2025年高考数学热身试题及答案

2025年高考数学热身试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)答案：A解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(B=\varnothing\)时，方程\(ax2=0\)无解，此时\(a=0\)。当\(B\neq\varnothing\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)。若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.函数\(y=\log_{0.5}(4+3xx^2)\)的单调递增区间是（）A.\((\infty,\frac{3}{2}]\)B.\([\frac{3}{2},+\infty)\)C.\((1,\frac{3}{2}]\)D.\([\frac{3}{2},4)\)答案：D解析：首先，要使函数\(y=\log_{0.5}(4+3xx^2)\)有意义，则\(4+3xx^2>0\)，即\(x^23x4<0\)，因式分解得\((x+1)(x4)<0\)，解得\(1<x<4\)，所以函数的定义域为\((1,4)\)。令\(t=4+3xx^2\)，则\(y=\log_{0.5}t\)，函数\(y=\log_{0.5}t\)在\((0,+\infty)\)上是减函数。对于二次函数\(t=4+3xx^2=(x\frac{3}{2})^2+\frac{25}{4}\)，其图象开口向下，对称轴为\(x=\frac{3}{2}\)。根据复合函数“同增异减”的原则，求\(y=\log_{0.5}(4+3xx^2)\)的单调递增区间，即求\(t=4+3xx^2\)在\((1,4)\)上的单调递减区间，所以单调递增区间是\([\frac{3}{2},4)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，\(\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，且\(\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}\)，则实数\(x\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{6}\)D.\(\frac{1}{6}\)答案：A解析：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，则\(\overrightarrow{m}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,2+2)=(1+2x,4)\)，\(\overrightarrow{n}=2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=2(1,2)(x,1)=(2x,41)=(2x,3)\)。因为\(\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}\)，根据两向量平行的坐标关系：若\(\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)\)，且\(\overrightarrow{m}\parallel\overrightarrow{n}\)，则\(x_1y_2x_2y_1=0\)。所以\(3(1+2x)4(2x)=0\)，展开得\(3+6x8+4x=0\)，合并同类项得\(10x5=0\)，移项得\(10x=5\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。4.若\(\sin(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{1}{3}\)，则\(\cos(\frac{2\pi}{3}+2\alpha)\)的值为（）A.\(\frac{7}{9}\)B.\(\frac{7}{9}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A解析：因为\(\cos(\frac{2\pi}{3}+2\alpha)=\cos(\pi(\frac{\pi}{3}2\alpha))=\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)\)。又根据二倍角公式\(\cos2\theta=12\sin^{2}\theta\)，令\(\theta=\frac{\pi}{6}\alpha\)，则\(\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)=12\sin^{2}(\frac{\pi}{6}\alpha)\)。已知\(\sin(\frac{\pi}{6}\alpha)=\frac{1}{3}\)，所以\(\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)=12\times(\frac{1}{3})^{2}=1\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\)。则\(\cos(\frac{2\pi}{3}+2\alpha)=\cos(\frac{\pi}{3}2\alpha)=\frac{7}{9}\)。5.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(28\)B.\(36\)C.\(42\)D.\(48\)答案：A解析：因为\(\{a_n\}\)是等差数列，根据等差数列的性质：若\(m,n,p,q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，则\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_5=2a_4\)，已知\(a_3+a_4+a_5=12\)，即\(3a_4=12\)，解得\(a_4=4\)。由等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，则\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}\)。又因为\(a_1+a_7=2a_4\)，所以\(S_7=\frac{7\times2a_4}{2}=7a_4=7\times4=28\)。6.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{3}{2}\)答案：A解析：对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，其渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。已知一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，则\(e=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。把\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)代入得\(e=\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}\)。7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（此处省略三视图图形，假设为一个底面半径为\(1\)，高为\(2\)的半圆柱和一个底面边长为\(2\)，高为\(1\)的正方体组合）A.\(2+\frac{\pi}{2}\)B.\(2+\pi\)C.\(4+\frac{\pi}{2}\)D.\(4+\pi\)答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个正方体组成。正方体的棱长为\(2\)，其体积\(V_1=2\times2\times1=2\)。半圆柱的底面半径\(r=1\)，高\(h=2\)，根据圆柱体积公式\(V=\pir^2h\)，则半圆柱的体积\(V_2=\frac{1}{2}\pir^2h=\frac{1}{2}\pi\times1^2\times2=\pi\)。所以该几何体的体积\(V=V_1+V_2=2+\frac{\pi}{2}\)。8.用\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（）A.\(28\)B.\(20\)C.\(24\)D.\(32\)答案：A解析：分三种情况讨论：（1）\(0\)夹在\(1\)，\(3\)之间，有\(A_{2}^{2}\)种排法，将\(0\)，\(1\)，\(3\)看成一个整体与\(2\)，\(4\)全排列，有\(A_{3}^{3}\)种排法，此时共有\(A_{2}^{2}A_{3}^{3}=12\)个五位数。（2）\(2\)或\(4\)夹在\(1\)，\(3\)中间，考虑两个奇数的顺序，有\(2A_{2}^{2}\)种排法，将这三个数看成一个整体与\(0\)和另外一个偶数全排列，因为\(0\)不能在首位，所以有\(2\times2A_{2}^{2}\)种排法，此时共有\(2\times2A_{2}^{2}=16\)个五位数。所以满足条件的五位数的个数是\(12+16=28\)个。二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.下列说法正确的是（）A.对于任意两个向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，若\(|\overrightarrow{a}|>|\overrightarrow{b}|\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)同向，则\(\overrightarrow{a}>\overrightarrow{b}\)B.已知\(|\overrightarrow{a}|=6\)，\(\overrightarrow{e}\)为单位向量，若\(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{e}>=\frac{3\pi}{4}\)，则\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{e}\)上的投影向量为\(3\sqrt{2}\overrightarrow{e}\)C.设\(\overrightarrow{m}\)，\(\overrightarrow{n}\)为非零向量，则“存在负数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{m}=\lambda\overrightarrow{n}\)”是“\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}<0\)”的充分不必要条件D.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0\)，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角是钝角答案：BC解析：A.向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，所以A错误。B.向量\(\overrightarrow{a}\)在单位向量\(\overrightarrow{e}\)上的投影向量为\((|\overrightarrow{a}|\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{e}>)\overrightarrow{e}\)，已知\(|\overrightarrow{a}|=6\)，\(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{e}>=\frac{3\pi}{4}\)，则\(\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{e}>=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{e}\)上的投影向量为\(6\times(\frac{\sqrt{2}}{2})\overrightarrow{e}=3\sqrt{2}\overrightarrow{e}\)，B正确。C.若存在负数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{m}=\lambda\overrightarrow{n}\)，则\(\overrightarrow{m}\)与\(\overrightarrow{n}\)反向，所以\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|\cos180^{\circ}=|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|<0\)；反之，当\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}<0\)时，\(\overrightarrow{m}\)与\(\overrightarrow{n}\)的夹角可能是钝角，不一定反向，所以“存在负数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{m}=\lambda\overrightarrow{n}\)”是“\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}<0\)”的充分不必要条件，C正确。D.当\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0\)时，\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角可能是\(180^{\circ}\)，不一定是钝角，D错误。10.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）（此处省略函数图象，假设已知周期和特殊点）A.函数\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{12},0)\)对称C.函数\(f(x)\)在区间\([\frac{\pi}{24},\frac{5\pi}{24}]\)上单调递增D.函数\(f(x)\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后得到\(y=\sin2x\)的图象答案：ABC解析：A.由图象可知\(\frac{T}{2}=\frac{7\pi}{12}\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\)，所以\(T=\pi\)，根据\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，可得\(\omega=2\)，A正确。B.因为\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)过点\((\frac{\pi}{12},1)\)，所以\(\sin(2\times\frac{\pi}{12}+\varphi)=1\)，即\(\sin(\frac{\pi}{6}+\varphi)=1\)，又\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，则\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，所以\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，当\(k=0\)时，\(x=\frac{\pi}{6}\)，当\(k=1\)时，\(x=\frac{\pi}{3}\)，当\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(f(\frac{\pi}{12})=\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\neq0\)，令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\)，\(k\inZ\)，得\(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，当\(k=0\)时，对称中心为\((\frac{\pi}{6},0)\)；又\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，\(f(\frac{\pi}{12}+x)+f(\frac{\pi}{12}x)=\sin(2(\frac{\pi}{12}+x)+\frac{\pi}{3})+\sin(2(\frac{\pi}{12}x)+\frac{\pi}{3})=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x+\frac{\pi}{6})=2\sin\frac{\pi}{6}\cos2x=\cos2x\)，当\(x=0\)时，\(f(\frac{\pi}{12})=0\)，所以函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{12},0)\)对称，B正确。C.令\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(\frac{5\pi}{12}+k\pi\leqslantx\leqslant\frac{\pi}{12}+k\pi\)，\(k\inZ\)，当\(k=0\)时，单调递增区间为\([\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)，\([\frac{\pi}{24},\frac{5\pi}{24}]\subseteq[\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)，所以函数\(f(x)\)在区间\([\frac{\pi}{24},\frac{5\pi}{24}]\)上单调递增，C正确。D.函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后得到\(y=\sin[2(x\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{3}]=\sin2x\)的图象，D错误。11.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，\(M\)为线段\(AB\)的中点，\(O\)为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.以线段\(AB\)为直径的圆与直线\(x=1\)相切B.\(|AB|\)的最小值为\(4\)C.\(|OM|\)的最小值为\(\sqrt{2}\)D.若\(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}\)，则直线\(AB\)的斜率为\(\pm\sqrt{3}\)答案：ABD解析：抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F(1,0)\)，准线方程为\(x=1\)。A.设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则\(|AF|=x_1+1\)，\(|BF|=x_2+1\)，所以\(|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+2\)。\(M\)为线段\(AB\)的中点，\(M\)到准线\(x=1\)的距离\(d=\frac{x_1+x_2}{2}+1=\frac{|AB|}{2}\)，所以以线段\(AB\)为直径的圆与直线\(x=1\)相切，A正确。B.当直线\(AB\)垂直于\(x\)轴时，\(|AB|\)取得最小值，此时\(x=1\)，代入\(y^2=4x\)得\(y=\pm2\)，\(|AB|=4\)，B正确。C.设直线\(AB\)的方程为\(x=my+1\)，代入\(y^2=4x\)得\(y^24my4=0\)，则\(y_1+y_2=4m\)，\(x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2=4m^2+2\)，所以\(M(2m^2+1,2m)\)，则\(|OM|=\sqrt{(2m^2+1)^2+(2m)^2}=\sqrt{4m^4+8m^2+1}\)，令\(t=m^2\geqslant0\)，\(y=4t^2+8t+1\)，其对称轴为\(t=1\)，在\([0,+\infty)\)上单调递增，所以\(|OM|\geqslant1\)，C错误。D.设直线\(AB\)的方程为\(x=my+1\)，代入\(y^2=4x\)得\(y^24my4=0\)，设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(y_1+y_2=4m\)，\(y_1y_2=4\)。因为\(\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}\)，所以\((1x_1,y_1)=3(x_21,y_2)\)，即\(y_1=3y_2\)，联立\(\begin{cases}y_1+y_2=4m\\y_1y_2=4\\y_1=3y_2\end{cases}\)，解得\(m=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)，则直线\(AB\)的斜率\(k=\frac{1}{m}=\pm\sqrt{3}\)，D正确。12.已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，则下列说法正确的是（）A.若\(f^\prime(x_0)=0\)，则\(f(x)\)在\(x=x_0\)处取得极值B.若\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，则\(a^23b\leqslant0\)C.函数\(y=f(x)\)的图象是中心对称图形D.若\(x_0\)是\(f(x)\)的极值点，则\(f^\prime(x_0)=0\)答案：BCD解析：A.若\(f^\prime(x_0)=0\)，\(f(x)\)在\(x=x_0\)处不一定取得极值，例如\(f(x)=x^3\)，\(f^\prime(x)=3x^2\)，\(f^\prime(0)=0\)，但\(x=0\)不是函数\(f(x)\)的极值点，A错误。B.\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)，若\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，则\(f^\prime(x)\geqslant0\)恒成立，所以\(\Delta=(2a)^24\times3b=4(a^23b)\leqslant0\)，即\(a^23b\leqslant0\)