V33

问题：观察原式和化简后的式子有何不同？

教师总结：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

归纳：分母有理化的一般步骤：

“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外;

“二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数（式）；

“三化”，即化简计算.

大家谈谈：请就小明和大刚分别计算四xW旦写的做法给予评价，并谈谈你的

V3

想法.

小明的做法（先运算后化简）大刚的做法（先化简后运算）

V2xV18必如

=V2x18=V2xV2x~9

=V36=A/2x3A/2

=6.=6.

V273V3、

课堂练习

1.下列计算正确的是（）

A.4&x2遍=6V5B.5V2x5V3=5V6

C.2V3x3g=6V3D.3V5x5百=15V15

,,V3-%冷成立,

2,右右二则》的取值范围是

3.若ab>0,a+匕<0,那么下面各式

其中正确的是，

参考答案

1.D2.-1〈止3

4.解：原式=

4「20V2

=——x5V2=

2727,

课堂小结

1.二次根式的乘法法则:

两个二次根式的积，等于被开方数的积的算术平方根，VH-Vb=V^b(a>0,厄0).

2.二次根式的除法法则：

两个二次根式的商，等于被开方数的商的算术平方根；『出或4g

7a+b)(aN0,b>0).

3.分母有理化：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.应用二次根式的乘

法法则可以将分母有理化.

布置作业

完成教材练习.

板书设计

15.2二次根式的乘除运算

二次根式的乘法：后声=闹(心o,心0)

二次根式的除法：居=。或6+VF=7a+b)(aM0,b>0)

二次根式的

乘除运算

分母有理化

第十五章二次根式

15.3二次根式的加减运算

教学目标

1.理解二次根式的加减运算的算法；

2.了解、并能识别同类二次根式；

3.会进行二次根式的加减运算.

教学重难点

重点：二次根式加、减法则及其应用；

难点：会进行二次根式的加减混合运算.

教学过程

旧知回顾

1.回忆合并同类项的方法？

(1)将同类项的系数相加，所得结果作为新的系数；

(2)字母和字母的指数保持不变

2.回忆整式的加减

计算下列各式.

(l)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)y+2y+3y；(4)3<72-2tz2+tz2.

学生课前完成，同桌核对答案.

导入新课

引入“二次根式的加减运算”

两个二次根式能否相加减呢?如何加减呢?今天我们就来学习解决的方法，教

师板书课题.

探究新知

一、二次根式的加减运算

问题1：计算3x+5x,3e+5/，思考两个式子有什么区别？

教师引导，学生回答：3x+5x=(3+5)x=8x,系数相加减，字母及其指数保持不变

类比整式的加减，得3/+5鱼=(3+5)奁=8近，系数相加减，二次根式保持不

变

教师总结，二次根式的加减，类似整式的加减，运用计算的运算律，将被开方数

相同的二次根式系数相加减，二次根式不变。

问题2：请尝试解决下列问题，并将你的做法和同学进行交流.

(1)5V3+2V3;(2)712+V75；(3)6夕一下

请将你的做法和大家交流.

解：(1)573+2V3=(5+2)V3=7V3

(2)值+V75=2V3+5V3=(2+5)g=78

(3)6A/7-Jj=6V7(6-i)V7=

你能总结二次根式的加减法则吗？

结论：

二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并.为此首先应将每个二

次根式化为最简二次根式，然后将被开方数相同的最简二次根式的项进行合并.

教师点睛：二次根式的加减运算的步骤

1.将各式化为最简二次根式；

2.合并同类二次根式.

二、例题精讲

例1计算下列各式：

(1)2^-3A/12+5A/27；

解:⑴26-3短+5折

(2)A/8+Jo.5-]Jo.2-

_21y/2A/5

8r

做一做计算下列各式:

(1)2728-3V63+5V49;(2)V24+

解：(1)2728-3763+5749

=477-977+35

=(4-9)77+35

=-5A/7+35.

2c+-1----2-

65

二||口：病.

注意：1.合并结果中容易漏掉二次根式部分;

2.合并后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式.

例2计算下列各式:

(1)2月一3.；

一厉；(2)(A/48-10A/02)-3

解：(1)2A/12-3,；-^27=4y/3-^3-3^3=0.

(2)(屈1

=43-2式-9■+退=5/-11式.

归纳：二次根式的加减法运算：

(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成

假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式.

(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的

最简二次根式进行合并.

练习：1.下列二次根式中，哪些是同类二次根式.

1

(DA/O02；⑵辰;(3)(4诉；(5)7125；⑹河.

学生分析：化为最简二次根式后，被开方数是否相同;

而血，板,是同类二次根式.

是同类二次根式.

2.计算下列各式.

(1)2728-3763+5749；(2)扃+相_(44一屈).

3

解(1)原式=4g-9g+35=35-5近；

(2)原式=2斯+迪一点+4凤2"一行+

33

课堂练习

1.下列计算正确的是()

A.&+石="B.2+夜=2近

C.372-72=3D.72-.f=—

V22

2.下列计算是否正确？

(1)^73=78^3；(2)曰+扬=J4+9；(3)3及-应=2应.

3.计算：

⑴回+(麻一岳)；(2)(后+后)一再_同

参考答案

1.D2.解:(1)错误；(2)错误；(3)正确.

3.解：(1)原式=3拒+7夜-3^=100-3g；

(2)原式=2遥+!也」应+#=3#+'&.

244

课堂小结

1.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式

就可以合并.合并的时候，只把“系数”相加减，根指数和被开方数不变.

2.二次根式的加减法的步骤：

(1)如果有括号，根据去括号法则去括号；

(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简；

(3)合并最简二次根式.

布置作业

完成教材习题A组.

板书设计

(实质—合并被开方数相同的最简二次根式

“化”：将每个二用g式化成最简二娜式；

二个饕的］步骤‘⑵"找”：找出被开方朝目同的最简二烧式；

加减■(

(3)“并"：将被开方数相同的最简二斓式合并成一项.

整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二

＜次根式的加减运算中仍然适用.

第十五章二次根式

15.4二次根式的混合运算

教学目标

1.掌握二次根式混合运算的运算顺序；

2.能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算；

3.掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.

教学重难点

重点：能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算;

难点：掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法.

教学过程

导入新课

复习引入“二次根式的混合运算”

问题1：二次根式有哪些性质和公式？

(1)壮0时，Va7=a；(2)(6)2=〃(〃20)；(3)VaF=V^-V6(tz>0,Z?>0)；

(4)H=半或7a+b=*+VF(tz>0,Z?>0).

\b7b

问题2：二次根式的加减实质是：合并同类二次根式(被开方数相同).

问题3：整式与分式的混合运算顺序是什么？

运算顺序：先乘除，后加减.有括号的，先算括号里面的.

那么二次根式的混合运算时怎么进行的呢？今天我们就来学习解决的方法，教师

板书课题.

探究新知

一、二次根式的混合运算

大家谈谈——感知方法

计算下列各式.

(1)V3x(V6+V10)；(2)(6V2+3V18)-V2；

(3)(V3-2)(V3+2)；(4)(V6-V3)(V6+V3).

观察各算式的特点，说一说你在运算过程中，用到了哪些运算律和乘法公式.

学生分析：第⑴题可直接运用乘法分配律进行计算；第⑵题用括号内的每

一项分别除以鱼再相加；(3)利用平方差公式直接计算；(4)利用平方差公式计算.

学生在练习本上完成.

解：(1)百义(代+内)=百＞代+8*71^=71^+闻=3企+闻.

(2)(672+3718)^-a=6/+V2+3V18+72=6+9=15.

(3)(V3-2)(V3+2)=(V3)2-22=3-4=-l.

(4)(V6-V3)(V6+V3)=(V6)2-(V3)2=6-2=3.

教师强调：计算的结果要化为最简二次根式或整式，对于(2)你还有其他方法吗?

鼓励学生可以将3同化成最简二次根式，再求值.

通过此题总结：二次根式的混合运算

1.运算顺序：先算乘除，后算加减；如果有括号，要先算括号里面的.

2.运算律、乘法公式仍然适用：

平方差公式：(。+6)(。-6)-6?；

完全平方公式：(。±bp=/土2ab+b1.

二、例题讲解

例1计算下列各式.

(1)V2x(V8-V10)；(2)(724+V50)-V2.

教师指导，学生分析：(1)把乘法运算的结果化成最简二次根式或整式，再进行

加减运算；(2)不是最简二次根式的可以先化简，再进行计算.

学生独立思考后完成，教师指两名学生板演，全班讲评.

解：(1)思路一：V2x(V8-V10)=V16-V20=4-2V5.

思路二：V2x(V8-V10)=V2x(2V2-V2XV5)=4-2V5.

(1)思路一：

(V24+同)+V2=V24+应+V50+V2=V12+V25=2V3+5.

思路二：

(V24+同)+V2=(2V6+5V2)^^=2连+V2+5V2+V2=2V3+5.

说明：教师要鼓励学生采用不同的方法进行计算，提倡方法的多样化.

练习：选择合适的算法计算下列各式.

⑴巧⑵(3屈-2后)+右.

教师指导，学生分析：(1)用乘法分配律可使计算简便.

(2)先计算括号里面的可使计算简便.

⑵原式=(126-6后+布=6导币=6.

例2计算下列各式.

(1)(75+V2)(V5-V2)；(2)(V3+1)2.

想一想：(1)(6)2(介0)的值是多少？

(2)本题中的(1)(2)怎样计算比较简便？

分析：可以利用平方差公式和完全平方公式进行计算.

解：(1)原式=(通齐(遮)2=5-2=3.

(2)原式=(遮P+2XV3xl+l2=3+2V3+l=4+2V3.

注意：(1)运算律仍然适用；

(2)乘法公式仍然适用；

(3)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最

简二次根式.

练习：计算下列各式.(1)花x(2V5-3V15);(2)(V7-1)2;(3)(73-V2)x(V12+V8).

解：(l)7ix(2括一3A)=3A=10-154.

⑵(近-1)2=(77)2-2x77x1+12=7-2b+l=8-2s.

(3)(V3-72)X(V12+V8)

=(6-亚)x(2百+2行)

=2(6—收)x(6+0)

=2[⑻-(列

=2x(3-2)=2.

二、分母有理化

例3计算下列各式.

(1)券(2)(5+V3)(V3-3).

引导学生思考：(1)中怎样能把其分母有理化？

(2)应采用哪种方法计算.

学生思考后得出⑴中分子、分母同时乘(奁+1);(2)利用多项式乘多项式的法则

进行计算.

教师巡视指导后展示答案，分析过程.

解：⑴=亮］磬=岳1・

(V2-1)(V2+1)2-1

(2)(5+V3)(V3-3)=5V3-15+(V3)2-3A/3=2V3-12.

分母有理化：把分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母

中的二次根式化去，叫做分母有理化.

分母有理化的常用方法：

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