21.2二次函数的图象与性质（10题型+巩固训练）教师版

21.2二次函数的图象与性质课程标准①会用描点法画出画出二次函数的图象，会利用些特殊点画出二次函数的草图；②通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。③会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；④会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题；学习目标课时1：①会用描点法画出画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，总结图象的特点，通过图象了解二次函数y=ax2的性质；②能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值。课时2：①会熟练画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象，能根据图象识记y=ax2+k(a≠0)的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值以及增减性；②理解抛物线y=ax2+k(a≠0)是由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到的，能准确说出平移方式。课时3：①熟练画出二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象，根据图象确定开口方向、顶点坐标、对称轴、最值（并能确定相应自变量的值）、与坐标轴的交点坐标以及增减性；②理解y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2(a≠0)的关系，能准确说出由y=ax2(a≠0)得到y=a(x-h)2(a≠0)的平移方式。课时4：①熟练画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象，能根据图象确定y=a(x-h)2+k(a≠0)的开口方向、顶点坐标、对称轴、最值（并能确定相应自变量的值）、与坐标轴的交点坐标以及增减性；②理解y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2+k(a≠0)的关系，能准确说出由y=ax2(a≠0)得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的平移方式。课时5：①会用配方法或公式法将一般式y=ax2+bx+c化成项点式y=a(x-h)2+k，从而确定开口方向、对称轴及顶点坐标；②会利用特殊点画出y=ax2+bx+c的草图；③理解二次函数y=ax2+bx+c的性质，理解其对称轴是直线，顶点坐标为。※课时6：①了解方程组与二次函数之间的关系；②会用待定系数法求二次函数的一般式y=ax2+bx+c；③会联立方程组求二次函数抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点坐标。（说明：知识点按照课时顺序进行编排）知识点01画二次函数的图象①列表-描点-连线五点法作二次函数的图象：是一条抛物线。②抛物线的主要特征：有开口方向、有对称轴、有顶点。【即学即练1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①；②；③；④,从图象对比，说出解析式中二次项系数对抛物线的形状有什么影响？【答案】作图见解析，的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小【详解】解：列表如下：012410148202800描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，连线：用平滑的线连接，如图所示：由图象可知：的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；越大，开口越小．知识点02二次函数y=ax2的图象与性质y=ax2对称轴顶点坐标图象增减性开口方向开口大小a>0y轴（0，0）x>0，y随x的增大而增大;x<0，y随x的增大而减小开口向上图象在x轴上方/a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近y轴。a<0x>0，y随x的增大而减小;x<0，y随x的增大而增大开口向下图象在x轴下方【即学即练2】在二次函数中，当时，，则的值为（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，∴点关于对称轴对称的点的坐标为，∵，且，∴当时，y随x的增大而增大，∴．故选：A．【即学即练3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵二次函数开口向上，∴，即，故选：B．【即学即练4】已知二次函数的图象上有两点，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，∴点关于对称轴对称的点的坐标为，∵，且，∴当时，y随x的增大而增大，∴．故选：A．【即学即练5】在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是（

）A．抛物线的开口方向向上B．都是关于轴对称的抛物线，且随的增大而增大C．都是关于铀对称的抛物线，且随的增大而减小D．都是关于轴对称的抛物线，有公共的顶点【答案】D【详解】解：函数，的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是，函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是，故选：D.【即学即练6】如图，①，②，③，④，比较a．b．c．d的大小，用“”连接．

【答案】【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，

所以，．故答案为：．【即学即练7】抛物线经过点．(1)求这个二次函数的关系式；(2)为何值时，的值随着的增大而增大？【答案】(1)(2)【详解】（1）把点代入中得：这个二次函数的关系式为；（2）抛物线开口向下，对称轴为轴时，的值随着的增大而增大．知识点03二次函数y=ax2+k的图象与性质y=ax2+ka>0a<0图象对称轴：y轴顶点坐标：（0，k）增减性x>0，y随x的增大而增大;x<0，y随x的增大而减小x>0，y随x的增大而减小;x<0，y随x的增大而增大开口方向开口向上（图象在直线y=k的上方）开口向下（图象在直线y=k的下方）开口大小/a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近y轴最值x=0时，取得最小值kx=0时，取得最大值ky=ax2+k与y=ax2图象之间的关系k>0，y=ax2向上平移/k/个单位得到y=ax2+kk<0，y=ax2向下平移/k/个单位得到y=ax2+k【即学即练8】已知抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值【答案】B【详解】解：∵，，∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，当时，函数有最小值为；综上：只有选项B是正确的；故选B．【即学即练9】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知点，在二次函数上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【详解】解：由得对称轴为轴，，当时，随着的增大而增大，，；故选：C．【即学即练10】已知抛物线，则当时，的取值范围为．【答案】【详解】解：，时，随的增大而减小，，时，的最大值；当时，最小．的取值范围是．故答案为：．知识点04二次函数y=a(x-h)2的图象与性质y=a(x-h)2a>0a<0图象对称轴：x=h顶点坐标：（h，0）增减性x>h，y随x的增大而增大;x<h，y随x的增大而减小x>h，y随x的增大而减小;x<h，y随x的增大而增大开口方向开口向上（图象在x轴的上方）开口向下（图象在x轴的下方）开口大小/a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h最值x=h时，取得最小值0x=h时，取得最大值0y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的关系h>0，y=ax2向右平移/h/个单位得到y=a(x-h)2h<0，y=ax2向左平移/h/个单位得到y=a(x-h)2【即学即练11】（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大【答案】D【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意；B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意；C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意；D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意；故选：D．【即学即练12】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系为．【答案】/【详解】∵二次函数为：∴∴二次函数的开口向上，对称轴为：，∴当时，二次函数的函数值随x的增大而减小，∵，∴，故答案为：知识点05二次函数y=a(x-h)2+k图象与性质y=a(x-h)2+ka>0a<0图象k>0,h>0k>0,h<0k<0,h>0k<0,h<0k>0,h<0k>0,h>0k<0,h>0k<0,h<0对称轴：x=h顶点坐标：（h，k）增减性x>h，y随x的增大而增大;x<h，y随x的增大而减小x>h，y随x的增大而减小;x<h，y随x的增大而增大开口方向开口向上（图象在直线y=k的上方）开口向下（图象在直线y=k的下方）开口大小/a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h最值x=h时，取得最小值kx=h时，取得最大值ky=a(x-h)2+k与y=ax2图象之间的关系(二次函数的平移)抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k）【即学即练13】（2024·湖南衡阳·一模）已知抛物线，下列结论中错误的是（

）A．抛物线的开口向上 B．抛物线的对称轴为直线C．当时，y随x的增大而减小D．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为【答案】D【详解】抛物线中，，抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意；由解析式得，抛物线的对称轴为直线，B选项说法正确，不符合题意；当时，y随x的增大而减小，C选项说法正确，不符合题意；将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式为，即，D选项说法错误，符合题意；故选D．【即学即练14】将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到新的二次函数的图象，则原二次函数的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】抛物线的顶点坐标为图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的顶点坐标为，由于平移不改变图形的形状与大小，则平移前的抛物线表达式为；故选B．【即学即练15】下列图象中，可能是的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点为，观察图象，则C选项符合题意，故选：C．【即学即练16】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点．（1）若对于，有，则；（2）若对于，都有，求的取值范围．【答案】3【详解】解：（1）∵对于，有，∴，解得：；故答案为：3（2）∵，∴，∵，，∴当时，y随x的增大而减小，点距离对称轴的距离小于点距离对称轴的距离，且点的中点在对称轴的右侧，∴．故答案为：【技巧与方法】a>0,离对称轴越近的店其函数值越小；a<0，离对称轴越近的点，其函数值越大。知识点06二次函数三种形式表达式之间的关系二次函数的解析式有三种形式：①一般式：，②顶点式：利用配方法把二次函数一般式y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k：其中h=，k=※③两根式：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。【即学即练17】（1）将二次函数配方后变成，对称轴是直线．（2）将二次函数配方后变成，顶点坐标是．当时，函数的最大值为，最小值为；当时，函数的取值范围是．（3）二次函数的对称轴是直线，顶点坐标是．当时，函数的最大值为，最小值为．（4）将二次函数配方后变成，对称轴是直线，顶点坐标是；当a0时，二次函数有最小值，最小值为．【答案】（1）、；（2）、、、、；（3）、、；（4）、、、、【详解】解：（1），对称轴是直线；故答案为：，；（2），顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最大值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为；当时，；当时，；∴当时，函数的取值范围是；故答案为：，，，，；（3），则对称轴是直线，顶点坐标是．∵，∴当时，函数的最小值为，当时，；当时，；∴当时，函数的最大值为，最小值为．故答案为：，，，；（4），对称轴是直线，顶点坐标是；当时，二次函数有最小值，最小值为．故答案为：，，，，．【即学即练18】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）抛物线上的点到x轴的最短距离为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵，∴抛物线开口向上，∴抛物线有最低点，∴抛物线上的点到x轴的最短距离为2．故选：D．【即学即练19】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】【详解】解：∵一条抛物线经过点和，∴该抛物线的对称轴是直线；故答案为：知识点07二次函数一般式y=ax2+bx+c的系数与图象的关系y=ax2+bx+ca>0，开口向上a<0，开口向下对称轴是x=，顶点坐标是（，），与y轴的交点（0，c）最值x=时，有最小值：x=时，有最大值：增减性当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大；简记左减右增；当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小；简记左增右减；【即学即练20】已知二次函数（1）若则函数的最大值为．（2）若，当时，的最大值为5，则的值为．【答案】41或【详解】解：（1）当时，该二次函数为，∵，∴当时，y有最大值，最大值为．故答案为：；（2）∵，∴该二次函数的对称轴为直线．当时，抛物线开口向上，∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．∵x轴上到的距离比到的距离大，∴当时，y有最大值，∴，解得：；当时，抛物线开口向下，∴当时，y有最大值，最大值为，∴，解得：．综上可知a的值为或．故答案为：1或．【注意】对称轴不确定时，需要分类讨论函数的最大值【即学即练21】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上．（1）；（2）若，则的取值范围为．【答案】1或【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线，，，故答案为：1；（2）点，都在二次函数的图象上，，，即，或．故答案为：或．【即学即练22】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴，∴，①错误．∵时，，∴，②错误．∵抛物线对称轴为直线，时，∴时，，③正确．∵，∴，∴，∵，∴，④错误．∵时y取最大值，∴，即，⑤正确．故选：A．【总结】熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义可解此类问题：根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置,抛物线对称性及赋值x，可得a、b、c的数量关系，·分类讨论——根据二次函数的性质分类讨论确定未知参数的范围根据最值和增减性讨论自变量未知参数的范围：先确定对称轴和增减性，再联系图象进行分类讨论最值，继而确定自变量中参数的范围。案例：当时，函数的最大值为，求t的值．根据，得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．∴该抛物线的对称轴为直线，开口向下，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．∵当时，函数的最大值为，求函数取得最值时自变量的取值：把代入，得，解得，．再根据二次函数的增减性，进行分类讨论：①当时，时，取得最大值，解得；②当时，时，取得最大值．∴t的值为或2．·数形结合与代数消元——利用二次函数的对称轴及对称性确定函数的值根据二次函数的对称性，到对称轴距离相等的点的y值（函数值）相等。现给出点A(x1，y1)、点B（x2，y2），根据坐标系中，任意两点之间中点坐标的表示，可知当y1=y2时，案例：对于二次函数的图象经过两点，已知点都在该函数图象上，y1=y2。①求对称轴：根据两点的纵坐标都是0，可知该函数的对称轴，即可求出a的值为，解析式：②利用及对称轴表示进行消元：先代数表示函数值得到，，进而得到，，最后应用：在平面直角坐标系中，二次函数上的点、满足．①若，比较和的大小，并说明理由；②求的取值范围．【答案】①，见解析；②【详解】①，，．函数图象的对称轴为直线，点关于直线的对称点坐标为．，，在对称轴右侧，随的增大而减小，且．．②，当时，有最大值，．【题型一：一次函数、二次函数图象综合判断】例1．（23-24八年级下·福建福州·期末）直线经过第一、二、四象限，那么的图像大致为(

)A．B．C． D．【答案】B【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，，，二次函数的开口向下，对称轴在轴右侧，且经过原点，故选：B．变式1-1（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意；、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意；故选：．变式1-2．（2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．故选：B．变式1-3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，则函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵将抛物线向右平移个单位，得到抛物线，∴对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴，∴，∴的图象过第一、二、四象限．故选：C【方法技巧与总结】①根据一次函数图象确定参数k、b得正负情况；②再结合抛物线的图象与其各项系数的关系从而判断出函数开口方向，对称轴的位置；【题型二：二次函数图象的平移变换】例2．（2024·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵将抛物线向左平移1个单位或向右平移3个单位后都经过点，∴抛物线经过点和，，，故选：D．变式2-1.（23-24九年级上·安徽滁州·期中）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为．【答案】【详解】解：依题意，因为抛物线先向右平移4个单位，所以因为向下平移5个单位，所以，故答案为：变式2-2．将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为，故选：D．【方法技巧与总结】将抛物线的平移问题转化为抛物线上的点的坐标平移进行解题，坐标平移满足“左减右加”的原则。【题型三：二次函数图象的对称变换】例3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：抛物线的顶点坐标为，关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是．故选：C．变式3-1.抛物线与抛物线的相同点是（

）A．顶点相同 B．对称轴相同 C．拋物线形状相同 D．顶点都在轴上【答案】D【详解】解：A．抛物线的顶点，抛物线的顶点是，故选项错误，不符合题意；B．抛物线的对称轴是，抛物线的对称轴是y轴，故选项错误，不符合题意；C．∵抛物线与的a的值不同，拋物线形状不同，故选项错误，不符合题意；D．抛物线的顶点，抛物线的顶点是，顶点都在轴上，故选项正确，符合题意．故选：D．【技巧与方法】将图象的对称变换转化为特殊点的对称变化：利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标【题型四：己知抛物线上对称的两点表示对称轴】例4．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．此二次函数的对称轴为直线；【答案】/0.5【详解】二次函数，函数经过和，是对称点，对称轴为直线，故答案为：变式4-1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是；【答案】【详解】二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，又和在此函数的图象上，对称轴为直线，画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标，，点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、），，故答案为：【方法技巧与总结】利用对称轴解决问题：①找对称点，表示出对称轴；②根据对称轴和二次项系数，作抛物线的草图，结合图象解决问题。【题型五：综合判断含参数的二次函数的性质】例5．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知函数，下列结论错误的是（

）．A．当时，随的增大而增大B．当时，函数图象的顶点坐标是C．当时，若，则随的增大而减小D．无论取何值，函数图象部经过同一个点【答案】C【详解】解：A、当时，，随的增大而增大，故A正确，不符合题意；B、当时，，函数图象的顶点坐标是，故B正确，不符合题意；C、当时，，∴若，则随的增大而增大，故C错误，符合题意；D、，当时，的值与m无关，此时，即该函数经过点，故D正确，不符合题意；故选：C．变式5-1（2024·安徽合肥·三模）直线与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（）A．当时，随的增大而增大B．当时，的图像一定不过第三象限C．当时，与交点的横坐标的范围是D．与的图像一定有两个交点【答案】C【详解】解：，故当时，随的增大而增大，A选项正确，不符合题意；当时，过二，四象限，由于直线必定过，故直线过一，二，四象限，不过第三象限，B选项正确，不符合题意；当时，，故在抛物线内部，故与的图像一定有两个交点，且与交点分在的两侧，故D选项正确，不符合题意；由此可知，C选项不正确，符合题意；故选：C．变式5-2（2024·安徽合肥·二模）抛物线的顶点为A，过A点作y轴的平行线交直线于点B，下列结论错误的是（

）A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线过定点C．若抛物线与直线在第一象限有交点，则D．线段的最小值为1【答案】C【详解】A、抛物线的对称轴为：直线，故A选项不符合题意；B、当时，，故B选项不符合题意；C、如图，当过时，∴，∴，∴抛物线与直线在第一象限有交点，则；故C符合题意；D、由题意得：，则，，时，有最小值1，故D选项不符合题意，故选：C．【总结】灵活运用二次函数的性质逐项进行判断，排除法作选择题。【题型六：根据二次函数的图象判断各项系数及其代数式的符号】例6．（2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】A、抛物线与x轴的一个交点为，，即，故A错误；B、抛物线开口方向向上，，由抛物线与y轴的交点可知，，故B错误；C、抛物线与x轴有两个交点，，即，故C错误；D、由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，即，故D正确．变式6-1．如图是二次函数图像的一部分，对称轴为直线，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．当时，D．若，，在该函数图像上，则【答案】B【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得：∵抛物线开口方向向下，交轴于正半轴，∴，，又∵对称轴为直线，即，∴，∴，故B错误，不符合题意；由函数图象可得，当时，，即，故A正确，符合题意；∴由函数图象可得当当时，有可能，C错误，不合题意；由函数图象对称性可得，当与时，函数值相同，∵，∴由函数的增减性可得：，D错误，不合题意；故选A．变式6-2．二次函数的图象如图所示，与x轴左侧交点为，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中结论正确的为（）A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，，、异号，，，，①结论正确；抛物线对称轴是直线，，，由图象可知，当时，，，②结论错误；由图象可知，当时，，，又，，③结论错误；当时，为最小值，，，④结论正确，故选：A．变式6-3.（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④当时，．上述结论中、所有正确结论的序号是．【答案】①③④【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即故此选项正确；②由图象可知：抛物线过点，即当时,故此选项错误；③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和，当时,当时,，，故③正确；④由图象可知，当时，抛物线在直线的下方,即当时,，故此选项正确；故答案为:①③④.【方法技巧与总结】二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左；当与异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于；x=1时，判断a+b+c的符号；x=-1时，判断a-b+c的符号.【题型七：待定系数法确定二次函数的表达式】例7．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式．【答案】【详解】解：由题意，设二次函数的解析式为，又抛物线过，，对称轴是直线，∴解得，∴抛物线的解析式为变式7-1．如图，抛物线经过，两点，求该抛物线的函数解析式．【答案】【详解】解：将，代入可得:，解得：，所以抛物线的函数解析式为．变式7-2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线过点，求抛物线的解析式．【答案】【详解】解：抛物线过点，，即，得：，，把代入①得：，抛物线的解析式为：．例8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值．【答案】，，【详解】解：由题意设抛物线为；

把代入，得：解得：

∴∴，，变式8-1．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…012…y…5005…求这个二次函数的解析式.【答案】【详解】由题意，设二次函数的表达式为，∵二次函数经过点，∴，∴，∴二次函数的表达式为，即．【技巧与方法】待定系数法求二次函数的解析式：①若已知抛物线上任意两点坐标和对称轴，就先设二次函数的解析式为，然后将两点坐标分别代入解析式，再结合对称轴是直线，求出a，b，c；②若已知抛物线与x轴的交点坐标和任意一点坐标，就设两点式：y=a(x-x1)(x-x2)；③若已知若已知抛物线的顶点坐标和任意一点坐标就设顶点式。【题型八：根据二次函数对称性求最短路径】例9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．

【答案】【详解】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，

令，则，解得：∴，，当时，，∴设直线的解析式为，带入得，解得：，∴，当时，，∴点P的坐标为变式9-1．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】．【详解】假设存在点，使得的值最小∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图，∵，∴．又∵，，∴直线的解析式为：，又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式，得到：，∴又∵，∴,即，的最小值为．变式9-2.（2021·安徽安庆·二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M动身，先抵达x轴上的某点（设为点E），再抵达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．（P可在平面坐标系内任意运动），求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出最短总路径的长．【答案】（1）；（2）点P运动的最短路径为，此时，【详解】（1）将A(0，3)，B(1，0)、C(5，0)代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴；（2）∵M为OA的中点，∴，作与M关于x轴对称，∴，设A与关于对称轴对称，且在抛物线上，∴，连接，∵两点间线段最短，且由对称性可知，，∴当，E，F，四点在一条直线上时，路径最短，∴即为最短路径，设解析式为，代入，得，，解得：，∴解析式为，当时，，此时，当时，，此时，，∴点P运动的最短路径为，此时，．【方法技巧与总结】求三点之间的最短距离问题，关键是轴对称性质：作已知一点关于对称轴的对称点，再转化线段，根据两点之间线段最短，三点共线时即为所求最短距离．【题型九：根据二次函数的性质求参数范围】例10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知点、、、，若抛物线与四边形的边没有交点，则a的取值范围为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】解：如图所示：把代入得，，把代入得，抛物线的开口越小，的绝对值越大，抛物与四边形的边没有交点，则的取值范围为：或故选C．变式10-1.（2024·陕西西安·一模）若抛物线（m是常数）的顶点到x轴的距离为2，则m的值为（）A． B． C．﹣或 D．或【答案】D【详解】解：，∴抛物线（m是常数）的顶点坐标为，∵顶点到x轴的距离为2，∴，即或，解得或，故选：D．变式10-2．（2024·安徽宿州·二模）抛物线（a，b，c是常数且）经过点和点．当时，下列结论可能成立的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】C【详解】解：∵抛物线经过点和点，∴，．∵，∴，整理，得：，故B和D错误；∵，∴当时，，即，故A错误；当时，可能成立，即可能成立，故C正确．故选C．例11.（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．（1）此二次函数的对称轴为直线；（2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是；【答案】/0.5【详解】（1）二次函数，函数经过和，是对称点，对称轴为直线，故答案为：（2）二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，又和在此函数的图象上，对称轴为直线，画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标，，点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、），，故答案为：变式11-1．（2024·安徽马鞍山·一模）设，若对于任意实数x，都满足，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：当时，，将代入，得：，化简得：，即，故选：D．【思想方法】数形结合、转化、消元【题型十：在二次函数与图形综合问题中利用两点间的距离表示线段的长】例12.平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值．【答案】【详解】解：平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，顶点坐标为，故平移后的解析式为，，直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q，（），，

当时，长的最大值为．变式12-1．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值．【答案】2【详解】解：设，，当时，有最大值，最大值为2．变式12-2.（2024·安徽淮北·三模）抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是．【答案】1【详解】解：（1）由题意，将代入中，得，解得，故答案为：1；（2）由（1）得抛物线的表达式为，联立方程组，解得或，∴抛物线与直线的交点坐标为，，设，，当时，，∵，∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意；当时，，∵，∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小，故答案为：．【技巧与方法】①先根据条件表示出线段端点的横坐标、设出动点的坐标；②利用函数表达式表示端点的纵坐标；③利用两点间的距离公式表示出线段的长（一般情况下是建立一个新的二次函数）例13．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，连接，已知抛物线的对称轴为直线，．(1)求，的值．(2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值．(3)若点在轴上，点在抛物线上，当，，，为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标．【答案】(1)，；(2)；(3)或．【详解】（1）由题意可得点的坐标为，∴，解得；（2）如图，过点E作轴于点，当时，，∴点的坐标为，，当时，，，∴点的坐标为，∴，，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∵点在抛物线上，∴设，∴∵，∴当时，的最大值为，∴的最大值为；（3）设，情况一：如图，当时，过点作轴于点，，∵，，∴，解得（舍去），，∴，，∴，；情况二：如图，当时，过点作轴于点F，，∵，，∴，解得（舍去），，∴，，综上所述，点的坐标为或．变式13-1.已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值

【答案】【详解】解：∵抛物线与轴交于点，，，

解得，∴抛物线的解析式为；设，直线为，据题意得，，解得，∴，联立得，解得或，∴，设，直线为，据题意得，，解得，∴，联立得，解得或，∴，

，

，∴；【技巧与方法】①设而不求代数法；②联立直线（一次函数表达式）和抛物线（二次函数表达式）构造方程组，确定直线和抛物线的交点坐标。一、选择题1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）抛物线的图象一定经过（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【详解】解：∵抛物线的图象得对称轴为y轴，顶点坐标为原点，开口向上，∴抛物线的图象一定经过第一、二象限．故选：A2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【详解】解：时，函数，∴∴函数,∴∴∴.故选：D3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）下列对于二次函数，说法不正确的是（）A．最小值为3 B．图象与y轴没有公共点C．当时，y随x的增大而减小 D．其图象的对称轴是y轴【答案】B【详解】解：A.开口向上，最小值为3，说法正确；B.图象与y轴交于，说法错误；C.当时，y随x的增大而减小，说法正确；D.其图象的对称轴是y轴，说法正确；故选B．4．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（

）A．开口向上 B．当时，函数的最大值是C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点【答案】B【详解】解：∵，，∴抛物线开口向下，故A错误；∵当时，函数的最大值是，故B正确；∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；∵，∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．故选：B．5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【详解】解：因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上，故A说法正确；又抛物线的对称轴是直线，故B说法正确；因为抛物线的顶点坐标为，故C说法正确；因为抛物线对称轴为直线，且开口向上，所以当时，y随x的增大而减小．故D说法不正确；故选：D．6．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）关于二次函数下列说法正确的是（

）A．抛物线开口向上 B．当时，有最大值C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标是【答案】A【详解】解：由题意可得，二次函数的顶点为：，对称轴为直线，故C，D选项错误不符合题意，∵，∴当时，有最小值，开口向上，故B选项错误，不符合题意，A选项正确，符合题意，故选：A．7．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）抛物线的对称轴是直线（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，把解析式配成顶点式，即可得答案．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴是直线，故选：A．8．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若点，，都在抛物线上，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，在处有最大值，到的距离为，到的距离为，，故选：D．9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移个单位得到的解析式为，则原抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，再向左平移个单位得到的解析式为，∴向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到原抛物线，∴原抛物线的函数解析式为．故选：D．10．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】把二次函数的图象向右平移个单位得，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是．故选：C．二、填空题11．抛物线的顶点坐标是．【答案】【详解】解：，∴抛物线的顶点坐标是．故答案为：．12．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线的表达式为．【答案】【详解】解：依题意，因为抛物线先向右平移4个单位，所以因为向下平移5个单位，所以，故答案为：三、解答题13.一个二次函数（）的图象经过点关于坐标轴的对称点B，求其关系式．【答案】【详解】把点代入中得：这个二次函数的关系式为；14．抛物线经过点，且点在此抛物线上，求的值．【答案】【详解】解：把点代入得：，∴，∴，把代入得：，∴．15．抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式．【答案】【详解】解：将和代入得：，解得，抛物线的表达式为；16．已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式；【答案】抛物线的函数解析式为【详解】解：∵抛物线与x轴交于，两点，∴可设抛物线的函数解析式为．

∵抛物线经过点，则，解得．

∴抛物线的函数解析式为17．已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的表达式．【答案】二次函数的解析式为【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是，设二次函数的解析式为，把代入，得，解得，∴二次函数的解析式为．18．如图，函数的图象经过点A，B，C．(1)求b，c的值；(2)画出这个函数的图象；【答案】(1)；(2)见解析【详解】（1）解：由图象可得，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，则，解得，即b、c的值分别是2，3；（2）由（1）知，，，，该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下，由对称性可知，图象过点，所画的函数图象如图所示；19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数．(1)将二次函数化成的形式；(2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围．【答案】(1)(2)图象见解析，【详解】（1）；（2）由（1）得顶点坐标是；当时，，，可知抛物线与x轴的交点是，．画出图像如图所示．当时，．20．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）二次函数，其中为实数．(1)判断点是否在该拋物线上．(2)求该二次函数顶点的纵坐标（用含的代数式表示）．(3)若将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线顶点纵坐标的最小值为________．（直接写出答案）【答案】(1)在(2)或(3)【详解】（1）解：当时，，∴点在该拋物线上；（2），∴该二次函数顶点的纵坐标为；（3）将该二次函数图像向下平移3个单位长度，所得抛物线为，则抛物线顶点纵坐标为，∵，∴，故：所得抛物线顶点的纵坐标的最小值是．故答案为：．21．如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．

(1)求该抛物线的对称轴；(2)求的面积．【答案】(1)(2)的面积【详解】（1）解：∵轴，∴，两点关于抛物线对称轴对称，∴，∴此抛物线的对称轴为直线：，即（2）解：连接，∵，关于对称轴对称，，抛物线的对称轴为直线：，∴，∴，∴的面积．22．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点，点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由．【答案】，理由见解析【详解】设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为，存在，恰好使．，即．抛物线开口向上，在对称轴的左侧随增大而减小．又关于对称轴的对称点为且，点都在对称轴左侧，且，．23．如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值．【答案】2【详解】解：设，，当时，有最大值，最大值为2．24．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点．(1)请求出点的坐标；(2)请利用图象直接写出时x的取值范围．(3)请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围．【答案】(1)；(2)或；(3)．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点，且二次函数的对称轴直线，∴；（2）解：由图象可知，当或时，；（3）解：由图象可知，两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围是．25．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上任意两点，其中．

(1)若抛物线的对称轴为，当为何值时，；(2)设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求t的取值范围．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：∵，∴，，∴或，∵，∴，∵，∴，；（2）解：由题意可得：，，，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．一、选择题1．（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵二次函数∴对称轴为直线，故B，D不符合题意；∵当时，，，∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意．故选：A．2．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】A、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意；B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意；C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意；D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意；故选D3．（2024·安徽·二模）已知二次函数的图象经过点，，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：代入，得，得，解得∵∴，∴，当时，；∵，当时，的取值范围为．4．如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（

）A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则C． D．对任意实数t，总有【答案】B【详解】解：由图知开口向下，，与交于正半轴，，图象关于直线对称，，，，A选项错误；若抛物线与x轴交于，两点，，则，故B选项正确；，，由图知，当时，，不成立，故C选项错误；当时，有，故D选项错误．故选：B．5．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【详解】解：由图象知，抛物线开口向上，则；图象与y轴交于y轴负半轴，则；对称轴为直线，即，则，故①正确；由，得，故②错误；由于二次函数当时取得最小值，则对于任意实数m，，故有，故③正确；由图象知，时的函数值与时的函数值相等，所以当时，，故④正确；由于，且，即，表明自变量取时，二次函数的函数值相等，由抛物线的对称性得：，即，故⑤正确；因此正确的有①③④⑤三个．故选：C．二、填空题6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数．（1）当，时，该函数图象的顶点坐标为；（2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则．【答案】【详解】解：（1）当、时，，∴该函数图象的顶点坐标为；（2）∵，∴顶点坐标为，∵正中，，∴抛物线开口向下，∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：，∴当时，；当时，，∴，解得：，∴．故答案为：，．7.（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是，正方形周长的最小值是．【答案】【详解】解：∵，∴抛物线，∴顶点坐标为；∵四边形是正方形，∴，∵点在抛物线上运动，∴当点运动到抛物线的顶点处时，的最小，∴当时，，则有最小值，∴的最小值是，正方形周长的最小值为．8．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其中图象的一部分如图所示．对于下列说法：①；②当时，；③；④．其中正确的是（把正确说法的序号都填上）．【答案】①③④【详解】解：①∵开口向下，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故正确；②如图，当时，y不只是大于0．故错误；③∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与之间；∴当时，，故正确；④∵对称轴，∴，∴，∵当时，，∴，故正确；∴正确的有3个．故答案为：①③④．三、解答题9．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，．(1)求抛物线的表达式；(2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；(3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2)