广东省光大联考2026届普通高中毕业班第二次调研考试数学

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广东省2026届普通高中毕业班第二次调研考试

数学

2025.12

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必在答题卡写上考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；

如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以

上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设m∈R,复平面内表示复数z=2m+(m-3)i的点在直线x+y=0上，则z=()

A.2+2iB.2-2iC.-2-2iD.-2+2i

2.已知集合A={xkx²<2x},B={x1-1≤x≤1}、则AUB=()

A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|I≤x<2}D.{x|-1≤x<2}

3.“a>b”是“a³>b³”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去.显然公共汽车的速度比自

行车快，但乘公共汽车有一个等候时间(候车时间假设是固定不变的).在任何情况下，他总是花时间

最少的最佳方案.下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间.则他离住地8千米的地

方，需要的时间为()

目的地目的地离住地的距离最佳方案所需时间

甲地2千米12分钟

乙地4千米18分钟

丙地6千米22分钟

A.24分钟B.26分钟C.28分钟D.30分钟

5.已知向量a在向量b上的投影向量为·,b|=2,则a·b=()

A.-3B.C.D.3

数学第1页(共4页)

6.已知{an}是首项和公差均为m的等差数列，{b}是首项和公比均为m的等比数列，m∈N.若{an}的

前5项和与{bₙ}的前4项和都等于S,则S=()

A.30B.32C.42D.46

7.已知f(x)是R上的奇函数，f(x-1)-f(3-x)=0,若f(x)在[0,1]上单调递增，且f(1)=2,则f(x)

在R上的最小值是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

8.单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为()

A.42B.49C.56D.64

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.两组数据x₁,x₂,…,x,和y₁,y₂,…,yn,它们的平均数分别为x,y,方差分别为S²,s²,则()

A.x₁+y₁,x₂+y₂,…,xn+y,的平均数为x+yB.x₁+y,x₂+y₂,…,x+y的方差为S²+s²

C.若x₁<y1,x₂<y₂,…,x,<yn,则x<yD.若x₁<y,x₂<y₂,…,xn<y,则S²<S²

10.如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，23=AC=AA₁=2,AB⊥AC,点P,Q,M,N分别是BB₁,CC₁,

AA,BC的中点，则()

A.P,Q,M,N四点共面

B.线段BC₁为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的直径

C.三棱锥P-A₁QN的体积为

D.异面直线MN与AC所成角为

11.双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁,F₂,过C上一点P作切线与x轴交于点Q,直线PQ与C

的两条渐近线分别交于点A,B,△PF₁F₂满足sin2∠F₁F₂P+sin2∠F₁PF₂=sin2∠PF₁F₂,则()

A.|PF|·QF₂|=|PF₂|·QF₁|B.满足条件的点P有2个

C.|PF|·|PF₂|≥|OA|·|OB|D.点P为△OAB外接圆圆心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若(1+x)"的展开式中，x³的系数等于x的系数的5倍，则n=_.

13.已知圆x²+y²=4与圆(x-2)²+(y+2)²=20交于A,B两点，则公共弦长A|B|=.

14.已知函数f(x)=ax³-3x,若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤2成立，则实数a的取值范围是

.

数学第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数f(x)=sin2wx+2√3cos²wx-√3(w>0)的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的解析式；

(2)把f(x)的图象向右平移·个单位长度，得到函数g(x),求使g(x)≥-1成立的x的取值集合.

16.(15分)

某地举行足球赛，共有16支球队参加：赛程先进行小组单循环赛(小组内每两支球队打一场比赛，

前两名晋级下一轮);然后进行淘汰赛(赢球晋练下一轮，输球被淘汰),对阵图如下.现16支球队分为A,

B,C,D四组，每组4支球队.已知甲、乙、丙、4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概

率分别为.假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在癌一轮每场比赛胜其他球队的概率不变.

(1)求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；

(2)已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对B、C、D组每支球队的胜率均为

乙队对B、C、D组每支球队的胜率均为.求甲队夺冠的概率.

A1—D2B2—C1A2D1B1—C2

??

?

冠军

注：Al-D2表示A小组第1名与D小组第2名对阵.

数学第3页(共4页)

17.(15分)

如图，在三棱台A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC,AB=AC=3,AA₁=2A₁B₁=2,点A在底面的投影

是△ABC的重心G.

(1)证明：平面B₁BCC₁⊥平面ABC;

(2)已知空间直角坐标系中的方程：(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²,它表示球心为(a,b,c),半径

为R的球面.S,T是棱AB上两点，AS=BT=1,P是三棱台A₁B₁C₁-ABC表面上一点，且PS=√2PT.求

满足条件的P点轨迹的长度.

C

18.(17分)

已知函数,a∈R.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(0,f(0))多的切线方程；

(2)若,证明：函数f(x)有3个零点；

(3)当a>1时，对任意的xn<0(n∈N),满足,证明：f(x₁)+f(x₂)+…+f(xn)

<(3n-1)(a-1).

19.(17分)

已知椭圆T0为坐标原点，点M,N分别在直线y=2x与y=-2x上，P是厂上一点，

M,N,O,P四点构成平行四边形MONP.

(1)证明|MN|是定值，并求该值；

(2)求平行四边形MONP面积的最大值；

(3)一族直线l:y=-2x+t,(i∈N)与厂交于点A,,B,证明每条弦A;B被定直线平分，并求该直线

的方程.

数学第4页(共4页)

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数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

题号12345678

选项BDCBAACB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

选项ACBCACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5月、共15分.

12.713.2√214.44]

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)

…………2分

由图知，f(x)过点,即,……3分

由图得，解得w=1.………………5分

.…………………6分

(2)由题得，

,………………8分

由g(x)≥-1,得：则,……………9分

……………11分

数学参考答案第1页(共8页)

解得t,k∈Z,…………12分

因此，使成立的的取值集合…………13分

g(x)≥-1x(ke∈Z)

16.【解析】(1)设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件A₁,甲队胜丙队为事件A₂,甲队胜

丁队为事件A₃,

由题得，·……………1分

设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件A,则

A=A₁A₂A₃+A₁A₂A₃+A₁A₂A₃+A₁A₂A₃·2分

由题可得，P(4)=P(A₁A₂A₃)+P(4₁A₂A₃)+P(A₁A₂A₃)+PL₁A₂A₃)

=P(4)P(A)P(4)+P(A)P(A)P(A₃)+P(A)P(A)P(4)+P(A)P(A)P(4₃)

·………………6分

因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为.…………………7分

(2)由题得，甲队进入决赛的概率为;……8分

乙队进入决赛的概率为………10分

则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为……12分

乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为……………14分

因此，甲队夺冠的概率.………………15分

17.【解析】(1)连接AG并延长交BC于点M,连接A₁G,则M为BC中点，A₁G⊥平

面ABC1分

取B₁C₁的中点为N,连接A₁N,MN,则A₁N//AM2分

由题得，,所以A₁N=GM3分

所以四边形A₁NMG是平行四边形，则MN//A₁G4分

所以MN⊥平面ABC5分

因为MNc平面B₁BCC₁,所以平面B₁BCC₁⊥平面ABC6分

数学参考答案第2页(共8页)

(2)如图，建立空间直角坐标系A-xyz,则S(1,0,0),T(2,0,0),设分

由PS=√2PT,得(x-1)²+y²+z²=2[(x-2)²+y²+z²],整理得

(x-3)²+y²+z²=2,8分

所以P点轨迹表示球心在B(3,0,0),半径R=√2的球面.……………9分

又P是棱台表面上的点，所以P点轨迹是球面与棱台表面的交线.…10分

由题得,AA=2,则MN=A₁G=√2,所以

BB₁=√(√2)²+(√2²=2.…………11分

又AB=3,BC=3√2,则R<AB,R<BC,R<BB₁.

所以球面只与棱台侧面B₁BCC₁,侧面B₁BAA₁,底面ABC相交.……12分

而计算得……14分

因此所求交线长度为.……………15分

18.【解析】(1)当a=1时，,则

f'(x)=(x-2)eˣ-x+2,1分

所以f(0)=0,f'(0)=0.

因此曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=0.…………分

(2)f(x)的定义域是x∈R,f'(x)=e*(x-2)-ax+2a=(eˣ-a)(x-2),4分

若,令f'(x)=0,得x=Ina或x=2,且Ina<2.…………5分

当x∈(-∞0,Ina)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(lna,2)时，f'(x)<0,f(x)单调

递减；

当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；…………6分

数学参考答案第3页(共8页)

所以f(x)在x=Ina处取得极大值

在x=2处取得极小值f(2)=-e²+5a7分

因为,所,又

所以3x₁∈(2,3),使得f(x₁)=0,即f(x)在(2,+∞)上有1个零点；…8分

因为,所以0<Ina<2-In5,则6-lna>0,所以

所以3x₂∈(Ina,2),使得f(x₂)=0,即f(x)在(lna,2)上有1个零点；………………9分

所以3x₃∈(-∞,Ina),使得f(x₃)=0,即f(x)在(-∞,Ina)上有1个零点.

综上，当,f(x)有3个零点.…………………10分

(3)f(x)在(0,f(0))处的切线方程为x=(a-1)(2x+3),设

g(x)=(a-1)(2x+3),11分

下面证明：当x<0时，f(x)<g(x).

设h(x)=g(x)-f(x),则h(x)=g'(x)-f'(x)=-(x-2)(e-a)+2a-2,

设t(x)=h(x),则t'(x)=-(x-1)e×+a,显然a>1,x<0时，t'(x)>0,所以t(x)递增，

则z(x)<t(0)=0,即h(x)<0,所以h(x)递减，则(x)>h(0)=0,

从而g(x)-f(x)>0,即f(x)<g(x)15分

所以f(x₁)<g(x₁),f(x₂)<g(x₂),…,f(x,)<g(x,),

得f(x₁)+f(x₂)+…+f(x。)<(a-1)(2x₁+3)+(a-1)(2x₂+3)+…+(a-1)(2xn+3)

=(a-1[2(x₁+x₂+…+xn)+3n]=(3n-1)(a-1).

即f(x₁)+f(x₂)+…+f(x,)<(3n-1)(a-1)·17分

19.【解析】(1)由题，设M(m,2m),N(n,-2n),P(x,y),又0(0,0),…………1分

因为四边形MONP是平行四边形，则……2分

数学参考答案第4页(共8页)

即|MN|是定值，且该定值为2.…………5分

(2)设直线y=2x的倾斜角为θ,则tanθ=2,.……7分

由(1)知，在△OMN中，由余弦定理得，4=|OMI²+|ON²-2|OM|·|ON|cos20,

所以4≥2(1-cos20)|OM|·|ON|,即,当O|M|=|ON|时取等号.

所以当时，(OM|·|ON)ax=5.……………9分

因此平行四边形MONP面积的最大值为

……………………11分

(3)设A,(x₁,y;),B(x',y'),联立,消元y整理得

20x²-4t,x+t²-16=0,12分

,从而A,B,的中点为

…………13分

任取不同于A,B的弦A,B,(i≠j),同理可得A,B的卵点

,……………14分

则直线M;M,的斜率为

所以直线M;M,的方程为,整理得y=8x.·………16分

从而可知该直线与t,无关，即任意弦A,B的中点均在直线y=8x上，

所以每条弦A₁B,被定直线y=8x平分.…………………17分

数学参考答案第5页(共8页)

【选填解析】

1、【解析】B;由题得，2m+m-3=0,解得m=1,则z=2-2i,故选B.

2、【解析】D;由x²<2x,得0<x<2,则A={x|0<x<2};由y=sinx,得

-1≤y≤1,则B={y|-1≤y≤1},所以AUB={x|-1≤x<2},故选D.

3、【解析】C;因为y=x³是R上的增函数，故选C.

4、【解析】B;由22-18=4,6-4=2,则4÷2=2,结合到甲地需要12分钟，得公共

汽车每行驶1千米需要2分钟.所以4×2=8,18-8=10,即候车时间为10分钟.若到

甲地乘公共汽车，则需要时间为10+2×2=14分钟，大于12分钟，则到甲地为骑自行

车，骑自行车每公里需要6分钟.所以到8千米的地方，最佳方案是乘公共汽车，需要时

间为10+2×8=26分钟.故选B.

5、【解析】A;故选A.

6、【解析】A;由题得，S=5a₃=15m,

所以m(1+m²)(1+m)=15m,即(1+m²)(1+m)=15=5×3,则或

解得m=2,所以S=15×2=30,故选A.

7、【解析】C;由f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x);由f(x-1)-f(3-x)=0,则f(x)

的图象关于x=1对称，即f(2-x)=f(x),所以f(x+4)=f(x).因为f(x)在[0,1]单调

递增，则f(x)在[-1,0]单调递增，在[1,2]单调递减，从而在[-2,-1]单调递减.所以

[f(x)]min=f(-1)=-f(1)=-2,故选C.

8、【解析】B;设P(cosθ,,sine,)(i=1,2,3…,7),则

pp²=(cos0,-cose,)²+(sinθ,-sinθ,)²=2-2(cose,cos0,+sinθ,sinθ,),所以

数学参考答案第6页(共8页)

当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有

则因此所求的最大值为49.故选B.

9、【解析】AC;根据平均数与方差的性质，易知A、C正确，B、D错误，故选AC.

10、【解析】BC;由于PM与QN是异面直线，则P,M,Q,N四点不可能共面，A错误；

三棱柱ABC-AB₁C₁为正方体一半，侧面BCC₁B₁为正方体对角面，其对角线BC₁为正方

体外接球直径，则B正确；

,则C正确；异面直线MN与AC所成