第21章 二次函数与反比例函数（含17种题型）（知识清单）（挖空版）

第二十一章二次函数与反比例函数1.二次函数的定义：一般地，形如__________(a__________0，其中a，b，c是__________)的函数叫做二次函数.其中，__________是自变量，a，b，c分别是函数解析式的__________、__________和__________.2.二次函数的图像特征：二次函数的图像是一条关于__________对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该__________叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的__________叫做抛物线的顶点.3.二次函数的图像及性质函数a的符号a__________0a__________0图像开口方向____________________对称轴__________顶点坐标__________函数的增减性x＞0时，y随x的增大而__________；x＜0时，y随x的增大而__________.x＞0时，y随x的增大而__________；x＜0时，y随x的增大而__________.最值当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________.当x__________0时，函数图像有最__________点，有最__________值__________4.二次函数的图像及性质函数a的符号a__________0a__________0k的符号k__________0k__________0k__________0k__________0图像开口方向____________________对称轴__________顶点坐标__________函数的增减性当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＞0时，y随x的增大而__________.当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＞0时，y随x的增大而__________.最值当x__________0时，y有最__________值__________当x__________0时，y有最__________值__________.5.二次函数的图像及性质函数a的符号a__________0a__________0h的符号h__________0h__________0h__________0h__________0图像开口方向____________________对称轴__________顶点坐标__________函数的增减性当x＜h时，y随x的增大而__________；当x＞h时，y随x的增大而__________.当x＜h时，y随x的增大而__________；当x＞h时，y随x的增大而__________.最值当x＝h时，y有最__________值__________当x＝h时，y有最__________值__________6.二次函数的图像及性质函数a的符号a__________0a__________0图像开口方向____________________对称轴____________________顶点坐标____________________函数的增减性当x＜h时，y随x的增大而__________；当x＞h时，y随x的增大而__________.当x＜h时，y随x的增大而__________；当x＞h时，y随x的增大而__________.最值当x＝h时，y有最小值k当x＝h时，y有最大值k7.二次函数的图像及性质函数a的符号a__________0a__________0图像开口方向____________________对称轴____________________顶点坐标____________________函数的增减性x＞-b2a时，y随xx＜-b2a时，y随xx＞-b2a时，y随xx＜-b2a时，y随x最值抛物线有最__________点，当x=__________时，y有最__________值，抛物线有最__________点，当x=__________时，y有最__________值，8.二次函数与x轴的交点个数抛物线与x轴的交点个数方程根的情况△＞0____________________△＝0____________________△＜0____________________9.二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：图像有两个交点有1个交点无交点判别式△＞0△＝0△＜0△＞0△＝0△＜0____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________10反比例函数的定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.其中__________是自变量，__________是x的函数.11.待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有__________待定系数k，因此只需要知道__________或图像上一个点的__________，即可求出k的值，从而确定其解析式.12.反比例函数的图像特征：反比例函数的图像由两条__________组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第__________象限或第__________象限，它们关于__________对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是__________两坐标轴.14.反比例函数的性质：表达式图像k__________0k__________0____________________经过象限____________________增减性____________________序号易错点易错题注意事项1忽略二次项系数不能为0的隐含条件1．若是关于的二次函数，则的值为．2.若二次函数的图像与轴有交点，则的取值范围是．当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数.2记错二次函数的顶点坐标1.抛物线的对称轴是，顶点坐标是．2.已知二次函数（b，c是常数），若该抛物线的顶点坐标是，则．3二次函数各项系数之间的关系1.如图所示，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与轴交于负半轴．给出四个结论：①，②；③；④；其中正确的结论的序号是．1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.4二次函数平移问题1.把抛物线先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线为．2.平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.5二次函数的最值问题1.已知函数，当时，该函数的最大值是．2.已知二次函数（是常数），当自变量时，函数有最大值为10，则．二次函数的最值就是根据二次函数自变量x的取值范围，求出y的取值范围.重难点01二次函数的定义1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列函数中，不是二次函数的是（

）A． B．C． D．2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为．3．（2024·安徽安庆·二模）若是关于x的二次函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25九年级上·安徽·期中）若函数．(1)当m为何值时，该函数为二次函数？(2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数．(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．重难点02二次函数的图像与性质6．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）函数的图象经过抛物线的顶点，则的值为（

）A． B． C． D．7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数，下列说法中不正确的是（

）A．该二次函数的图象的开口向下B．该二次函数图象的顶点坐标是C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是和D．已知，且点和都在这个二次函数的图象上，则8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（

）A． B．C． D．10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线与直线的一个交点的横坐标为m，则代数式的值为（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．202711．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x、y轴的交点分别为A、B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，求的最小值（）A． B． C．5 D．重难点03待定系数法求二次函数解析式12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式．13．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线，经过，，三点．(1)求这条抛物线的表达式；(2)当为何值时，函数随的增大而增大？14．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标．重难点04函数图像综合15．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（

）A．B．C． D．16．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（

）A．B．C． D．17．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（

）A．B．C． D．18．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）二次函数（a，b，c是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（）A．B．C．D．重难点05二次函数图像与各项系数之间的关系19．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（22-23九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（

）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤21．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）二次函数的图象如图示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥（为任意实数），其中正确的是；（填写序号）

重难点06二次函数平移问题23．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（

）A．1， B．1，2 C．1，3 D．，24．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经平移变换后得到抛物线，则这个平移变换可以是（

）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位25．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），连接、，如果是等边三角形，则的长为．26．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线的对称轴为直线．(1)求的值；(2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点．重难点07二次函数最值问题27．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（

）A． B．2 C．或2 D．或28．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．29．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为．30．（20-21九年级上·四川南充·期末）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是．31．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数（1）若则函数的最大值为．（2）若当时，的最大值为5，则的值为．重难点08二次函数与坐标轴交点问题32．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列图中、两点横坐标是方程两根的有几个？（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个33．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围为．34．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数．(1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围．(2)若，求当时，该函数的范围．35．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知关于的二次函数（为常数），求证：无论为何值时，函数图象与轴总有两个不同交点．重难点09二次函数与不等式36．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，已知抛物线，（，均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则满足不等式的解为（

）A．或 B．或或C．或 D．或或37．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于点，，则能使成立的x的取值范围是．38．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于、，根据图象回答下列问题：(1)写出方程的根；(2)写出不等式的解集；(3)若方程有实数根，写出实数k的取值范围．(4)当时，求y的取值范围．重难点10二次函数与实际应用39．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为．(1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式．(2)求出杯口口径的长．(3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值．40．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为．(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)求出长方形花圃的最大面积．设花圃的宽为，则，，∵，41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元．(1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？(2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值．42．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）某超市在春节前夕，购进一批大米，每袋进价30元，超市规定每袋售价不得少于40元．根据以往销售经验发现：当售价为每袋40元时，每天可以卖出500袋，每袋售价每提高1元，每天要少卖出20袋．(1)试求出每天的销售量y袋与每袋售价x元之间的函数关系式；(2)当每袋售价定为多少元时，每天销售的利润T元最大？最大利润是多少？(3)如果这种大米的每袋售价不高于46元，超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售大米多少袋？43．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？重难点11反比例函数的定义44．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个45．（21-22九年级上·黑龙江绥化·期末）如果函数是反比例函数，那么m的值是（

）A．2 B． C．1 D．046．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知函数为反比例函数．(1)求k的值；(2)求出时，y的取值范围．重难点12反比例函数的图像与性质47．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（

）A．第一、三象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第二、四象限48．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（

）A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线49．（18-19九年级上·陕西宝鸡·期末）如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（

）A． B． C． D．50．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为，则．重难点13反比例系数k的几何意义51．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点；的顶点在轴上，轴，点、分别在反比例函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为．52．（20-21九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于．53．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则的值为．54．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，求该反比例函数的表达式．

55．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（

）A．9 B．6 C．3 D．1256．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两个反比例函数和(其中)在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积是（

）A． B． C． D．57．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，若与的面积之差为5．则的值为．58．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，若，且的面积为20，则的值是．59．（2023·安徽·一模）已知，反比例函数和反比例函数如图所示．(1)点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点B，交y轴于点M，点P在x轴上，连接，求的面积；(2)直线交反比例函数的图象于点C，交反比例函数的图象于点D，若，求n的值．重难点14反比例函数与一次函数综合60．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接、，求的面积．61．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点和两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)根据图象，求出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围；(3)点在反比例函数（）的图象上，若，求点的坐标．62．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点C，已知A为线段的中点．(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P是反比例函数的图象上一个动点，轴于点．设四边形的面积为S，当时，S的最小值．63．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于，两点，点在直线上，点与点关于轴对称．

(1)若点在反比例函数的图像上，求的值．(2)若线段被反比例函数的图像分成两部分，且这两部分长度的比为，求的值．64．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，若两点分别为，则中点坐标为，如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形．【构建联系】若点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；【深入探究】（3）如图3，将直线：向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点P为的中点，过点作于点N，求的值．．重难点15反比例函数与实际问题65．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某学校教室饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系．(1)求y与x的函数解析式；(2)学生饮用水时必须在水从加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以饮用需要等待多长时间？66．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？67．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米．(1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）；(2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围．68．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：(1)求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式；(2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受．重难点16反比例函数与几何综合69．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，是直角三角形，的两边分别与函数的图象交于B、A两点，求的值．70．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）【问题背景】在平面直角坐标系中，已知点，则线段中点的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在第一象限，四边形是平行四边形．【构建联系】若点在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；【深入探究】(3)如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于两点，点为的中点，过点作于点，求的值．

71．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，反比例函数的图象经过斜边的中点P，与交于点Q，连接，点A的坐标为．(1)求反比例函数的表达式；(2)证明：．72．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于C、D两点，点D的横坐标为3．轴，垂足为E．(1)写出点A、B、D的坐标，并求反比例函数的解析式：(2)M是反比例函数图像上的一个动点且在点D右侧，过点M作轴，垂足为F、是否存在这样的点M，使得以点M、E、F为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点M坐标，如果不存在，请说明理由．73