一元二次不等式及其解法课件-高一上学期数学湘教版-1

一元二次不等式及其解法一许多实际问题都可以转化为不等式问题，例如：

问题如今，智慧农业深入民心，通过科学种植可以大幅提高农产品的产量和品质.实践证明，果树栽培过程中，如果栽种密度过大，果树之间的透气性就会收到影响，不能保证有足够的光照，水果的产量和品质都会收到影响.通过数据分析，在某果园种植面积不变的情况下，如果种植50棵果树，平均每棵树可以产苹果600个.如果种植密度增加，每多种一棵树，平均每棵树就会减少产果5个.如果使水果总产量不少于33000个，应该如何安排果树种植数量？一元二次不等式及其解法一

分析按照目前情况，果园水果产量为50×600=30000（个），所以需要增种果树才能增产.

设要增种x棵果树，增种后平均每棵树产果（600-5x）个，根据题意得（600-5x）（50+x）≥33000，整理得-5x2+350x-3000≥0，即x2-70x+600≤0.只要求得以上不等式的解集，就得到了问题的答案.一元二次不等式及其解法一我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．怎样求上面一元二次不等式的解集呢？从2.2节我们知道，一元二次方程与相应的二次函数有着密切的联系，一元二次方程的根就是对应二次函数的零点．那么，一元二次不等式和相应的二次函数是否也有类似的联系呢？一元二次不等式及其解法一解一元二次方程x2－70x+600=0，得两个实数根x1=10，x2=60．然后画出二次函数y=x2－70x+600的图象，如图2.3-1所示.一元二次不等式及其解法一观察图象可知，当x<10或x>60时，函数图象位于x轴上方，此时y>0，即x2－70x+600>0；当10<x<60时，函数图象位于x轴下方，此时y<0，即x2－70x+600<0．所以，一元二次不等式x2－70x+600≤0的解集是｛x|10≤x≤60｝.所以，当增种的果树数量在10~60棵的范围内时，水果总产量不会少于33000个.一元二次不等式及其解法一其实，上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集.我们可由二次函数的零点与一元二次方程根的关系，先求出对应一元二次方程的根，再根据二次函数的图象与x轴的位置关系确定一元二次不等式的解集.由于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象可根据零点个数分为Δ>0，Δ=0，Δ<0三种情况，因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c(a>0)与ax2+bx+c<0(a>0)的解集.一元二次不等式及其解法一计算判别式Δ＝b2－4ac.

1.当Δ＞0时，先求出方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1和x2(不妨设x1＜x2)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2.3-2(1)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)．一元二次不等式及其解法(1)

(2)

(3)图2.3-2一

一元二次不等式及其解法一

一元二次不等式及其解法借助二次函数图象的直观性，得到求解一元二次不等式的通法，这体现了数形结合，亦反映了函数、方程与不等式之间的关联.一一元二次不等式及其解法解不等式2x2－x－3≥0．

解方程2x2－x－3=0有两个不相等的实数根

x1=－1，x2=．函数y=2x2－x－3的图象如图2.3-3所示，与x轴有两个交点(－1，0)，

，由图象得不等式2x2－x－3≥0的解集为

{x|x≤－1或x≥

}．例1y=2x2－x－3图2.3-3一一元二次不等式及其解法解不等式4x2－4x＋1＞0.

解方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实数根

x1=x2=．函数y＝4x2－4x＋1的图象如图2.3-4所示，与x轴仅有一个交点

，由图象得不等式4x2－4x＋1＞0的解集为{x|x∈R且x≠}．例2y＝4x2－4x＋1图2.3-4一一元二次不等式及其解法

例3y＝x2－4x＋5(1)图2.3-5一一元二次不等式及其解法

y＝－x2＋4x－5(2)图2.3-5一一元二次不等式及其解法解下列不等式：

(1)x2－x－6＜0；(2)－2x2＋x－5＜0；

(3)3x2＋2x＋＜0；(4)16－24x≤－9x2；

(5)(x＋1)2－6＞0；(6)(x－3)(x+3)>1.练习一一元二次不等式及其解法由求解一元二次不等式的方法与过程可知，一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数有紧密的联系，具体地，我们可用如下一张表格予以说明：一一元二次不等式及其解法续表一一元二次不等式及其解法不难发现，一元二次方程和一元二次不等式分别是二次函数函数值等于零和不等于零时的“局部”情形，而相应一元二次方程和一元二次不等式的解都可由二次函数的图象得出.例如，根据二次函数y=2x2－x－1的图象，可得一元二次方程2x2－x－1=0的两实数根分别为x1=－，x2=1，则一元二次不等式2x2－x－1>0的解集为{x|x<－

或x>1}，一元二次不等式2x2－x－1≤0的解集为{x|－

≤x≤1}.一一元二次不等式及其解法解不等式.

解原不等式等价于(－2x+5)(x－2)>0，即(2x－5)(x－2)<0，所以2<x<

.故原不等式的解集为.例4一一元二次不等式及其解法若对任意的实数x，一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0恒成立，求实数k的取值范围.

解由题意知，一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0的解集为R，于是对应二次函数y=x2+2(1+k)x+3+k的图象开口向上，且恒在x轴上方，所以Δ=4(1+k)2－4(3+k)<0，即4(k2+k－2)<0，求解该一元二次不等式得－2<k<1.例5一一元二次不等式及其解法已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(－3，－1)，求实数a，b的值．

解由一元二次不等式解集的结构知，－3和－1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，所以解得例6一一元二次不等式及其解法

1.解不等式：(1)

；

(2)≥2.

2.当k为何值时，关于x的方程x2＋2(k－3)x＋4k＝0分别满足：

(1)无实数根？