21.5反比例函数（4知识点+12题型+强化训练）教师版

21.5反比例函数课程标准学习目标1．结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；2．会用描点法画出反比例函数的图象；3．知道当k>0和k<0时反比例函数图象的整体特征；4．能用反比例函数解决简单的实际问题．课时1：①理解反比例函数的概念，知道反比例函数的意义（结合具体情境用实例体会）；②掌握反比例函数的一般形式：会根据具体情境列反比例函数表达式；③学会建立反比例函数关系式解决问题的方法．课时2：①能描点画出反比例函数的两支图象，了解反比例函数的图象的意义；②会分析反比例函数的图象，理解反比例函数中字母k表示的意义，掌握反比例函数的图象的性质；③会求反比例函数解析式，用反比例函数知识解决问题．知识点01反比例函数的相关概念·反比例关系：两种量相对应的两个数（x、y）的积一定，满足．这两个变量之间的关系叫做反比例关系．·反比例函数的定义：一般地，表达式形如（k是常数，k0）的函数叫做反比例函数．补充：反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．【即学即练1】（23-24七年级下·山东·期末）下列函数中，是关于的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A．不是关于x的正比例函数，故A错误；B．是关于x的反比例函数，故B正确；C．不是关于x的反比例函数，故C错误；D．不是关于x的反比例函数，D错误．故选：B．【即学即练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（

）A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系【答案】D【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意；B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意；C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意；D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意；故选：D【即学即练3】已知反比例函效，则k不可以取下列的哪个值（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】解：，，即，故选：C．知识点02反比例函数的图象与性质·反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，两个分支关于原点对称．反比例函数k的符号k>0k<0图像变量的取值范围x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；性质图像的两个分支分别在第一、三象限．每个象限内，图象自左向右下降，函数ｙ随ｘ的增大而减小．图像的两个分支分别在第二、四象限．每个象限内，图象自左向右上升，函数ｙ随ｘ的增大而增大．补充：由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．【即学即练4】（22-23九年级上·河北邢台·期末）已知是反比例函数，则它的图象在（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】D【详解】∵是反比例函数，∴，∴图像分布第二、四象限，故选D．【即学即练5】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意，故选：D．【即学即练6】关于反比例函数，下列说法不正确的是（

）A．图象是中心对称图形 B．当时，随的增大而增大C．图象经过点 D．若，则【答案】D【详解】解：A．由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，本题说法正确，故该选项不符合题意；B．因为，所以当时在每个象限内，y随着x的增大而增大，本题说法正确，故该选项不符合题意；C．当时，，所以函数图象过点，本题说法正确，故该选项不符合题意；D．因为，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内y随着x的增大而增大，当时，，所以当，则，本题说法不正确，故该选项符合题意；故选：D．知识点03反比例函数解析式的确定·待定系数法：由于在反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．【即学即练7】（22-23九年级上·四川成都·期末）若反比例函数经过点，则k的值为（）A．4 B．2 C． D．【答案】A【详解】解：∵反比例函数经过点，∴．故选：A．【即学即练8】已知反比例函数，点在反比例函数的图象上，则的值为；【答案】【详解】将代入得，，解得，故答案为：；知识点04反比例函数中反比例系数的几何意义·过反比例函数图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积：S=PMPN=，．【即学即练9】（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，点在双曲线上，轴于B，,则．

【答案】14【详解】解：由题意，得：，∴，∵图象在一、三象限，∴，∴；故答案为：14【即学即练10】如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为．

【答案】【详解】解：设点A的坐标为，点A在第二象限，，，，，是反比例函数的图象上一点，，故答案为：．【即学即练11】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为．（用“<”连接）【答案】【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；取，如图所示：；综上所述，，故答案为：．与k的几何意义有关的图形面积问题：·运用k的几何意义解组合双曲线间的图形面积问题： ·运用k的几何意义转化图形面积例：双曲线上两点A、B与原点构成的三角形的面积=与坐标轴构成的直角梯形的面积【题型一：根据反比例函数定义求参数的值】例1．若是反比例函数，则的值是．【答案】【详解】解：是反比例函数，，且，则，且，，故答案为：．变式1．若函数是反比例函数，的值是（

）A． B．1 C． D．不能确定【答案】A【详解】∵是反比例函数，∴，解得．故选：A．【方法技巧与总结】应用形式的反比例函数解析式确定参数的值：自变量的次数为-1，系数k≠0．【题型二：给出反比例函数关系式描述性质】例2．（2024·湖北武汉·一模）关于反比例函数，下列结论正确的是（

）A．图象位于第一、三象限；B．图象与坐标轴有交点；C．若图象经过点，则必经过点；D．图象上有两点，，若，则．【答案】C【详解】解：根据反比例函数图象可得：当时，反比例函数图象位于二、四象限，选项错误；反比例函数图象与坐标轴无交点，选项错误；由反比例函数表达式可得，，选项正确；当时，，随着的增大而增大，即若，则；，随着的增大而增大，即若，则，但时，，选项错误．故选：．变式2．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（

）A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大B．是轴对称图形，也是中心对称图形C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点D．图象分别位于第二、四象限内【答案】C【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确；B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误；D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确故选：C．【方法技巧与总结】①反比例函数的图象即是轴对称图形，也是中心对称图形；②反比例函数的增减性只在每个象限内讨论．【题型三：根据反比例函数的性质求参数范围】例3．若反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则的取值范围是．【答案】/【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．根据反比例函数的图象的一个分支在第二象限可得，然后解不等式即可．【详解】解：∵反比例函数的图象的一个分支在第二象限，∴，解得：．故答案为：．变式3．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据的k值小于0，反比例函数在第二、四象限，据此即可作答．【详解】解∶∵反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，∴，解得，故答案为：．【方法技巧与总结】①根据题意进行分类讨论；②分析几何关系，用含t的式子表示相关线段的长．【题型四：根据反比例函数的增减性比较自（因）变量的大小】例4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴图象在一三象限，且在每个象限内随的增大而减小，∵，∴．故选：C．变式4-1．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）在函数的图象上有三点，，．则下列各式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，函数图象如图，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小故选B．变式4-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知点，，都在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随着x的增大而增大，，点，在第二象限，点在第四象限，．故选：C．【方法技巧与总结】①先根据k的值确定函数在每个象限内的增减性，比较同一象限内的点的坐标的大小；②比较纵坐标的大小：k>0，第一象限的点的纵坐标一定大于第三象限的点的纵坐标；k<0，第二象限的点的纵坐标一定大于第四象限的点的纵坐标．【题型五：判断反比例函数与一次函数的图象】例5．函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合；当时，，∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合．故选：．变式5．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【详解】解：当时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴正半轴交于一点，即，，，∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，∴反比例函数的图象经过第二、四象限．C选项符合题意当时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，与y轴负半轴交于一点，即，，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴反比例函数的图象经过第一、三象限．故选：C．【方法技巧与总结】法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限．【题型六：判断反比例函数与二次函数的图象】例6．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵抛物线与轴没有交点，∴没有实数根，∴∴∴函数的图象在第一、第三象限，故选：A．变式6-1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，，故二次函数开口向上，且交轴的负半轴，故选D．变式6-2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则与的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵二次函数的开口方向向下，且与轴的坐标相交于正半轴，∴，∵∴排除选项；当时，∴，故错误；当时，，故选．【方法技巧与总结】法一：①确定参数的的取值范围；②对参数的正负进行分类讨论，分别确定两个图象的的位置．法二：特殊值法表示出满足条件的函数解析式，分别确定两个函数图象所在象限．【题型七：运用k的几何意义求k值】例7．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（

）A．6 B． C．3 D．【答案】B【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴，沿y轴向上平移3个单位长度至，且，，，四边形为菱形，，设，则，，且点D为的中点，，与都在反比例函数图象上，，解得，即，，，即，，即．故选：B．变式7-1．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（

）

A．9 B．10 C．12 D．15【答案】A【详解】解：四边形是平行四边形，，可由平移得到，点、点、点C的坐标分别为，，,点D坐标为，反比例函数的图像经过点C，D，，，，，，，故选A．例8．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【详解】解：过点作轴于点，如图所示，，，，，，在中，，即，，在中，，即，，，，，点，．故选：C．变式8-1．把一块含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点在轴上，斜边与轴的夹角，若，当点同时落在一个反比例函数图像上时，．【答案】【分析】题考查反比例函数求，涉及反比例函数图像与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，过作轴，过作轴，如图所示，表示出和，利用反比例函数图像与性质列方程求解得到，代入即可得到答案，数形结合，求出反比例函数图像上点的坐标是解决问题的关键．【详解】解：过作轴，过作轴，如图所示：在中，，，则，在中，，则，，，，，在中，，，则，，设，则，则，解得，，点落在一个反比例函数图像上，．※变式8-2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．

（1）的值为；（2）若的面积为，则．【答案】52【详解】解：（1）∵点和在反比例函数（）的图象上，∴，故答案为：5（2）∵，∴，∴，过点B作轴于点D，交于点E，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，则，解得：，，∵，∴，即，∴，故答案为：2．例9．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，过点作轴于，连接，与相交于点，若，则的值为（

）A．6 B．12 C．8 D．18【答案】D【详解】解：过点作轴于，延长线段，交轴于，轴，轴，四边形是矩形，四边形是矩形，，，，点在双曲线上，，同理，，，，，故选：．变式9-1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）双曲线和如图所示，是双曲线上一点，过点作轴，垂足为，交双曲线于点，连接，若的面积为2，则．

【答案】5【详解】解：∵，∴，∴，∵反比例函数位于第一象限，∴，∴故答案为：5．变式9-2．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次是和，设点A在上，轴于点D，交于点B，轴于点E，交于点C，若四边形的面积为，则．【答案】【详解】解：∵轴，轴，∴，∴四边形的面积为．，即．故答案为：．【方法技巧与总结】①根据反比例函数系数k的几何意义表示出相应的三角形或矩形的面积；②利用反比例函数解析式表示图象上的未知点的坐标；③灵活使用三角形、平行四边形的相关性质建立等量关系求未知参数．【题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标】例10．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，若点的坐标为，则点A的坐标是．【答案】【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵B的坐标为，∴A的坐标为，故答案为：．变式10-1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是．【答案】0【详解】解：∵函数的图象经过点和，∴有，∴，故答案为：0．变式10-2．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为．【答案】【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称，另一个交点的坐标与点关于原点对称，即该点的坐标为．故答案为：．例11．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，点C在y轴上，则四边形的面积为．

【答案】21【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵和平行于x轴，点A在函数的图象上，点B，D在函数的图象上，设，则，，∵点C在y轴上，∴点横坐标为，将代入得，，即，∴、平行线间的距离为，∴，故答案为：21．变式11．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值=．

【答案】【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，

∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，则，∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴，故答案为：．【方法技巧与总结】正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，已知一个交点坐标，由关于原点对称的点的坐标特点求出另一交点坐标．【题型九：反比例函数图象的平移问题】例12．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；②的图象关于点对称；③的图象关于直线对称；④若，根据图象可知，的解集是．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④【答案】B【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解．【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误；②的图象关于对称，当时，，的图象关于点对称；结论正确；③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确；④如图，根据图象可知，的解集是；结论错误；正确的有②③；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．变式12．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）将双曲线（，，2，3，…1012）向左平移2个单位，再向下平移1个单位后与直线相交于2024个点，这2024个交点的横坐标的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平移后的双曲线的解析式为，联立解析式，利用根与系数的关系，进行求解即可．【详解】解：由题意，平移后的双曲线的解析式为：，联立，整理，得：，设两个交点的横坐标为，则：，∵交点的横坐标之和与的值无关，∴每两个交点的横坐标之和均为，∴这2024个交点的横坐标的和为；故选C．【方法技巧与总结】函数图象的左右平移只对x进行变换的规律：“左加右减”．【题型十：反比例函数与一次函数的综合问题——根据图象的交点解不等式】例13．（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【详解】解：∵一次函数(k，b是常数，且)与反比例函数(c是常数，且)的图象相交于，两点，∴不等式的解集是或．故选：C．变式13-1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为．【答案】/【详解】解：结合图像可知，的解集为．故答案为：．变式13-2．（2024·安徽六安·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．(1)求，及点坐标；(2)根据图象直接写出不等式的解集；(3)若是轴上一点，且满足的面积等于，求点坐标．【答案】(1)，，(2)或(3)或【详解】（1）解：一次函数经过点，，，点A在反比例函数的图象上，，反比例函数为，由题意得，解得或，的坐标为；（2）解：由图象可知：或；（3）解：设点P的坐标为，在中，令，得，点D的坐标为，，或，点P的坐标为或．【技巧方法与总结】①表示出一次函数与反比例函数的交点坐标；②运用数形结合的思想分析问题：根据函数图象的上下位置关系，找出关于自变量x的不等式组的解集．例14．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在轴上取一点，当的面积为2时，求点的坐标；(3)将直线向下平移2个单位长度后得到直线，当函数值时，求的取值范围．【答案】(1)，(2)或(3)或【详解】（1），，∴由得，，（2），，，当时，，则，或（3）∵直线向下平移2个单位长度后得到直线，∴当时，解得，根据函数图象可得：当时，或．变式14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与轴交于点，点的坐标为．

(1)求的值及点的坐标；(2)结合图象直接写出不等式组的解集．【答案】(1)；点的坐标为(2)【详解】（1）将点代入中，得：，解得：；将点代入中，得：，解得：，一次函数解析式为．当时，，解得：，点的坐标为．（2）观察函数图象，可知：当时，一次函数图象在轴上方且在反比例函数图象下方，不等式组的解集为．【题型十一：反比例函数与图形综合】例15．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，连接并延长与反比例函数的图象交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)是否在双曲线上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，32【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式得：，则反比例解析式为；将代入反比例解析式得：，即，将与坐标代入中，得：，解得：，则一次函数解析式为；（2）解：存在，∵、关于原点对称，，

∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴设直线的解析式为，代入得，，解得，解，得或，∴；作轴于，轴于，设直线交轴于，则，∴，∴，∴．变式15．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C．(1)求a，b，k的值；(2)观察图象，直接写出不等式的解集；(3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积．【答案】(1)，，；(2)或；(3)【详解】（1）解：反比例函数的图象经过，，，，，，点、在的图象上，，解得：，∴，，；（2）解：由图象可得：不等式的解集为或；（3）解：由（1）可知一次函数为，令，则，，，，延长交反比例函数图象于点，则点与点关于原点对称，，．例16．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点．(1)求的值；(2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根据长方形的性质得到点的坐标，再代入到即可求解；（）由（）得到反比例函数解析式为，由反比例函数可得，，分点在的上方和下方两种情况解答即可求解；本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，∴，∵是的中点，∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴；（2）解：∵，∴反比例函数解析式为，∵点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），∴，当点在的上方运动时，如图，此时，∵轴，∴，，∴∴；当点在的上方运动时，如图，此时，∵轴，∴，，∴，∴；综上，．【技巧方法与总结】①待定系数法求函数的解析式；②联立函数表达式为方程组，求函数图象的交点坐标；③根据反比例函数关系式表示反比例函数图象上的点的坐标；④根据已知的三角形、平行四边形等几何性质表示其他相关点的坐标，列等量关系解题．【题型十二：反比例函数的实际应用】（含学科融合）例16．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和．(1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式；(2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？【答案】(1)(2)【详解】（1）解：，则；（2）解：当时，，则．变式16-1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知汽车前灯电路上的电压保持不变，选用灯泡的电阻与通过的电流强度I（A）成反比例．当选用灯泡的电阻为时，测得通过的电流强度为．(1)求I关于R的函数表达式和自变量R的取值范围；(2)若通过的电流强度I正好为，求选用灯泡的电阻R的值．【答案】(1)，(2)【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为，将，代入得，，∴，由题意知，，∴I关于R的函数表达式为，自变量R的取值范围；（2）解：将代入得，，解得，，∴选用灯泡的电阻R的值为．变式16-2．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践：如何测量一个空矿泉水瓶的质量?素材1：如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘A固定在某处，右侧托盘B在横梁滑动．在A中放置一个重物，在B中放置一定质量的砝码，移动托盘B可使天平左右平衡．增加砝码的质量，多次试验，将砝码的质量与对应的OB长度记录下来，并绘制成散点图（如图2）．素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻，无法称量．小组进行如下操作，保持素材1的装置不变，在托盘B中放置一个内盛水的矿泉水瓶，移动托盘B，使得天平左右平衡，测得．(1)任务1：请在图1中连线，猜想y关于x的函数类型，并求出函数表达式，且任选一对对应值验证．(2)任务2：求出一个空矿泉水瓶的质量．【答案】(1)图见解析；反比例函数；；见解析(2)【详解】（1）解：连线如下图所示：反比例函数；

设y关于x的函数表达式为，把代入函数表达式得，解得，

∴y关于x的函数表达式为．

把代入函数表达式，得，成立．（2）解：当时,即,解得．则．所以空矿泉水瓶的质量为．【技巧方法与总结】①天平问题：动力动力臂阻力阻力臂；②电阻R、电流I、电压U之间的关系：电流I关于电阻R的函数表达式为．例17．（2024·安徽六安·二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示：月份x2345售价份（元）12864．8甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足．乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示．乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克．(1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式(2)求与x之间的函数关系式；(3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？【答案】(1)（，为整数）(2)(3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，，与之间成反比例函数关系．故可设，．（，为整数）；（2）解：由题意，将，代入中，．．．（3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，则．，当时，最大，最大值为1480元．答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元．变式17．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．(1)求该二次函数的解析式和k的值；(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．【答案】(1)；(2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为，把点代入，得，解得：∴所求二次函数的解析式为把点代入得：；（2）解：没有超过15分钟，理由如下：由解得：，（舍去），由，解得：，，所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟．一、选择题1．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列说法正确的是（

）A．周长为1的矩形的长与宽成正比例B．面积为1的等腰三角形的腰长与底边长成正比例C．面积为1的矩形的长与宽成反比例D．等边三角形的面积与它的边长成正比例【答案】C【详解】解：A、设长方形的长为x、宽为y，∴，即，∴长方形的长和宽不成任何比例关系，故本选项错误；B、设等腰三角形的腰为a，底边长为b，∴等腰三角形底边上的高为，∵等腰三角形的面积为1，∴，即，∴面积一定的等腰三角形的腰长和底边长不成任何比例关系，故本选项错误；C、∵长方形的面积长宽，该长方形的面积是定值1，∴长与宽的乘积为定值，∴面积为1的长方形的长与宽成反比例，故本选项正确；D、设等边三角形的边长为t，面积为S，∴等边三角形的高为，∴，∴等边三角形的面积与边长不成比例关系，故本选项错误．故选C．2．下列函数中，是的反比例函数的为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；B、自变量的指数是2，不是反比例函数，故此选项不符合题意；C、符合反比例函数的定义，是的反比例函数，故此选项符合题意；D、是二次函数，故此选项不符合题意．故选：C．3．受到压力为（F为常数）的物体，所受的压强与受力面积的函数表达式为，则这个函数的图象为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】，F为常数，的图象是双曲线，且双曲线的图象在第一、三象限，，双曲线的图象在一象限,故选：．4．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）已知反比例函数的图象经过点与），则的值为（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【详解】解：设反比例函数解析式为：，代入点，解得：，代入，解得：，故选B．5．反比例函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：，则函数在第二、四象限．故选：B6．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（）A．1 B．2 C．4 D．【答案】C【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，∴，且，∴，且，∴，故选：C．7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知反比例函数，下列说法中正确的是（

）A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上C．y随x的增大而增大 D．该图象是轴对称图形【答案】D【详解】解：A、，函数的图象在第二、四象限，选项说法错误，不符合题意；B、因为，所以点不在函数图象上，选项说法错误，不符合题意；C、，在每个象限内，y随着x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；D、，函数的图象在第二、四象限，并且图象是轴对称图形，选项说法正确，符合题意；故选：D．8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为在反比例函数图象的任一支上，都随的增大而增大，∴A、故A不符合题意；B、故B不符合题意；C、故C符合题意；D、故D不符合题意．故选：．9．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象经过点，则下列结论错误的是（

）A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而减小C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小【答案】C【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随增大而减小，∴当时，随增大而减小，当时，随增大而减小，当时，随增大而减小，当，时，随增大而减小，故C不正确；故选：C．10．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，、两点关于原点对称，点的坐标为，点的坐标为．故选D．11．（23-24八年级下·四川眉山·期中）若函数是反比例函数，且时，随的增大而减小，则的值是（

）A． B．1 C． D．不能确定【答案】B【详解】∵是反比例函数，∴，解得．∵当时，y随着x的增大而减小，∴反比例函数的图象一支位于第一象限，则，∴．故选：B．12．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意；当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意，综上，选项C符合题意，故选：C．13．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）反比例函数的图象在每个象限内，函数随的增大而减小，则的值可以()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【详解】解：根据题意，，解得，∴满足题意，故选：D．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）若三点都在反比例函数的图像上，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，∴同一象限内，y随x的增大而减小，∴，，∴，故选A．二、填空题15．（2024·陕西榆林·三模）已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为．【答案】【详解】解：与关于y轴的对称，，解得：，故答案为：．16．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图像上，则．（填“”“”或“”）．【答案】【详解】解：∵，∴反比例函数的图象在二、四象限，∵，∴点，在第四象限，y随x的增大而增大，∴．故答案为：．17．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则．【答案】【详解】解：点在反比例函数的图象上，，故答案为：．18．（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为．【答案】【详解】解：点、关于原点对称，点的坐标为，故答案为：．19．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第象限．【答案】四/【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴∴∴点在第四象限，故答案为：四．20．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为．【答案】1【详解】解：∵反比例函数的图象经过，∴解得：，∴∴反比例数解析式为，将点代入得，，解得：，故答案为：1．21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则．【答案】/【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为，时，，，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为，．故答案为：．22．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为．【答案】1【详解】解：设，点与点关于y轴对称，点，P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，解得：，故答案为∶1．23．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是．【答案】【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是，故答案为：．24．（2024·江苏南京·三模）如图，图像分别是反比例函数、、（为常数）的部分图像，比较的大小关系．（用“或”连接）【答案】【详解】解：∵反比例函数、的图象分布在第三象限，∴，，又∵反比例函数随的增大减小的更快，∴，∵反比例函数的图象分布在第四象限，∴，∴．25．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点是反比例函数的图象上的任意一点，若过点作轴，垂足为，使得的面积等于，则．

【答案】【详解】解：根据题意可知：，即．又反比例函数的图象位于第二象限，，．故答案为：．26．如图，反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，则的面积为．【答案】【详解】解：连接，∵轴，∴，∴，故答案为：．三、解答题27．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点．(1)求这两个函数的解析式；(2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围．【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为(2)【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点．∴把、代入得，，解得，，∴一次函数解析式为；把代入，得，解得，，所以，反比例函数的解析式为（2）解：由图象得：x的取值范围是．28．如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2．(1)求反比例函数的表达式．(2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积．【答案】(1)(2)18【详解】（1）解：点横坐标为2，且在直线的图象上，，，∵点在反比例函数，且的图象上，，∴反比例函数解析式为．（2）解：∵点在反比例函数图象上，且点的纵坐标是6，，设直线的解析式为，，解得，∴直线的解析式为，∴直线与轴的交点为，．29．台灯的亮度控制可以通过用旋钮调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，该图象经过点．(1)求关于的函数解析式；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，反比例函数图象经过点，，关于的函数解析式为；（2）解：当时，，当时，，当时，的取值范围为．30．（2024·安徽芜湖·一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图像，直接写出满足的x的取值范围．【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数解析式为(2)或【详解】（1）解：∵在反比例函数的图像上，∴，∴反比例函数的解析式为；又在反比例函数的图像上，∴，解得，，∴，把，代入得：，解得，，∴一次函数解析式为；（2）解：∵，∴由图象得，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，∴不等式的x的取值范围为或．31．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，二次函数与反比例函数的图象交于．(1)求k的值；(2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．【答案】(1)(2)或【详解】（1）解：将代入得，，∴，将代入得，，解得，，∴k的值为；（2）解：由图象可知，二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．32．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式与点坐标；(2)请直接写出不等式的解集；(3)若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______．【答案】(1)y，(2)或(3)【详解】（1）解：在一次函数的图象上，，即，又在反比例函数图象上，，即，反比例函数的表达式为：，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，设点，，，，或，；（2）解：，即求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集，由图象可知：当或时，；（3）解：由题意可知：设点，，，，当，即时，的面积的最大值为：，故答案为：．1．（23-24九年级下·山东泰安·期中）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数的图象与反比例函数的图象在同一坐标系中大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：∵二次函数的图象开口方向向下，∴，对称轴在y轴的右边，∴，∴，当时，，∵，∴，∴反比例函数的图象在第一、三象限，正比例函数的图象在第一、三象限．故选：C．2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示．则一次函数图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，∴，∵，∴，∵抛物线交轴的正半轴，∴，∴直线经过一、二、三象限，由图象可知：当时，，∴，反比例函数的图象必过一、三象限，综上所述：A、C、D错误，B正确，故选：B．3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．8毫克时治疗有效，则服药后治疗疾病的有效时间为小时．

【答案】4．8【详解】解：由题意可得：当时，，当时，函数关系式为，将代入可得：，所以与的函数关系式为；当时，函数关系式为，将代入可得：，所以与的函数关系式是：；当时，将代入可得：，解得：；当时，将代入可得：，解得：．（小时），所以成年人服药一次有效的时间是小时．故答案为：．4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为．【答案】36【详解】点D到x轴的距离为3，点D的纵坐标为3，点D的纵坐标代入得：

点D的坐标为点D为AB中点，点B的纵坐标为6，四边形为平行四边形，点C的纵坐标为6，点C的纵坐标代入，，，延长交y轴E于，作轴于F，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，，，故答案为：365．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，过原点，底边轴交轴于点，双曲线过A、B两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是．【答案】6【详解】解：如图，过点作与点，双曲线过A、B两点，且过原点，设，则，，，，，是等边三角形，，，，，轴，，轴，，，，，，故答案为：66．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据：R/Ω…12b46…I/A…a32．421．5…(1)______，______；(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；(3)结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为______．【答案】(1)4，3(2)①见解析；②不断