2024苏科版八年级数学上册第三章《 勾股定理》每节课导学案汇编（含五个导学案）

八年级数学上册导学案

主备人：班级：学生姓名：

课题：3.1勾股定理的探究（1）勾股定理的发现

学习目标：

I、能说出勾股定理的内容，并能用勾股定理进行简单的计算.

2、让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.

学习重点：勾股定理及其应用。

学习难点：利用图形的割补验证勾股定理。

自学要求：认真阅读教材P86-88,回答下列问题：

一、新知体验：

1、情境引入：

你相信世界上有“外星人”吗？用什么语言与外星人沟通呢？

数学家曾建议用“勾股定理''的图作为与外星人联系的信号。

2、探索新知：

问题：如图1,以RSA8C的三边为边分别向外画一个正方形,所画的三个正方形面积之间有怎样的

数量关系?

S1E方JffALDB=7X7-4XSA8C

S正方形AEDR=4SAPH+Ix1

图3-1

正方形BH/C、正方形ACFG的面积分别为9和16,正方形AEQ8的面积为25,

三个正方形面积之间的关系为：S正方形八£08=5正方彩BHIC十5正方形ACFG-

S正方形A£O片AB-S正方形切〃（?=8。2,s<mACFG=AC2,：-AB2=BC2+AC20

即两条直角边的平方和等于斜边的平方。

活动：在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形,

（如右图）并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形

外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的

关系，并与同学交流,

根据上面的例子，可以猜想：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平

方。

直角三角形这一特殊的三边关系，我国古代称之为勾股定理据《周髀算经》记

载

：西周时期的商高（约前1100）在与周公（约前1100）的对话中，我国古代学者把

直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。

就提出了“勾三股四弦五“，勾股定理的证明从古至今已有数百种方法，

公元3世纪初，我国数学家赵爽（3世纪前期）用剪拼图形的方法完成了证明。

勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

即如图，直角三角）的两条直角边〃，〃与斜边c之间满足：a-+b2=c2

勾股定理也被称为

毕达哥拉斯定理，

在古希腊.人们利

用勾股定理发现了

无理数.

试一试:

如图，在下列横线上填上适当的值:

二、例题讲解

例1、如图1,已知直角三角形的两边长，求第三边的长。

12(1)5(2)

例2、在图2的数轴上画出逐对应的点。

-101234

三、基础强化：

1、求图中x的值

(1)(2)

2、求图中x,），的值

3.求图中汇的值

(1)(2)

四、拓展提高:

如图，在△ABC中，AC=13,AB=15,BC=\4,是边上的高，求4。的长.

五、总结反思:

在直角三角形中,两直角边a、b的平方和等广斜边c

|的平方，即

勾股定理

必须是在直向三角形中

看清哪个仍是百角

六、达标检测:

1、在RSA3C的斜边48上另作RS46。，并以43为斜边，若8c=1,AC=b,40=2,则等于

）

A、/+1B、护―3C、y+4D、（力2+］）2-4

2、如图，则直角三角形中边A。的长为,

四边形ABCD的面积为o

3、已知一直角三角形的斜边与其中一直角边的和为8,差为2,

试求这个直角三角形三边的长。

2025年秋八年级数学上册导学案

主备人：班级：学生姓名：

课题：3.1勾股定理（2）

学习目标：

1、通过拼图等数学活动，进一步验证勾股定理，发展合情推理的能力，体会数形结合思想.

2、经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地

思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值。

学习重点：通过拼图验证勾股定理，利用勾股定理进行计算。

学习难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。

自学要求：认真阅读教材P89-90,回答下列问题：

二、新知体验：

3、情境引入：

两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷，公元3世纪初,

赵爽通过“弦图”证明了勾股定理。

4、探索新知：

根据“弦图”的思路，用4张如图3-5所示的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形(图3-6),你

能用这个图形证明勾股定理吗？

图3-5图3-6

如图3-6,大正方形的边长为c,则S正方彩低7)=，

因为大正方形是由4个和1个边长为的小正方形组成的，所以，大正方形的面积是4

个面积与_______面积的.即S正方形ABCD=4x—aZ?+(〃-a)2="+〃.所以

尝试：

I、用4张如图3-5所示的直角三角形纸片拼成如图3-7所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定

理吗？

2、连接图3-7中小正方形的对角线，可以得到图3-8,试利用图3・8中的面积关系证明勾股定理。

图3-8

二、例题讲解

例1、如图把火柴盒放倒，在这个过程中，也能验证勾股定理，你能利用下图验证勾股定理吗？

三、基础强化:

1、如图所示的是一段楼梯示意图，其斜边A8的长为5米，一条直角边8c的长为3米，

若在此楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少需要（）

A、8米8、9米C、7米。、6米

2、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

在RS48C中，若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外

延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外圉周长（图乙中的实线）是

3、4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,现把它们适当拼合，可以得到如图所示

的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，为什么？

五、拓展提高:

勾股定理是数学史上个非常重要的定理。至今已有数百种证明方法。

欧几里得的《几何原本》用了如下的思路：

如图1,四边形ABFE,四边形A/KC,四边形BC7”分别是以ROABC的三边

为一边的正方形，过点C作AB的垂线，交AB于点Q,交FE于点、G,连接

CF,请你思考或查阅资料，完成证明过程。

五、总结反思：

I、这节课我们通过多种拼图的方法，进一步验证了勾股定理，体会数形结合思想。

2、用勾股定理解决问题的一般思路：寻找或构造直角三角形.

六、达标检测：

1、如图，--圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，

要爬行的最短路程（兀取3）是（）

A、20cmB、10cmC、14cmD、无法确定

2、一棵树在台风“卡努”的袭击下，在离地5米断裂，树顶落在离根12米远处,

问这棵树断之前有多高？

2025年秋八年级数学上册导学案

主备人：班级学生姓名：

课题：3.2勾股定理的逆定理

学习目标：

1、会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）.

2、会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.

3、经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，体会“形”与“数”的内在联系.

学习重点：勾股定理的逆定理及应用.

学习难点：勾股定理的逆定理的证明.

自学要求：认真阅读教材P93-95,回答下列问题：

三、新知体验：

5、情境引入：

我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果一个三角形的两条边的

平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形吗？

6、探索新知：

如图，A/3C的三边小b,c满足。2+〃2=/,

能否证明为直角三角形。

我们先作一个RQABC,使乙。二90。，B

仇如图），再设法证明△A7TC与△A4C全等

根据勾股定理，得4万2=标+尻，因为4炉=4+序，所以A'R'=AB

根据“”,可知△ABCWA/VB'C,于是4C=ZC'=90。，即48c是直角三角形.

小结：

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长分别为a,b,C,且_______,那么这个三角形是直角三角形.

四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道

如何构造一个直角三角形，他们在一根绳子上打上

距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形，

使得每条边被结点分成3段、4段、5段，

这样得到的三角形•定是直角三角形.

勾股数：

如果三个正整数4,乩C满足关系。2+/=/,则称4,b,c为.

口诀：奇数平方写连续，偶数半方加减一。

试一试：

I、下列各组数是勾股数的是（）

A、12、15、18：B、12、35、36：C、7、24、25.。、10、20、30

2、有一个三角形的三边长为3、4、5,求这个三角形的面积.

二、例题讲解

例1、已知：a,b,c为正整数，且

求证：对于任意的正整数左，正整数h,”3h构成勾股数。

例2、如图，AO是的中线，40=24,4B=26,BC=20,求AC的长。

BDC

三、基础强化：

1、观察下列各组数：①7,12,15：②8,15,17；③12,15,20：④⑤（）.6,（）.8,1,

345

其中是勾股数的有（）

A、1组B、2组C、3组D、4组

2、在△A8C中，如果三边〃、氏c满足I”一32|十|2。-48|+（C-40）2=0,那么"BC是（）

A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形

3、如图所示，己知△ABC中，44=5,AC=3,边6c上的中线4。=2,

（1）求证：△AC。是直角三角形；（2）求AA8C的面积.

4、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=\2,

AD=\3,假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

六、拓展提高:

I、若8c的三边分别是a、b、c,且°=层一1,b=2n,c=rr+\,求证：△48C是直角三角形。

2、如图，ADLBC,垂足为。，如果C7）=l,AO=2,BD=4,那么MAC是直角吗？证明你的结论.

五、总结反思：

1、在已知三角形的三边，判断此三角形是否为直角三角形时，一般先确定最长的边，再计算较短的两

边的平方和与最长边的平方，若两者能，则此三角形为直角三角形，且最长边为斜边，所对的角

为直角；若两者不能相等，则天是直角三角形。

2、应用平方关系判断勾股数的前提条件是这三个数必须都是_____o

六、达标检测：

1、如果线段。、b、c能构成一个直角三角形，那么〃：〃：c可能是（）

A、1：2：3B、3：4：5C、2：3：5D、5：7：8

2、如图，A3=24,BC=15,CO=20,AD=7,zC=90°,求乙4的度数.

2025年秋八年级数学上册导学案

主备人：班级学生姓名：

课题：3.3勾股定理的简单应用（1）

学习目标：

1、能在实际生活情境中，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题；

2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想,

使学生进一步养成“学数学，川数学”的意识，体验数学学习的实用性。

学习重点：运用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

学习难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题

自学要求：认真阅读教材P97-98,回答下列问题：

四、新知体验：

7、情境引入：

如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的固定缆绳，

这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有m.o

下面，我们来研究运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题。

8、探索新知：

甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，

纵横比分别为2：1和16：9,哪款手机的屏幕面积更大？

（1英寸N54cm）

乙

设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸；

乙手机屏幕的长、宽分别为16y英寸，9y英寸.

根据勾股定理，得

（2x）2十（]6y）2+（9y）2=5.42.

X2=552.

分别得到x2=6.05,y?二得?。进而分别可以求出甲手机屏幕的面积为12.1平方英寸,

乙手机屏幕的面积约为12.5平方英寸所以，乙手机屏幕的面积更大。

小结：

在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

实际问题•一转化为……直角三角形。

试一试:

1、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B50米,

结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，则该河的宽度BC为米.

BA

二、例题讲解

例1、例：《九章算术》中的“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”

题意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一史折断，竹梢触地面处离竹根3尺，

试问折断处离地面多高？

三、基础强化:

I、如图，起重机吊运物体，BC=7.5m,AC=19.5m,求AB的长。

2、如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗，已知点B和教学楼的

水平距离为16m,教学楼高15m,围墙BC高3m,问至少需要多长的彩旗带?

9、如图，在一次消防演习中，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，

AO=2.4m,BO=1.8m,如果梯子顶端要下降0.4m（即AC=0.4m）,那么梯子的底端B应向右滑动多少

米？

七、拓展提高：

有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，

如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部R恰好碰到岸边的R，（如图），

问水深和芦苇长各多少？

运用勾股定理时，必须掌握转化与化归的数学思想，即在求三角形边或进行论证时，

常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形来解决.

六、达标检测：

1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20、3和2,A和B是这个台阶的两个

相对■端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，求它所走的最短路线长度。

A.20

B

2、如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢

飞到另一棵树的树梢，问这只小鸟至少飞行了多少米？

2025年秋八年级数学上册导学案

主备人：班级：学生姓名：

课题：3.3勾股定理的简单应用（2）

学习目标：

I、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中己知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由

“三角形边的关系得山三角形是直角三角形”。

2、掌握勾股定理及其逆定理，运用它们进行简单的说理和计算。

3、运用数形结合的思想，培养学生“学数学、用数学”解决问题能力。

学习重点：运用勾股定理及其逆定理解决数学问题。

学习难点：应用勾股定理及其逆定理解决与直角三角形相关的数学问题。

自学要求：认真阅读教材P99-100,回答下列问题：

一、情境引入：

如图，有一个长为12cm,宽4cm,高3cm的长方形铁盒，在其内部放一根笔直的铁丝,

则铁丝的最长长度是多少？

例1、证明：直线外一点和直线上各点的连线段中，垂线段最短

已知，如图，点尸在直线/外，PALI,垂足为A,Q为直线/上不同于点4的任意一点,

例2、如图，CD为RtAABC的斜边48上的高，设CD=/