安徽省“皖南八校”2025-2026学年高一上学期期中考试 数学含解析

“皖南八校”2025-2026学年高一第一学期期中考试

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章、第三章。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知命题“p:3x∈(-3,十∞),x²≤9”,则一p是

A.Vx∈(-3,+∞),x²>9B.Vx∈(-3,十∞),x²≤9

C.3x∈(-3,十∞),x²≥9D.3x∈(-3,十∞),x²>9

2.已知集合A={-1,0,1,2},B={x∈N|x<3},那么集合AUB等于

A.(-1,3)B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

3.不等1的解集为

B.

C.或x>4}D.或x>2}

4.设函数则f(f(3))等于

AB.3D

5.已知函数f(x)的定义域为(0,5),则函数的定义域为

A.(2,4)B.(2,6)C.(2,4)D.(2,6)

6.定义集合A和B的运算：AOB={(x,y)|x∈A,y∈B},若集合则

AOB的真子集个数为

A.31B.32C.62D.63

7.已知定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调，且f(一√2)>f(√3),则f(-3),f(√5),

f(π)的大小顺序是

A.f(√5)<f(-3)<f(π)B.f(π)<f(-3)<f(√5)

C.f(-3)<f(√5)<f(π)D.f(√5)<f(π)<f(-3)

【“皖八”高一期中·数学第1页(共4页)人教】

8.已知命题p:存在a∈R且a≠0,对于任意的x∈R,使得f(x+a)<f(x)+f(a);q1:f(x)在R

上单调递减，且f(x)>0恒成立；q₂:f(x)在R上单调递增，且存在xo<0使得f(xo)=0.下列说

法正确的是

A.只有q₁是p的充分条件B.只有q₂是p的充分条件

C.q₁,q₂都是p的充分条件D.q₁,q₂都不是p的充分条件

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是

A.若ac²>bc²,则a>bB.若a>b,则ab<0

C.若b>a>0,则a³+a<b³+bD.若a>b>0且c<0,则a+c<b+c

10.已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),且f(Jx+1)=2√x+x,则

A.f(x)=x²—1(x≥1)B.f(x)的值域为(-1,十∞)

C.f(x)在(1,十∞)上单调递增D的值域为[0,十∞]

11.已知函数f(x)的定义域为R,Vx,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y),且,则

A

B.函数f(x)在R上单调递增

C.f(x+1)<f(x)

D.f(x+2)-f(x+1)<f(x+1)—f(x)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知幂函数y=x°的图象经过点(2,√2)和点(16,n),则n=

13.已知两正数x,y,满足的最小值为

14.定义域为R的偶函数g(x)在[0,十∞]上单调递减，且g(1)=0,若关于x的不等式(ax

+1)g(x-1)≥(bx—2)g(1-x)的解集为[0,+∞],则b²+a的最小值为·

15.(13分)

(1)已知f(x)=3x+2,求f(2x+5)的解析式；

(2)已知f(x)为二次函数，且f(x+1)+f(x—1)=2x²—4x,求f(x)的解析式.

【“皖八”高一期中·数学第2页(共4页)人教】

16.(15分)

已知命题p:Vx∈R,不等式2tx²+2tx+1>0恒成立，当命题p为真命题时，实数t的取值集

合为A.

(1)求集合A;

(2)设非空集合B={t|a-2<t+1<2a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的

取值范围.

17.(15分)

已知函数f(x)=x²-3(a+1)x+2a²+3a(a∈R).

(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；

(2)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(1,5),求实数a的值；

(3)设关于x的不等式f(x)<0的解集为A,B=[-1,1],若A∩B=,求实数a的取值

范围.

【“皖八”高一期中·数学第3页(共4页)人教】

18.(17分)

已知矩形ABCD的周长为20,其中AB>AD,如图所示，E为CD边上一动点，把四边形

ABCE沿AE折叠，使得AB与DC交于点P.设DP=x,PE=y.

(1)若AD=3,将y表示成x的函数y=f(x),并求定义域；

(2)在(1)条件下，判断并证明y=f(x)的单调性；

19.(17分)

Z

已知函数f(x)的定义域为R,给定集合D,若f(x)满足对任意x₁,x₂∈R,存在实数λ,当

x₁—x₂∈D时，都有λ[f(x₁)—f(x₂)]∈D,则称f(x)是D上的“λ级优函数”.

(1)请写出一个{1}上的“1级优函数”,并说明理由.

(i)证明：f(x+6)—f(x)=3;

(ii)当x∈[0,1]时,其中a,b∈Z,求a,b的值.

【“皖八”高一期中·数学第4页(共4页)人教】

“皖南八校”2025—2026学年高一第一学期期中考试·数学

参考答案、解析及评分细则

1.A因为特称命题的否定是全称命题，所以对于命题p:3x∈(-3,十∞),x²≤9,其否定是将3改成V,对

结论否定，即Vx∈(-3,+∞),x²>9.故选A.

2.C因为B={x∈N|x<3}={0,1,2},A={-1,0,1,2},所以AUB={-1,0,1,2}.故选C.

3.A因为：1,所以.所以,解得.故选A.

4.D.故选D.

5.D由于函数f(x)的定义域为(0,5),所以g(x)=f(x-1)+-2的定义域满足解得

2<x<6,所以g(x)=f(x—1)+√x-2的定义域为(2,6).故选D.

6.D由新定义知，AOB={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},所以AOB的真子集的个数为2⁶一

1=63.故选D.

7.B依题意，f(一√2)=f(√2)>f(√3),故f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(-3)=f(3),√5<3<π,得f(π)

<f(3)<f(√5),所以f(π)<f(-3)<f(√5).故选B.

8.C对于命题q₁:f(x)在R上单调递减，且f(x)>0恒成立，当a>0时，此时x+a>x,又因为f(x)在R上

单调递减，所以f(x+a)<f(x),又因为f(x)>0恒成立，所以f(x)<f(x)+f(a),所以f(x+a)<f(x)

+f(a),所以命题qi→命题p,对于命题q2:f(x)在R上单调递增，且存在xo<0使得f(xo)=0,当a=xo

<0时，此时x+a<x,f(a)=f(xo)=0,又因为f(x)在R上单调递增，所以f(x+a)<f(x),所以

f(x+a)<f(x)+f(a),所以命题q₂→命题p,所以q1,q₂都是p的充分条件.故选C.

9.ABC对于A,若ac²>bc²,则c≠0,所以a>b,故A正确；对于B,若a>b且,则a>0,b<0,所以ab<

0,故B正确；对于C,若b>a>0,则a³<b³,a<b,故a³+a<b³+b,C正确；对于D,若a>b>0且c<0,则a

十c>b+c,故D错误.故选ABC.

10.ACD对于A,依题意，f(Jx+1)=(√x)²+2√x=(Jx+1)²-1,则f(x)=x²—1,x≥1,故A正确；对于

B,当x≥1时，f(x)≥0,当且仅当x=1时取等号，因此f(x)的值域为(0,+∞),故B错误；对于C,f(x)

=x²-1在(1,+∞)上单调递增，故C正确；对于D,显然1,0<x≤1,于，,因

此的值域为(0,+∞),故D正确.故选ACD.

11.AC对于A,令x=1,y=1,得到f(1)f(1)=f(2),又,则,故A正确；对于B,令x=

1,y=0,得到f(1)f(0)=f(1),又,则,则函数f(x)在R上单调递增不成

立，故B错误；对于C,令y=1,则f(x)f(1)=f(x+1),又,则又由题可知

f(x)f(一x)=f(0)=1,故f(x)≠0,又,所以,故C

正确；对于D,由,则,所以f(x+2)—f(x+1)=

,由选项C中分析知f(x)

,即f(x+2)—f(x+1)>f(x+1)—f(x),故D错误.故选AC.

12.4鲁,∴n=16→n=4.

【“皖八”高一期中·数学试卷参考答案第1页(共4页)人教】

13.8因为x>0,y>0,且当且仅当

,即xy=2时，等号成立，,故,y=4时，等号成立，所以的最小值为8.

因为定义域为R的偶函数g(x)在[0,十∞]上单调递减，且g(1)=0,则g(一1)=0,可知当x∈

(一∞,-1)U(1,+∞)时，g(x)<0;当x∈(-1,1)时，g(x)>0,则当x∈(一∞,0)U(2,+∞)时，g(x-

1)<0;当x∈(0,2)时，g(x—1)>0;当x∈{0,2}时，g(x—1)=0.由(ax+1)g(x—1)≥(bx—2)g(1—x)可

得(ax+1)g(x—1)—(bx—2)g(1—x)≥0,因为(ax+1)g(x—1)—(bx—2)g(1-x)=(ax+1)g(x—1)一

(bx—2)g(x—1)=[(a—b)x+3]g(x—1)≥0,由题意可知关于x的不等式[(a—b)x+3]g(x-1)≥0的

解集为(0,+∞),显然y=(a—b)x+3不恒为0,可知当x∈(-∞,0)时，(a—b)x+3>0;当x∈(0,2)时，

(a—b)x+3≥0;当x∈(2,+∞)时，(a—b)x+3≤0,可知一次函数y=(a—b)x+3的零点为2,且图象是

由左向右下降的，则即2(a—b)=-3,当时取

得最小值，最小值为

15.解：(1)f(2x+5)=3(2x+5)+2=6x+17.5分

(2)设f(x)=ax²+bx+c(a≠0),则

则f(x+1)+f(x—1)=a(x+1)²+b(x+1)+c+a(x—1)²+b(x-1)+c

=2ax²+2bx+2a+2c=2x²—4x,8分

所以……………10分

解得…………………12分

所以f(x)=x²—2x—1.……………………13分

16.解：(1)对于命题p:Vx∈R,不等式2tx²+2tx+1>0恒成立，

当t=0时，1>0恒成立，………………………2分

当t≠0时，则需解得0<t<2,……………5分

综上，0≤t<2,则A={t|0≤t<2}7分

(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB,8分

又因为B为非空集合，且B=(t|a-2<t+1<2a}=(t|a—3<t<2a-1},

所以…………………………12分

解得

所以实数a的取值范围为.…………………15分

17.解：(1)当a=1时，函数f(x)=x²—6x+5=(x—3)²—4,………………2分

当x=3时，函数f(x)取得最小值，最小值为—4.…………3分

(2)因为关于x的不等式x²—3(a+1)x+2a²+3a<0的解集为(1,5),

【“皖八”高一期中·数学试卷参考答案第2页(共4页)人教】

所以1,5是一元二次方程x²—3(a+1)x+2a²+3a=0的两个根，………4分

所以………………………6分

解得a=1.……………………8分

(3)由y=x²-3(a+1)x+2a²+3a<0,可得(x—a)[x—(2a+3)]<0,9分

①当a<2a+3,即a>-3时，A=(a,2a+3),要使A∩B=,则a≥1或2a+3≤-1,

解得a≥1或a≤-2,又a>-3,可得—3<a≤-2或a≥1;……………11分

②当a=2a+3,即a=-3时，A=,满足A∩B=;…………………12分

③当a>2a+3,即a<-3时，A=(2a+3,a),要使A∩B=,则2a+3≥1或a≤-1,

解得a≥-1或a≤-1,又a<-3,可得a<-3.…………14分

综上，实数a的取值范围(一∞,-2)U[1,+∞)15分

18.解：(1)根据题意，由AD=3,得AB=7,

由已知∠PAE=∠PEA,故AP=EP=y,

又因为DP=x,

故在Rt△ADP中，则AP²=AD²+DP²,

即y²=x²+9,整理得y=√x²+9,…………2分

又x+y≤7,则x+√x²+9≤7,故√x²+9≤7—x,

x²+9≤49+x²-14x,解得

所以定义域为………………………4分

(2)y=√x²+9在上单调递增.…………………5分

任取且x₁>x2,

,…………………7分

因为

所以x₁—x₂>0,x₁+x₂>0,√x²+9+√x²+9>0

所以yi-y₂>0,

即y=√x²+9在上单调递增.…………………10分

(3)易知，当E点位于C点时，△ADP面积最大.…………11分

此时再设AD=m,DP=n,那么AP=10-n-m,

由AP²=AD²+DP²,得,m∈(0,5),………12分

所以△ADP的面积,……13分

令10-m=t,则m=10—t(5<t<10),—m=t—10,

故

………………15分

【“皖八”高一期中·数学试卷参考答案第3页(共4页)人教】

当且仅当,即t=5√2,即m=10-5√2时，等号成立，

故当AD=10-5√2时，△ADP的面积S的最大值为75—50√2.………17分

19.解：(1)函数f(x)=x是{1}上的“1级优函数”.

理由如下：因为当x₁—x2=1时，有f(xi)一f(x₂)=x1—x2=1,所以f(x)=x是(1}上的“1级优函数”.

………………3分

(2)(i)