21.15 反比例函数设参求值解决问题（综合练）（含答案）-沪科版(2024)九上

专题21.15反比例函数设参求值解决问题（综合练）函数学习中“设参求值”问题对学生来讲是重难点，也是中考重要考点，在中考中多以填空和选择题形式出现，学生刚学习时往往无从下手，为了让学生能掌握其解题方法，粗略理出其基本思路：思路①设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼找相等关系➼➼➼➼建立方程➼➼➼➼求值；思路②设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼消参数求值；本专题汇编了一些典型设参求值，学生通过训练，必将克服学生畏难情绪，提升学生解此类题的自信心。一、单选题1．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，点B是反比例函数上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线段，垂足为A，C，与反比例函数交于点M，N，则连结，则的面积为（

）

A．2 B．1 C． D．2．（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（

）

A． B． C． D．不能确定3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，反比例函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点．若，则的值为（

）

A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·广东惠州·校考二模）如图，点B在反比例函数的图像上，连接，取的中点P，将点P绕原点O逆时针旋转得到点，若函数经过点，则k的值为（

）

A． B． C． D．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点是轴负半轴上一点，点在反比例函数的图象上，交交于点，若，，则的面积为（

）A． B． C．6 D．96．（2023春·重庆北碚·八年级统考期末）如图，菱形的顶点A，B在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，对角线轴，菱形的面积为16，则k的值是（

）A．8 B． C．6 D．7．（2023春·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B分别是x轴和y轴上的点，过x轴上的另一点D作，与反比例函数的图象相交于C，E两点，E恰好为的中点，连接和．若，的面积为2，则k的值为（

）

A．3 B． C．2 D．18．（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）如图，点A，B为反比例函数的图象上的两点，且满足，若点A的坐标为，则点B的坐标是（

）．

A． B． C． D．9．（2023春·江苏泰州·八年级统考阶段练习）如图，点A是双曲线上的一点，连接，与y轴的夹角是并延长交双曲线于点B，将线段绕B顺时针旋转得到线段，点C在双曲线上运动，则的面积是（

）

A． B．12 C． D．2410．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，点P在函数（，，k为常数）的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在（，，k为常数）的图象上运动时，下列结论不正确的是（）A．与的面积相等 B．四边形的面积不会发生变化C．与始终相等 D．二、填空题11．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，连接，若，则.

12．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，点A在函数（）的图象上，，过点A作轴于点B，则的周长为．

13．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）如图，在中，，顶点A、C在反比例函数的图象上．且，，边在直线上，则k的值为．

14．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴的正半轴上，点A是第一象限内一点，反比例函数的图象经过点A和边的中点D，若的面积为3，则k的值为．

15．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是．

16．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为．

17．（2023·湖北随州·统考模拟预测）如图，C，D两点在双曲线（）上，A、B两点在双曲线（，）上，若轴，且，则三角形的面积．

18．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，是等边三角形，点，在反比例函数的图象上轴于点．若，则的值为．三、解答题19．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，点、，将向右平移到的位置，点、的对应点分别是、，函数的图象经过点和的中点，求的值．

20．（2023·河南南阳·统考模拟预测）如图，A、B两点的坐标分别为，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点C作，垂足为D，反比例函数的图象经过点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点P在反比例函数的图象上，当的面积为6时，求点P的坐标．21．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知反比例函数(m为常数)的图象在第一、三象限．（1）求的取值范围；（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，点，的坐标分别为．

①求出该反比例函数的解析式；②若点在轴上，当时，求点的坐标．22．（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，、两点的坐标分别为，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．（1）直接写出点的坐标，并求反比例函数的解析式；（2）点在反比例函数的图象上，当的面积为9时，求点的坐标．23．（2023·山东·九年级专题练习）已知点A为函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．（1）如图1，若点A的坐标为，求点C的坐标；（2）如图2，过点A作，垂足为D，求四边形的面积．24．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于点，已知为线段的中点．（1）求的值；（2）若点是反比例函数的图象上一个动点，轴于点设四边形的面积为，探究随的变化情况．参考答案1．C【分析】由题意设，则，，，，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意设，则，，∴，，∴，故选：C．【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．2．B【分析】根据点在双曲线上，点在双曲线上，设，；根据四边形为矩形，则，得，求得，根据，求得，根据矩形的面积等于，即可．【详解】∵点在双曲线上，点在双曲线上，∴设，，∴，，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴矩形的面积为：．故选：B．【点拨】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握矩形的性质，反比例函数的图象和性质．3．B【分析】设法建立B、C之间的坐标联系．根据已知条件可推证B、C的纵坐标相同，B点横坐标是C点横坐标的3倍．再结合反比例函数解析式，即可求解．【详解】由知，是平行四边形．∴B、C两点的纵坐标相同．又平行四边形的对边相等，，且，因此，．与为全等的等腰三角形．作，，垂足为M、N．（如下图）

则．设，，则C点的坐标为，B点的坐标为．由在函数上，则，即；由在函数上，则，即；∴．故选：B．【点拨】本题考查了平行四边形、等腰三角形的性质，努力寻找B、C两点坐标之间的联系是解本题的关键．4．D【分析】设点B的坐标为，求得点P的坐标为，根据旋转的性质求得点的坐标为，据此求解即可．【详解】解：∵点B在反比例函数的图像上，∴设点B的坐标为，∵点P是的中点，∴点P的坐标为，过点P和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，

由旋转的性质知，，∵，∴，∴，∴，，∴点的坐标为，∵函数经过点，∴，故选：D．【点拨】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化-旋转，涉及到三角形全等等．5．C【分析】过点B作轴于点D，设，则根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，再由三角形面积求解即可．【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示．∵设，则，∵，∴，，∴即，则，∴，，故选：C．【点拨】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．6．D【分析】连接交于，由四边形是菱形，得到，，，由、横坐标分别为，，得到，，求出，由菱形的面积公式求出，得到，设，则，得到，求出，即可求出的值．【详解】解：连接交于，四边形是菱形，，，，轴，轴，、横坐标分别为，，，，，，菱形的面积，，，设，则，、在反比例函数图象上，，，，．故选：D．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，关键是由菱形的性质求出，的长．7．C【分析】过点C作轴于点F，过点E作轴于点G，证明为的中位线，设，则，设，根据图象得到，，则，解得，由以及的面积为2，得到，由及得，，则，即，则．【详解】解：过点C作轴于点F，过点E作轴于点G，

∴，∵E恰好为的中点，∴为的中位线，设，则，设，∵C、E是反比例函数的图象上的点，且反比例函数的图象的一支在第一象限，∴，，即，解得，∵，的面积为2，∴，∵，，∴，，∴，即，∴，故选：C【点拨】此题考查了反比例函数图象和性质、三角形中位线定理、求反比例函数的比例系数，数形结合和准确计算是解题的关键．8．A【分析】将绕点顺时针旋转到，连接、，作轴于，轴于，通过证得，得到，证得，求得，设点的坐标为，根据，得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得的坐标．【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接、，作轴于，轴于，

点的坐标为，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，，点为反比例函数图象上的点，，，设点的坐标为，，，解得（负数舍去），，故选A．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．9．B【分析】证明是等边三角形，，可得，，，，，过点A作轴，垂足为E，证明，，设，而在上，可得，求解，结合．【详解】解：∵双曲线关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴．连接，如图所示．

∵将线段绕B顺时针旋转得到线段，∴是等边三角形，，∴，，∴，∴，，过点A作轴，垂足为E，∵，∴，∴，，设，而在上，∴，则，∵，∴，∴；故选B．【点拨】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的判定与性质、反比例函数的性质、旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键．10．C【分析】由反比例函数k的几何意义可判断出各个结论的正误．【详解】解：A．∵点A，B在函数的图象上，∴，故选项A正确，不符合题意；B．∵矩形、、的面积为定值，则四边形的面积不会发生变化，故此选项正确，不符合题意．C．设点，则，，∴，，∴要使，则，即，∴，当时，四边形是正方形，∵四边形为矩形，不一定是正方形，∴与不一定相等，只有当四边形是正方形时，满足，故此选项不正确，符合题意；D．∵A、B在上，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，故此选项正确，不符合题意．故选：C．【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．11．【分析】连接，作轴于，轴于，由是边的中点，，即可求得，设，，则，，根据，即可得到，解得．【详解】解：连接，作轴于，轴于，

反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，，，，设，，则，，，，，，，，解得，故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确是解题的关键．12．12【分析】设点A的坐标为，根据勾股定理建立方程，求出x的值即可．【详解】解：设点A的坐标为，∴∵，轴，∴∴，解得或（正值舍去），经检验符合题意，当时，，的周长为；当时，，的周长为，故答案为：12．【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解分式方程，反比例函数的性质，正确掌握勾股定理是解题的关键．13．6【分析】设，则，，将两点的坐标代入中，即可解得的值．【详解】解：根据题意，设，，，，，在函数的图象上，，解得．，故答案为：6．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，设出函数图象外的坐标，从而表示出函数图象上的点的坐标，再将其代入函数表达式进行求解，这是一种很常见的方法．14．8【分析】先求出的面积，再根据的面积为的面积的一半即可求出．【详解】解：设点A的坐标为，，则点B的坐标为，∵点D是边的中点，∴与的面积相等，且，∵点C的坐标为，∴点D的坐标为，∵点D在反比例函数的图象上，∴，解得．∵的面积为3，即的面积为3，∴，即，∴．故答案为：8．【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，根据点D是边的中点，得到面积相等得到与的面积相等是解题的关键．15．6【分析】设P点的坐标为，根据矩形性质求得的坐标，根据反比例函数的几何意义可得，根据，即可求解．【详解】解：四边形是矩形，轴，轴，∵在反比例函数图象上，，设P点的坐标为，而点P在反比例函数图像上，则，又∵矩形对角线的中点为P，，，，，，故答案为：6．【点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键．16．【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为，得的面积为，所以，即可求出的值【详解】解：设，是矩形，且点为的中点，点纵坐标为，代入反比例函数解析式得，，点横坐标为，点横坐标为，代入反比例函数解析式，得，，，的面积为，的面积为，，，解得．故答案为：．【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合应用，根据中点坐标公式表示各点坐标是解决本题的关键．17．【分析】如图，过点C作轴于点F，作轴于点G，过点D作轴于点E，则四边形是矩形，设点C和点D的坐标，得到点A和点B的坐标，得到和的长，然后由列出方程，化简得到a与b的关系，然后用切割法求得五边形的面积，由反比例系数k的几何意义求得、、矩形的面积，从而得到梯形的面积和的面积相等，最后求得的面积．【详解】解：如图，过点C作轴于点F，过点D作轴于点E，

设，，∴点，，∴，，，，，∵，∴，化简得，，∴，∵点C和点D在反比例函数上，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，切割法求多边形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．18．【分析】设点，过点作于点，表示和的坐标，列方程可得的值，代入可得的值．【详解】解：如图，设点，过点作于点，则，，则．点，在同一个反比例函数的图象上，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，能够利用待定系数法求解析式是解题的必要方法，根据等边三角形的性质确定各点的坐标是解题的关键．19．【分析】设，则，再求出，，由F是的中点，得到，再由函数的图象经过点和点，得到，由此即可求出答案．【详解】解：由平移的性质可知，设，则，∵，，∴轴，，∴，∴．∵F是的中点，∴，∵函数的图象经过点和点，∴，解得，【点拨】本题主要考查了求反比例函数解析式，平移的性质，熟知正确用表示出点和点的坐标是解题的关键．20．(1)点C的坐标为；(2)点P的坐标为或【分析】（1）证明，推出，得到点C的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设点P的坐标为，由的面积为6，得到，求出m即可．【详解】（1）解：∵A、B两点的坐标分别为，∴，由旋转得：∴，∵，∴，∴，∴，∴点C的坐标为，∵点C在反比例函数y=上，∴∴反比例函数的解析式为；（2）解：点P在反比例函数上，可设点P的坐标为，∵轴，，又的面积为6，∴∴∴∴当时，=；当时，=－1∴点P的坐标为为或．【点拨】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，利用反比例函数计算图形的面积，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．21．(1)；(2)①反比例函数的表达式为；②点P的坐标为或．【分析】（1）根据反比函数的性质，可得，即可求解；（2）①根据平行四边形的性质，可得点D的坐标为，然后代入反比例函数解析式，即可求解；②设点P的坐标为，由三角形面积公式得到，据此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数(m为常数)的图象在第一、三象限，∴，解得：；（2）解：①∵点A，B的坐标分别为，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，∵且点A、B位于y轴、x轴上，∴，∴点D的坐标为，将点代入反比例函数，得：，解得：，∴反比例函数的表达式为；②设点P的坐标为，则，∵，∴，即，解得或，∴点P的坐标为或．【点拨】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比函数，当时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．22．(1)，；(2)或．【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明，进而可推算出点的坐标，再根据待定系数法即可求出反比例函数解析式；（2）设点的坐标