2024人教版八年级数学上册 专项练 第十八章 分式（分式的概念与性质）含解析

第十八章分式（式的概念与性质）

学校:姓名：班级：考号:

一、填空题

1.要使工匚有意义,则X的取值范围为______

Vx-1

二、解答题

2.解不等式.

x+3

⑵>0.

x

Y6+y6

3.已知：Y+y2=3（x+y）,―+六八力求了下的值•

三、单选题

4.若等式有意义，则实数X的取值范围是（）

Jx+2Vx+2

A.x>-2B.-2<x<2

C.-2<x<2D.%V2且2

5.下列说法正确的是（）

A.当xw3时，分式占有意义

x

B.分式92与劣1的最简公分母是%2r

3aab

c.分式—中x,y都扩大3倍，分式的值不变

3x-2y

3

D.无论％为何值，二三的值总为正数

x+1

,112

6.规定一种新运算“★”：收二区+人中…）,已知2*1=§,则25*26的值为（）

24222

A.--B.—C.D.—

675675675675675

7.若一丁=?，那么土的值是（）

2x-3y5y

1

1c24

A.4-B.2-D.

v33

8.对于正数x,规定/(%)=；—，例如：/(3)=—=-,贝|

1+x1+34

■4+1+•4焉1+,"+'4；1+a)+"2)+,“+/(2°23)+/(2024)的值为()

k4U乙什Jk4U4DJ\^乙)

A.2024B.2023C.2023.5D.2022.5

44

9.设了＞0,2x+—的最小值为加，使得2%+—取最小值的x值为九，贝朋-九=()

xx

A.8B.6C.一20D.3也

XVZ

10.已知代数式4=—，B=^—,c=—下列结论中，正确的个数是()

y+zx+zx+y

①若x:y:z=l:2:3,则A：3:C=2:5:10；

②若A=B=C=a,则一次函数丫=依-1的图像必过第一、三、四象限;

③若X,y,z均为正整数，且x<y<z,则A<3<C；

v1Q

④若y=iz=-2,且x为方程加一庭西„=1的一个实数根,则卡+HZ+2023.

试卷第2页，共8页

A.1B.2C.3D.4

四、填空题

11.若X三在实数范围内有意义，则X的取值范围是.

x-2

12.已知当x=l时，分式二人没有意义；而当尤=2时，该分式值为0,则代数式

x-a

(a-b)2°2°=—.

13.若式子壮1在实数范围内有意义，则。可以取的一个整数为_____

12—a

14.若4/+/_5而=0,贝|乎乎的值等于

b-2a

YYl-\-Yl

15.若a"=10,b"=10,ab=10,贝!J---=

mn

16.若［+』=2,则分式小二＞今的值为_______.

xy-3x-y

17.已知二+；+三=1,-+—+-=0,则三+3+—的值为_______.

abcxyza1b1cz

rc-.A77十七八1.皿bcdef1acdef1abdef1abcef八

18.已知a，b,c,d,e/都为正数，——-=——-=——-=——匕=2,

〃284c8d

——abcd-f=4,.—abc—de=8,贝|〃?2+/+/+22+/?+/32=.

eJ

3zx3ri孙z

19•已知三个数"z满足詈丁-2,皆的值为________

47+^=~4Jxy+yz+zx

2

20.已矢口%2—3%+1=0,贝U/一2%+—的值为

五、解答题

21.阅读下面的解题过程:

已知：三X7=91求上，的值•

x2+l3x4+l

Y|X2+1

解：由门=3知所以=3,BPxH—=3.

xx

所以，，=x2+—7=fx+—2=32—2=7.

XX\X)

2

故上V的值为1:.

x4+l7

该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目:

X_1求—直

已知:

%2—3x+13

22.用数学的眼光观察

①等式:［x+工)+2+3，［一工］二尤2-2+4・

X11

②若*=；,求代数式X+上的值.

%2+14X

解：因为一==；,所以工^=4,所以工+工=4,所以*+卜4.

x+14xxx

用数学的思维思考并表达：

⑴填空:"「〔u=；

(2)若=20,求0一1的值；

va)a

X1/

(3)已知23日=5,求4：，I的值•

x-3x+l2x+21+1

试卷第4页，共8页

23.我们把形如尤+—=〃+8(〃、匕不为零)，且两个解分另IJ为王=〃，々=人的方程称为“十

X

字分式方程”.

Si5

例如：1+-=6为“十字分式方程”，可化为%+——x=1+5,々=5.

xx

3

再如：X+9=-5为“十字分式方程”，可化为尤+H.[}=(-2)+(-3),x-2,X=-3.

•XX1=2

应用上面的结论，解答下列问题：

(1)若无+3=-7为“十字分式方程"，则占=,%=；

X

⑵请利用上述方法求“十字分式方程"x-—20\=2的解：

x-3

(3)若“十字分式方程"彳-？5=-7的两个解分别为％="，Z=〃，求己n+生rn的值.

xmn

24.仔细阅读下面例题，解答问题.

1—x

例题：当X取何值时，分式一；•的值为正？

2x-l

解：依题意，得二三>0.

2x-l

2x-l>02x-l<0

则有(1)—>。或⑵

l-x<0

解不等式组(1),得g<x<l；

解不等式组(2),得不等式组无解.

不等式的解集是g<x<l.

当;。<1时，分式的值为正.

2x-4

问题：仿照以上方法解答问题：当X取何值时，分式F的值为负？

六、填空题

25.若分式号的值为正数,则x的取值范围为一

七、解答题

26.阅读材料：解分式不等式起乎<0.

x-1

解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可

3x+6<03x+6>0

转化为：①或②

x-1>0x-l<0

解①，得无解，解②，得—2<x<l.

所以原不等式的解集是-2<x<l.

请仿照上述方法解下列分式不等式:

x-4

(1)<0

2x+5

x+2

(2)>0

2x-6

试卷第6页，共8页

27.阅读下面材料后，解答问题.

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：=>0；红邙<0等，那么如何求出它

们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字

母表达式为：

(a)若。〉0,b>Q,贝!若a<0,b<0,贝！J，>。；

bb

(6)若〃〉0,b<Q,贝若a<0,b>0,则f<0.

bb

请解答下列问题:

⑴①若a严'则\屋a<0。或——

②若，<0,则________或________;

b

(2)根据上述规律，求解分式不等式3x上+6?<0的解集.

x-1

A

28.分式的定义告诉我们：一般地，用A、2表示两个整式，可以表示成有的形式，

D

A

如果8中含有字母，那么称g为分式.我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负.请

D

运用这些知识解决下列问题：

(1汝口果土上>0,求X的取值范围；

X+1

(2)如果3三Y+三2＜0,求尤的取值范围.

x-2

试卷第8页，共8页

《第十八章分式(第1节分式的概念与性质)》参考答案

题号45678910

答案CDDDCDB

1.X>1

【分析】根据分式有意义的条件X-1H0,形如&(。20)的式子叫作二次根式.

本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得且

解得且%>1,

故x>l,

故答案为：x>l.

2.(1)-1<X<1

(2)x<—3或%>0

【分析】本题考查了解不等式，将不等式转化为不等式组进行求解即可.

x-l>0x-l<0

(1)化为①或即可求解;

x+l<0x+l>0

x+3>0%+3<0

(2)化为或即可求解.

x>0x<0

X—1

【详解】⑴解：

%-1>0

①或x+l>0②

x+l<0

解①得：无解,

解②得:—1<X<1,

综上：—1<x<1；

尤+

(2)解：・・・q3〉o,

x+3>0_x+3<0.

x>0①或x<0②

解①得：x>0,

解②得：x<-3,

综上：了<—3或%>0.

答案第1页，共17页

3.9

【分析】本题考查的是整式的乘法与乘法公式的灵活应用，一元二次方程的解法，由

j+y*=/+y3结合x4+y4=(x3+y3)(x+y)_孙(#+y2)可得

[3(x+y『-孙(x+y)](x+y-l)-3Wx+y)=0,设x+y=〃z,xy=n,进一步可得

2

V（3m-mn]（m-1]—3mn=0

2八J，求解根，〃的值，再进一步求解可得答案;

m-2n-3m=0

4

【详解】解：：x+y4=卜3+力（彳+,）-孙仔+y2b4433

x+y=x+yf

*3+'3=(尤3+y3)(x+y)_⑵(尤2+y2)，

华+力（尤（尤2+丫2）=0,

.*x3+y3=(彳2+丫2)(尤+y)-母(尤+y),

=0,

设=xy=nt

；机2—mnj^m—i^—3mn=0,

'•—2n-3m=0，

(3m2———3mn=0

m2-2n-3m=0

解得：[m=lfkm=0。（不符合题_意，舍去）

x6+y6

x5+y5

(x5+/)(x+y)-xy(x4+/)

答案第2页，共17页

孙

=x+y------

孙（J+y4

=x+y_

（%4+力（尤+））_孙卜3+力

xy

=x+y--------------

x+y-xy

n

=m---------

m—n

=9；

4.C

【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，根据分母不为零，被开方数大于等于

零，列式，解答即可.

【详解】解一.得=总有意义'

_\2-x>0

.[x+2>0'

解得一2<xV2,

故选：C.

5.D

【分析】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包

括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取

各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幕的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分

母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值

不变；以及分式的正负性判断.

【详解】解：A、当XWO时，分式=有意义，故本选项说法错误，不符合题意；

x

21

B、分式;与劣的最简公分母是3〃/，故本选项说法错误，不符合题意；

3aab

C、分式丁丁中x,y都扩大3倍，分式的值扩大3倍；故本选项说法错误，不符合题意；

3x-2y

3

D、无论尤为何值，〒匚的值总为正数，说法正确，符合题意；

x+1

答案第3页，共17页

故选：D.

【点睛】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的

确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质.

6.D

【分析】本题考查了新定义运算及解分式方程和求分式的值.根据尤=2,y=l时，

112

«+Z+1)"+")=§，求出”的值'再由x=25‘'=26代入求解即可,

2

【详解】解：2^1=-,即当x=2,y=l时，

112

*-----1-----------------

2x1(2+1)(1+,)3，

解得a=l,

经检验，〃=1是方程的解.

,11

所以％★>=—+7jT7.

xy(x+l)(y+l)

当％=25,y=26时，

112

25*26=----------FT------rr：------r=----

25x26(25+1)(26+1)675

故选：D.

7.D

【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出

x与y的关系式，进而求出结果.

【详解】解:2x-3y~5

交叉相乘得：5y=2x-3y,

将-3y移到左边，合并同类项：8y=2%,

两边同时除以2,得：4y=x,

.一=曳=4,

故选：D.

8.C

【分析】本题考查规律探究，分式的加法，通过观察函数小)=.的性质，发现小)与

的和为1,利用这一规律将求和问题转化为简单计算.

答案第4页，共17页

1

【详解】解：•••/(幻=由,/[

X)]+,X+15

X

・//、/11X1,⑴

../(X)+/—=-----+-=1/*j

\xJx+1x+1

扑加+上)+…+八2。23)+〃2。24)

1^2024)(2023)(

=/[-]+/(2024)+f\—)+7(2023)+…+/+”2)+/•⑴

12024J(2023

=2023+/(I)

=2023+-

2

=2023.5,

故选：C.

9.D

4,「反丫

【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将2x+—转化为A/21-J-+4&的形

xl。

式，利用完全平方的非负性，进行求解即可.

【详解】解：：了〉。，

4

・・2%>0,—>0,

2x+—=+4、5,

•.(岳用>0,

...当岳=)3,即：尤=6■时，2x+±有最小值4四,

Vxx

m=4A/2,n=A/2,

m—n=30;

故选D.

10.B

【分析】设％=左，y=2k,z=3k,贝!J,A=B=；

C=l,从而可求得A:B:C,判

xyz

断①；当％+y+z=0时，a====1,此时一次函数y=依-1的图象经过

y+zx+zx+y

答案第5页，共17页

第二、三、四象限，即可判断②错误；由％,y,z为正整数，且无<y<z,得％+yvx+zvy+z,

1?

从而有AvBvC,即可判断③正确；④由y=l,z=—2,得4=—%,B=-C=——

x-2x+1

进而求得一+==2025,从而求得+2023=10,即可判断④错误.

【详解】解：・・・％：y：z=l:2:3,

・,•可设％=后y=2k,z=3k（kw。）,

xk12kC=-^-

/.A=--=----——B____=1,

y+z2k+3k5'k+3k2k+2k

・・・4:3:0=2:5:10,故①正确;

XvZ

VA=-------,B=-------,C=--------,A=B=C=a(a^0),

y+zx+zx+y

XVz

...当x+y+z=0时，a=----=——=此时一次函数y=orT的图象经过第二、

y+zx+zx+y

三、四象限；

xzx+y+z1

当时，y

x+y+zwOa=------T—=/-.^=2,此时一次函数y=以一i的图

y+zx+z4i~y421人I+yv-iNJ乙

象经过第一、三、四象限，故②错误;

Vx,y,z为正整数，且无<"z,

/.x+y<x+z<y+z,

：.A<B<C,故③正确；

y=1,z=—2，

A=—x,B=------,C=--------,

x-2x+1

Vx为方程m2-J2023/W=1的一个实根，

-j2023x=l,

-j2023x=l,

X-L，2023,

X

1

/9+=2025

x

，+，[-[■1+2023)=^+X2-4X+4+4X+4-2023=2025+4+4-2023=10,

11Q

•,.^+-^->1+2023,故④错误；

故选B.

答案第6页，共17页

【点睛】.本题主要考查了一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式乘多

项式以及比例的性质，熟练掌握一次函数的性质、分式的混合运算、比较数的大小、多项式

乘多项式以及比例的性质是解题的关键.

11.xN-3且工片2

【分析】本题考查了二次根式的性质、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于

等于0,分式的分母不为0,是解题的关键.根据被开方数大于等于0,分母不等于。列式

计算即可得到答案.

【详解】解：•.•互3在实数范围内有意义，

x-2

Jx+3>0

.%-2w0‘

解得：%2-3且不。2,

故答案为：X二-3且XW2.

12.1

【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无

意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.据

此列式分别求出。，万的值，再代入S-6）皿°计算即可.

【详解】解：•••当*=1时，分式*=F，

x-a\-a

此时分式F没有意义，

1-a

l—a=0,

解得：a=l,

:当x=2时，分式士22-b

x-a2—a

此时分式三的值为0,

・・・2—匕=0且2—"0,

解得：b=2,Qw2,

•'a=1,b=2,

故答案为：1.

答案第7页，共17页

13.-1（答案不唯一）

【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,分式有意义的条件是分母不为

。列不等式组求出。的范围，再在此范围内取一个值即可.本题主要考查了二次根式有意义

的条件,分式有意义的条件,掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：:•式子在实数范围内有意义，

.p+l>0®

"b-QO②，

由①得aN-1,

由②得a<2

•'•a的取值范围为：-lVa<2,

a的整数解为：-1,0,1.

故答案为：-1（答案不唯一）.

14.±3

【分析】本题考查了分式的求值，涉及到了完全平方公式，解题关键是利用完全平方公式进

行配方.

对原式利用完全平方公式进行配方得到（2a+"=9"，（b-2a^=ab,进而得到

（署|「9,即可求出黑|的值.

【详解】解：14々2+/-5而=0,

•.4/+/-9ab=。,4a2-4ab+b2-ab=O

（2tz+Z?）2-9ab,[b—2af=ab,

2tz+/7Y（2a+b）9ab

b—2a）（b-2〃）2ab

2a+b

的值等于±3.

b-2a

故答案为：±3.

15.1

【分析】通过变形得出（"）"+"=（"）.，于是有利+〃=切%问题得解.

答案第8页，共17页

本题考查了分式的求值，塞的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解：・・・暧=10,Z?〃=10,ab=lQ,

广=ambm=1(F,(ab)n=anbn=10",

.•.(3•(ab)n=(ab)m+n=10mxl0〃=10^,(ab)mn=(a"•S"尸=10"x10m=10m+n,

(ab)m+n=(abrn,

:.m+n=mn,

m+nr

mn

故答案为：1.

16.-1

【分析】本题考查了分式基本性质运用.熟练运用分式基本性质是关键.根据分式基本性质,

13

分子和分母同时除以外可得,再把一+—=2代入计算，即可作答.

%y

13

【详解】解：・・・一+—=2,

xy

.6x-2xy+2y

,-3x-y

（6犬2孙+2了）+孙

(-3x—y)+孙

“2+2

yx

_2_1

yx

2x2-2

=-1,

故答案为：-1.

17.1

答案第9页，共17页

【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用

_XXZ

是解本题的关键.设一=机，—=n,—=t.可得m+〃+£=1,nt-\-mt+mn=Q,再利用完

abc

全平方公式进行计算即可.

【详解】解：设二=加，-=t.

abc

..._x_p._y_|__z=]1,

abc

^m+n+t=\.

abc

----1----1—=0,

xyz

111c

:.----1----F-=0,

mnt

nt+mt+mn八

----------------=0,

mnt

•••mn=0.

x2V2

z222几+才了—(2

•1,^+F+7=m+n+/=(m+2mn+nt+mt)=I—0=1.

故答案为：1.

7

18.14-

8

【分析】本题考查了等式的性质，分式求值，代数式求值.运用整体的思想是解题的关键.

将每个等式的左右两边相乘得，（"M=1,解得abcde/=l,由如电工=与=!，解得

abcdefQ•。a2

4=2,同理可得，廿=4,C2=8,储=1,/=],然后代入求解即可.

248

abCdef

【详解】解：将每个等式的左右两边相乘得，（^=1,即（a反何『=1,

abcdef

,.・〃，b,c,d,e,7都为正数，

abcdef=1,

..bcdef-a11»口、

•---解得〃=2,

a-aa2

同理可得，U=4,/=8,d2=~,e2=^-,广二,

248

1117

a2+b2+c2+d2+e2+f2=2+4+8+-+—+-=14—,

2488

7

故答案为：14《.

o

答案第10页，共17页

19.-4

【分析】由给定的三个等式可得其倒数叶2=一1，a=;,壬=-金，再将三个分式

町2zy3zx3

的分子拆分后相加可得工+工+工的值，因所求式子的倒数为工+1+工，所以求得‘+'+!

xyzxyzxyz

的倒数即可解答；

【详解】解：•••上=一2,3=],—=-1,

x+yz+y4z+x4

.%+y=1z+y_4z+x_4

.•孙2'zy3'zx3'

2221

①+②+③,得：-+;+-=-2

—+—+

xyz

xy+yz+zx

xy+yz+zx

故答案为：—4.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定

的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式

化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度.

20.13

【分析】根据已知条件易得尤2=3尤-1,炉一3x=—l,x-3+-=0,从而可得x+』=3,然

XX

后利用完全平方公式可得尤2+4=7,最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案.

【详解】解：％2一3%+1=0,

•*-x2=3x-1,炉一3%=—1,%—3+—=0,

XH----

X

答案第11页，共17页

1

99—2=7,

%

—2%H---y

X

-2)+4

/X

=%(3%-1-2)+W

=x(3x-3)+-^

=3/—3%+W

X

—x2—3x+2*H——

=一1+2卜+m

=-1+2x7

=13,

故答案为：13.

【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解

题的关键.

2L击

【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础

题型.根据“倒数法”的解题思路即可求出答案.

x

【详解】解：:2CYXW0,

X2-3X+13

.X2—3x+l

,•=3,

x

•**xH-----3=3,

X

x—=6,

X

.X4~5X2+121u/1丫-"=”

••--------------=xH---5=xH——7=36-7=29，

XX(XJ

・X2_1

**X4-5X2+1-29,

22.(1)4；

答案第12页，共17页

（2）a-—=±4；

a

r21

（3）2________=_

X4+2X2+125-

【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关

键.

（1）根据完全平方公式进行计算即可求解；

（2）根据（1）的方法进行计算即可求解；

（3）根据题意得出x+工=5,再由四孚±1=犬+2+4,从而可得尤2+2+与=25,然后

尤xxX

进行求倒数即可求解；

【详解】（1）解：fa+-Y-fa--Y=a2+2+4-f«2-2+4>|

=Q2+24-T-Q2+2—z-

aa

=4,

故答案为：4；

(2)解：•・•[〃+!]=20,

1

Q.9+2H———20,

a

=18-2=16,

a—=+4；

a

xJ.

(3)解:

"X2-3%+12

.%2—3x+1

••二2,

x

**•XH—=5,

X

2

x+lI=52,

X

/./+±=23,

X

答案第13页，共17页

由.+；『+1=『+2+*,

1

・・・f9+2+―=23+2=25,

x

,X2_1

**x4+2x2+l-25'

23.(1)-2,-5

(2)再=-2,x2=7

(3)-y

【分析】本题主要考查了新定义一“十字分式方程”.熟练掌握新定义，分解因数，拆数,

完全平方公式变形，是解决问题的关键.

（1）根据新定义计算，即可解答;

（2）根据新定义计算，即可解答;

2

（3）根据新定义可得王9=〃2〃=-5,x1+x2=m+n=-l,由%可化为如这二次

mnmn

代入即可解答.

【详解】（1）解：：x+N=-7为“十字分式方程”,

X

・X+-2x(-5)

•*An=-2+(-5)-

X

xx=-2,x2

故答案为：-2,-5.

(2)Vx-一20—二2为“十字分式方程”,

x-3

・Y22°

・・x-3--------——1

x-3f

AX-3+^-^X4=(-5)+4,

%—317

・・x—3=-5x—3—4,

玉=-2,々=7

（3）•••"十字分式方程。-3=-7的两个解分别为%=加，%=〃，

X

mn

%i%2==-5，x1+x2=m+n=-7,

.n_m2+n2_(m+n)2-2mn_49+10_59

mnmmmn—55

答案第14页，共17页

24.当-3〈尤<2时，分式上今的值为负.

【分析】本题主要考查分式的值为负的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不

等式组是解题的关键.由题意分式——的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求

x+3

不等式的口诀，分别解出不等式组的解集.

【详解】解：依题意，得三~^<0,

x+3

2x-4<0^、2x—4>0

则有尤+3>0①或jx+3<0

解不等式组①得：-3<x<2；

解不等式组②得：不等式组无解，

不等式的解集是：—3<x<2,

当-3<x<2时，分式生[的值为负.

x+3

25.犬<一2或lvx<2

2—2%j2-2x>0

【分析】此题考查分式的值、解不等式组等知识，根据分式的值为正数得到

^4[X2-4>0