2025年下学期高一数学基础巩固与提高试题

2025年下学期高一数学基础巩固与提高试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则实数a的值为（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函数f(x)=√(x-1)+log₂(3-x)的定义域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.f(x)=x³B.f(x)=sinxC.f(x)=x+1D.f(x)=lnx已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，则m的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，则cosα的值为（）A.4/5B.-4/5C.3/5D.-3/5函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知直线l₁:ax+2y+6=0与直线l₂:x+(a-1)y+a²-1=0平行，则实数a的值为（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2圆x²+y²-4x+6y-12=0的圆心坐标和半径分别是（）A.(2,-3),5B.(-2,3),5C.(2,-3),√13D.(-2,3),√13已知等比数列{aₙ}中，a₁=1，a₄=8，则该数列的前5项和S₅=（）A.15B.31C.32D.63已知函数f(x)=x³-3x+1，则函数f(x)的极大值为（）A.3B.1C.-1D.-3已知直线l过点P(1,2)，且与圆x²+y²=5相切，则直线l的方程是（）A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+2y-5=0或2x+y-4=0D.x-2y+3=0或2x-y=0已知函数f(x)=x²-2x+3，x∈[0,3]，则函数f(x)的值域是（）A.[2,6]B.[3,6]C.[2,3]D.[1,6]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x²-1，则f(g(2))=______。已知tanα=2，则sin2α=______。已知等差数列{aₙ}中，a₃=5，a₅=9，则该数列的前n项和Sₙ=______。已知点A(1,2)，B(3,4)，则线段AB的垂直平分线方程是______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知集合A={x|x²-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求A∩B和A∪B。（本小题满分12分）已知函数f(x)=x²-2x+3，（1）求函数f(x)的对称轴方程和顶点坐标；（2）求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，（1）求向量a与b的夹角；（2）若向量c=2a-b，求|c|。（本小题满分12分）已知函数f(x)=sinx+cosx，（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小题满分12分）已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，（1）求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；（2）求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程。（本小题满分12分）已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且满足Sₙ=2aₙ-1，（1）求数列{aₙ}的通项公式；（2）设bₙ=n·aₙ，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。四、附加题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。选做其中一题，若两题都做，按第一题计分）已知函数f(x)=lnx-ax²+(2-a)x，（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。已知圆C:x²+y²-2x-4y+4=0，直线l:y=kx+1，（1）求证：直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）若直线l与圆C交于A、B两点，且|AB|=2√2，求k的值。参考答案与解析一、选择题C解析：A={1,2}，B={x|(x-1)(x-(a-1))=0}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以a-1=1或a-1=2，即a=2或a=3。A解析：要使函数有意义，需满足x-1≥0且3-x>0，解得1≤x<3，所以定义域为[1,3)。A解析：f(x)=x³是奇函数，且在R上单调递增；f(x)=sinx是奇函数，但不是增函数；f(x)=x+1是非奇非偶函数；f(x)=lnx的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数。A解析：因为a⊥b，所以a·b=1×m+2×1=m+2=0，解得m=-2。B解析：因为α∈(π/2,π)，所以cosα<0，又sin²α+cos²α=1，所以cosα=-√(1-sin²α)=-4/5。B解析：T=2π/2=π。A解析：由题意得a(a-1)-2×1=0，解得a=-1或a=2。当a=2时，两直线重合，所以a=-1。A解析：将圆的方程化为标准方程：(x-2)²+(y+3)²=25，所以圆心坐标为(2,-3)，半径为5。B解析：设公比为q，则a₄=a₁q³=q³=8，解得q=2，所以S₅=1×(1-2⁵)/(1-2)=31。A解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，得x=±1。当x<-1时，f'(x)>0；当-1<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。所以函数在x=-1处取得极大值，f(-1)=(-1)³-3×(-1)+1=3。C解析：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时圆心到直线的距离为1，不等于半径√5，所以不相切；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，由圆心到直线的距离等于半径得|k×0-0+2-k|/√(k²+1)=√5，解得k=-1/2或k=2，所以直线方程为x+2y-5=0或2x-y=0。A解析：函数f(x)=x²-2x+3的对称轴为x=1，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，所以最小值为f(1)=2，最大值为f(3)=6，所以值域为[2,6]。二、填空题7解析：g(2)=2²-1=3，f(g(2))=f(3)=2×3+1=7。4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan²α)=4/5。n²解析：设等差数列的公差为d，则a₅-a₃=2d=4，解得d=2，所以a₁=a₃-2d=5-4=1，所以Sₙ=n×1+n(n-1)/2×2=n²。x+y-5=0解析：线段AB的中点坐标为(2,3)，斜率为(4-2)/(3-1)=1，所以垂直平分线的斜率为-1，方程为y-3=-(x-2)，即x+y-5=0。三、解答题解：A={x|1<x<3}，B={x|x>3/2}，所以A∩B={x|3/2<x<3}，A∪B={x|x>1}。解：（1）f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2，所以对称轴方程为x=1，顶点坐标为(1,2)。（2）因为函数在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，所以最小值为f(1)=2，最大值为f(3)=6。解：（1）a·b=1×3+2×4=11，|a|=√(1²+2²)=√5，|b|=√(3²+4²)=5，所以cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5√5)=11√5/25，所以向量a与b的夹角为arccos(11√5/25)。（2）c=2a-b=2(1,2)-(3,4)=(-1,0)，所以|c|=√((-1)²+0²)=1。解：（1）f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，所以最小正周期T=2π。（2）因为x∈[0,π/2]，所以x+π/4∈[π/4,3π/4]，所以sin(x+π/4)∈[√2/2,1]，所以f(x)∈[1,√2]，即最大值为√2，最小值为1。解：（1）设直线l的方程为x/a+y/b=1(a>0,b>0)，因为直线l过点P(2,1)，所以2/a+1/b=1，所以S=1/2ab=1/2ab(2/a+1/b)=1/2(2b+a)≥1/2×2√(2ab)=√(2ab)，当且仅当2b=a时取等号，此时2/a+1/b=2/(2b)+1/b=2/b=1，解得b=2，a=4，所以S的最小值为4，此时直线l的方程为x/4+y/2=1，即x+2y-4=0。（2）设直线l的斜率为k(k<0)，则直线l的方程为y-1=k(x-2)，令y=0，得x=2-1/k，所以A(2-1/k,0)，令x=0，得y=1-2k，所以B(0,1-2k)，所以|PA|=√[(1/k)²+1]，|PB|=√[4+(2k)²]，所以|PA|·|PB|=√[(1/k²+1)(4+4k²)]=√[4(1/k²+1)(1+k²)]=2√[(1/k²+1)(1+k²)]=2√(2+k²+1/k²)≥2√(2+2)=4，当且仅当k²=1/k²，即k=-1时取等号，此时直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0。解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，解得a₁=1；当n≥2时，Sₙ-1=2aₙ-1-1，所以aₙ=Sₙ-Sₙ-1=2aₙ-2aₙ-1，即aₙ=2aₙ-1，所以数列{aₙ}是首项为1，公比为2的等比数列，所以aₙ=2ⁿ⁻¹。（2）bₙ=n·2ⁿ⁻¹，所以Tₙ=1×2⁰+2×2¹+3×2²+...+n×2ⁿ⁻¹，2Tₙ=1×2¹+2×2²+...+(n-1)×2ⁿ⁻¹+n×2ⁿ，两式相减得-Tₙ=1+2¹+2²+...+2ⁿ⁻¹-n×2ⁿ=2ⁿ-1-n×2ⁿ，所以Tₙ=(n-1)2ⁿ+1。四、附加题解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax²+(2-a)x+1)/x=-(2ax+1)(x-1)/x。当a≤0时，f'(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，令f'(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x>1时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减。（2）由（1）知，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)至多有一个零点；当a>0时，函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=ln1-a×1²+(2-a)×1=1-a，要使函数f(x)有两个零点，需满足f(1)=1-a>0，即a<1，又当x→0+时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→-∞，所以当0<a<1时，函数f(x)有两个零点。解：（1）圆C的标准方程为(x-1)²+(y-2)²=1，圆心坐标为(1,2)，半径为1，圆心到直线l的距离d=|k-2+1|/√(k²+1)=|k-1|/√(k²+1)，因为d=|k-1|/√(