鄂教版九年级数学上册第四单元测试卷

鄂教版九年级数学上册第四单元测试卷班级：________姓名：________分数：________考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（每题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.正方形D.正五边形2.将点A(2,-3)绕原点O旋转180°得到点A'，则点A'的坐标是（）A.(-2,3)B.(2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)3.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数是（）A.40°B.50°C.60°D.90°5.下列说法正确的是（）A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦C.圆是轴对称图形，有无数条对称轴D.三角形的外心是三角形三条高的交点6.如图，⊙O的弦AB=8，半径OC⊥AB于点D，OD=3，则⊙O的半径为（）A.4B.5C.6D.87.一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积是（）A.6πB.12πC.18πD.36π8.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°，PA=2，则⊙O的半径为（）A.1B.√3C.2D.2√39.如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠BOC=100°，则∠BAC的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.100°10.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点A、B、D在同一条直线上，AC=2，∠BAC=60°，则BD的长度是（）A.2√2-2B.2√3-2C.4-2√2D.4-2√3二、填空题（每题3分，共15分）11.若点P(m,1)在⊙O：x²+y²=2上，则m的值为________。12.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BCD=30°，则∠ABD的度数是________。13.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积为________。14.如图，将△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，若OA=3，OB=2，则△AOC的面积为________。15.如图，⊙O的半径为2，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是⊙O上一动点，且点C不与A、B重合，则△ABC面积的最大值为________。三、解答题（共75分）16.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,1)、C(2,3)。（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；（2）将△ABC关于原点O中心对称得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂，并写出点B₂的坐标。________________________________________________________________________________________________________________________________17.（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E。求证：DE是⊙O的切线。________________________________________________________________________________________________________________________________18.（9分）如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求CD的长。________________________________________________________________________________________________________________________________19.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E。（1）求证：BE=CE；（2）若AC=6，BC=8，求DE的长。________________________________________________________________________________________________________________________________20.（10分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为4，点C是弧AB上一点，连接AC、BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，使点A'落在OA上，点B'落在OB上。（1）求证：△A'OC是等腰三角形；（2）求点C到OA的距离。________________________________________________________________________________________________________________________________21.（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC切⊙O于点C，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D。（1）求证：∠PCD=∠A；（2）若⊙O的半径为3，PD=4，求PC的长。________________________________________________________________________________________________________________________________22.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F。（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AB=10，AF=2，求DF的长。________________________________________________________________________________________________________________________________23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，点A(4,0)，点B在⊙O上，连接AB，将AB绕点A顺时针旋转90°得到AC，连接OC。（1）当点B在x轴正半轴上时，求点C的坐标；（2）当点B在⊙O上运动时，求OC的最小值。________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.B5.C6.B7.A8.B9.B10.D二、填空题11.±112.60°13.15π14.(3√3)/215.2√2+2三、解答题16.（1）图略，点A₁的坐标为(2,-1)；（2）图略，点B₂的坐标为(-3,-1)。17.证明：连接OD。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AE。∵DE⊥AE，∴DE⊥OD。又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。18.解：连接AD、BD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°。∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴弧AD=弧BD，∴AD=BD。在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，∴BC=√(AB²-AC²)=8。∵四边形ACBD内接于⊙O，∴∠CAD=∠CBD。在△ACD和△BCD中，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∴△ACD∽△BCD，∴AC/BC=AD/BD=CD/CD=1？（此处修正：应为过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵CD平分∠ACB，∴DE=DF。∵弧AD=弧BD，∴AD=BD，∴Rt△ADE≌Rt△BDF，∴AE=BF。设AE=BF=x，则CE=6-x，CF=8-x，∵CE=CF（角平分线性质+矩形DECF），∴6-x=8-x？不对，重新来：∵∠ACD=45°，DE⊥AC，∴CE=DE。同理CF=DF，∴DE=DF=CE=CF。设DE=CE=CF=DF=y，则AE=AC-CE=6-y，BF=BC-CF=8-y。∵AD²=AE²+DE²=(6-y)²+y²，BD²=BF²+DF²=(8-y)²+y²，又AD=BD，∴(6-y)²+y²=(8-y)²+y²，解得y=7。在Rt△CDE中，CD=√(CE²+DE²)=√(7²+7²)=7√2。19.（1）证明：连接OD、CD。∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∵DE是⊙O的切线，∴DE=CE（切线长定理），∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°。∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，又∠A+∠ACD=90°，∠CDE+∠ACD=90°，∴∠A=∠CDE。∵∠B+∠A=90°，∠BDE+∠CDE=90°，∴∠B=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=CE。（2）解：在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=10。∵CE=BE=4，在Rt△CDE中，CD=AC·BC/AB=24/5，∴DE=√(CE²-CD²/4)？不对，用勾股定理：∵DE=CE=4，CD=24/5，在Rt△CDE中，DE²+CD²=CE²？不对，重新：∵E是BC中点，∴CE=4，在Rt△CDE中，DE=√(CE²-(CD/2)²)？不，直接用面积：S△CDE=S△BDE，S△ABC=12，S△ACD=(AC·CD)/2=(6·24/5)/2=72/5，S△BCD=12-72/5=-12/5？错，E是BC中点，∴S△CDE=1/2S△BCD，S△BCD=(BC·CD)/2？不，S△ABC=(6·8)/2=24，S△ACD=(AC·CD)/2=(6·24/5)/2=72/5，S△BCD=24-72/5=48/5，∴S△CDE=24/5。又S△CDE=(CD·DE)/2，∴(24/5·DE)/2=24/5，解得DE=2。20.（1）证明：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，∴CA=CA'，∠ACA'=∠BCB'。∵∠AOB=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°。∵∠ACA'=∠BCB'，∠ACB=∠A'CB'=90°（扇形圆心角90°，AB为弦），∴∠A'CO=∠B'CO=45°。∵OA=OB=4，CA=CA'，∠OAC=45°，∠A'CO=45°，∴∠OA'C=∠OAC=45°，∴OA'=OC，∴△A'OC是等腰三角形。（2）解：设点C到OA的距离为h，OA'=OC=x，则A'C=AC=√(OA²+OC²-2·OA·OC·cos∠AOC)=√(16+x²-8x·cos∠AOC)，又A'C=AC，且OA'=x，在Rt△A'OC中，∠A'OC=90°？不对，过C作CD⊥OA于D，则CD=h，OD=√(OC²-h²)，A'D=√(A'C²-h²)。∵OA'+A'D=OA=4，且OA'=OC，A'C=AC=√(OA²+OC²-2·OA·OC·cos∠AOC)，又∠AOC+∠BOC=90°，∠A'CO=∠B'CO=45°，∴∠AOC=∠A'CO=45°，∴OC=OA'，在Rt△OCD中，∠AOC=45°，∴h=OC·sin45°，又OC=OA'，OA'+A'D=4，A'D=AD=√(AC²-h²)，AC=√(OA²+OC²-2·OA·OC·cos45°)=√(16+OC²-8OC·√2/2)，解得h=2√2-2？或用面积法，S△AOC+S△BOC=S△AOB=8，设OC=x，∠AOC=α，∠BOC=90°-α，则S△AOC=(1/2)·OA·OC·sinα=2xsinα，S△BOC=2xsin(90°-α)=2xcosα，∴2x(sinα+cosα)=8，x(sinα+cosα)=4。又∵△A'OC是等腰三角形，OA'=OC=x，A'C=AC，∠ACA'=∠BCB'，且A'在OA上，B'在OB上，∴A'C=AC，OA'=OC，∴△AOC≌△A'OC，∴∠AOC=∠A'OC，又∠A'OC+∠B'OC=90°，∴∠AOC=45°，∴x·√2=4，x=2√2，∴h=OC·sin45°=2√2·√2/2=2。21.（1）证明：连接OC。∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCD+∠OCD=90°。∵CD⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，∴∠PCD=∠COD。∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，又∠COD=2∠A，∴∠PCD=∠A。（2）解：设PC=x，在Rt△OCP中，OC=3，OP=OD+PD，设OD=y，则OP=y+4，OC²+PC²=OP²，即9+x²=(y+4)²。又∵∠PCD=∠A，∠PDC=∠ADC=90°，∴△PCD∽△CAD，∴PC/AC=PD/CD=CD/AD。∵CD²=OC²-OD²=9-y²，AD=OA+OD=3+y，∴x/AC=4/√(9-y²)=√(9-y²)/(3+y)，由4/√(9-y²)=√(9-y²)/(3+y)，得(9-y²)=4(3+y)，y²+4y+3=0，解得y=-1或y=-3（舍去），∴OP=-1+4=3，在Rt△OCP中，PC=√(OP²-OC²)=√(9-9)=0？不对，修正：∠PCD=∠A，∠P=∠P，∴△PCD∽△PAC，∴PC/PA=PD/PC，∴PC²=PD·PA。设PA=AB+BP=6+BP，PD=BP+OD，不对，用切割线定理：PC²=PB·PA。设PB=x，则PA=6+x，PC²=x(x+6)。在Rt△PCD中，CD²=PC²-PD²=x(x+6)-16。在Rt△OCD中，CD²=OC²-OD²=9-(3-BP)²=9-(3-x)²。∴x(x+6)-16=9-(3-x)²，解得x=2，∴PC²=2×8=16，PC=4。22.（1）证明：连接OD、AD。∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∵AB=AC，∴D是BC中点。∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC。∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，又OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线。（2）解：连接DE。∵AB=AC=10，AF=2，∴FC=8。∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠EDF=∠B。∵∠B=∠C，∴∠EDF=∠C，又∠DFE=∠DFC=90°，∴△DEF∽△CDF，∴DF/FC=EF/DF，∴DF²=EF·FC。设EF=x，则AE=AF+EF=2+x，EC=FC-EF=8-x。∵AE·AC=AD·AB？不对，用切割线定理：DF²=EF·FC，又AD=√(AB²-BD²)，BD=√(AB²-AD²)，在Rt△ADF中，AD²=AF²+DF²，在Rt△CDF中，CD²=FC²+DF²，又AD=CD，∴AF²+DF²=FC²+DF²，不对，AD≠CD，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=√(AB²-BD²)，CD=BD。∵OD∥AC，OD=5，AF=2，∴EF=OD-AF=3？不对，DF²=EF·FC，设DF=y，EF=x，则y²=8x。∵AE=2+x