2024苏科版八年级数学上册题型专练：勾股定理的简单应用（含解析）

3.3勾股定理的简单应用

题型一、梯子滑落问题

题型二、旗阡高度问题

题型三、小鸟飞行问题

题型四、大徒折断问题

基础达标题型五、航海问题

题型六、河流宽度问题

题型七、台阶长度问题

题型八、是否超速问题

题型九、受告风影晌问题

勾股定理的题型十、坏中筷子问题

简单应用题型一、选址问题

能力提升题型二、最短路径问题

题型三、最值问题

拓展培优

A基础达标题」

题型一、梯子滑落问题

1.(24-25七年级上•山东泰安•期中)某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，

梯子底端A到左墙的距离4E为0.7m,梯子顶端D到地面的距离为2.4m,若梯子底端A保持不动，将

梯子斜靠在右墙8。上，梯子顶端C到地面的距离。为2m,则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为

()

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A.2.2mB.2mC.1.5mD.2.5m

2.（24-25八年级上•四川成都・期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某

校师生举行了消防演练，如图，云梯4c长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙0C上（墙与地面垂直），

云栉底端A与墙角0的距离为7米.

⑴求云梯顶端C与墙角。的距离CO的长；

⑵现云梯顶端C下方4米。处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点。处，则云梯底端水平方向向右滑

动的距离48为多少米.

3.（16-17八年级上•广东佛山・期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端3离墙

⑴此时梯子顶端离地面多少米？

⑵若梯子顶端/下滑4米到C,那么梯子底端将向左滑动多少米？

4.（24-25八年级上•江苏苏州•阶段练习）在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另

一端向右走，绳端从。移动到£同时小船从力移动到8,且绳长始终保持不变.

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（填〃>“、"V"、

⑵若。尸=5米，力6=12米，/4=9米，求小男孩需向右移动的距离.（结果保留根号）

题型二、旗杆高度问题

5.（24-25八年级上•福建泉州•期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆48高度,

信息如下:

①测得从旗杆顶端垂直挂卜.来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图甲）:

②•个同学将绳子向•边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离CE为7米（如

图乙）.）.

设旗杆彳8的高度为x米，根据以上信息，则所列方程为（）

B.X2+72=(X-2)2

C.(X-2)2+72=(X+2)2D.(x-2)2+72=r

6.（24-25八年级上•全国・期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆44的高度，同学们发现系在旗杆顶端

力的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点C处，点C到旅杆

底部点〃的距离为9米.

⑴求旗杆48的高度;

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（2）小强在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点£处,

点E到地面的距离EO为2米,求小强后退的距离。（结果精确到0.1米）.（参考数据：拉=1.41，6。1.73,

75*2.24）

7.（23-24八年级上•广东深圳•阶段练习）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆44的高

度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离CE为10米（如

图2）.

图1图2

题型三、小鸟飞行问题

8.（24-25八年级上•河南郑州•期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣

的数学问题：有两棵树，一棵高6m,另一棵高2m,两树相距6m,一只小因要从一棵树的树顶到另一棵树

的树顶，至少需要飞多远？卜列结果最接近的是（）

A.5mB.6mC.7mD.8m

9.（24-25八年级上•浙江•期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6

米，两树的距离8。为12米.若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢C,则小鸟至少要飞行—

米.

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10.（24-25七年级上•山东东营•期中）如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C,已知树高5m,旗

杆高21m,树与旗杆之间的水平跑离为12m,则无人机匕行的最短距离为多少？

C

A

亍

BD

题型四、大树折断问题

11.（21-22八年级下•福建福州•期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m的点C处折断，倒下后

树顶端着地点〃与树底端/相距12m,则这棵树在折断前的高度是（）.

12.（24-25八年级上•河南南阳•期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点。处折断，顶部8着

地且离旗杆底部A的距高为4m.

⑴求旗杆在距地面多高处折断;

（2）工人在修复的过程中，发现在折断点。的下方1.25m的点尸处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点尸

处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？

13.（24-25八年级上•陕西榆林•阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围

内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点A处被拦腰折断，其树顶

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恰好落在另•棵乙树的根部。处，已知点A距离甲树的根部8处48为4米，甲、乙两树根部的距离8C为13

米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）。为12米，且点A,B,。在一条直线上，AD1CD,求甲树

原来的高度.

题型五、航海问题

14.（24-25九年级上,广西玉林•期末）如图，某港口户位于东西方向的海岸线上."远航"号、"海天"号轮船

同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，"海天"号沿西北方

向航行，每小时航行12海里.它门离开港口1.5小时后分别位于点。，及处，此时两船的距离是（）

A.32海里B.42海里C.40海里D.30海里

15.（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）如图，轮船甲从港口。出发沿北偏西25。的方向航行6海里，同

时轮船乙从港口。出发沿南偏西65。的方向航行8海里，这时两轮船相距海里.

16.（17-18八年级上•浙江金华•期末）如图，某港口Q位于东西方向的海岸线上.“远航”号、"海天”号轮船

同时离开港口，各自沿一固定方向航行，"远航”号每小时航行16nmile,“海天”号每小时航行12nmile.它

们离开港口一个半小时后分别位于点。，R处，且相距30nmile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知

道“海天"号沿哪个方向航行吗？

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17.（24-25八年级上•四川宜宾•期末）在海平面上有4,B,。三个标记点，。为灯塔，港口4在灯塔C的

北偏西55。方向上，港口力与灯塔。的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35。方向上，港口8与灯

塔。的距离是30海里，一艘货船将从力港LI沿直线向港口“运输货物，货船的航行速度为10海里/小时.

（1）货船从港口A航行到港口B需要多少时间；

⑵为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港

口,4向港口8运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行

安全标准.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？

题型六、河流宽度问题

18.（24-25八年级下•辽宁葫芦岛•期中）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河,

但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河

的宽度力8多2米，则河的宽度48是（）

A.6米B.9米C.12米D.15米

19.（22-23八年级下•湖南长沙•阶段练习）如图，某渡船从点8处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受

水流的影响，实际沿着8c航行，上岸地点C与欲到达地点/相距70米，结果发现8c比河宽力夕多10米.

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A

B

⑴求该河的宽度川九（两岸可近似看作平行）

⑵设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到力时，速度为每秒4米，求航行总时间.

20.（18-19八年级下•辽宁抚顺•阶段练习）在:海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构

造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形/8CQ）,4C是四边形岛屿上的一条小溪流，其中N8=90。，AB

=BC=5千米，CQ=30千米，"）=4近千米.

⑴求小溪流力C的长.

⑵求四边形48CO的面积.（结果保留根号）

题型七、台阶长度问题

21.（23-24八年级下•江西宜春•期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm,每个台阶的高

度都是15c,〃.连接AB,则AB的长度是（）

A.185。〃？B.C.205cmD.215cm

22.（24-25八年级上•江西吉安•期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼楞台阶完全盖

住.楼梯台阶剖面图如图，已知NC=90。，JC=3m,AB=5n）.

⑴求8c的长;

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（2）若已知楼梯宽2.8m,需要购买n?的地毯才能铺满所有台阶.

23.（23-24八年级上•山东枣庄•阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上

地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个喽道至少需要多少元？

题型八、是否超速问题

24.（23-24八年级下•湖南湘西•期中）学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超

速.如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速5m/s,为了检测车辆是否超速，在公路

旁设立了观测点C,从观点。测得一小车从点4到达点3行驶了10s.若测得NC4V-45。，/CBN-60°,

8c=100m.此车超速了吗？请说明理由.（6=1.73，72=1,41）

25.（23-24八年级下.河北廊坊•阶段练习）“为了安全，请勿超速".如图，一•条公路建成通车，在某路段

上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C,从观测点。测得一小车从点

力到达点8行驶了5秒，已知NC8N=60。，8C=200米，/。=100面米・

⑴请求出观测点C到公路MN的距离；

⑵此车超速了吗？请说明理由.（参考数据：及7.41，73^1.73）

26.（24-25八年级上•河南郑州•阶段练习）如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离AN=90米,

小汽车行驶过检测仪监控区域，到达N点时开始计时，离开“点时停止计时，已知力收=150米.

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知识窗

1m/s=3.6km/h

车速超过

120km/h即为

超速

⑴若一辆汽车以108km/h的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？

⑵若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由.

题型九、受台风影响问题

27.（24-25八年级上•广东佛山•阶段练习）如图，两条公路4、4交于点。，在公路（旁有一学校A,与。点

的距离为250m,点A（学校）到公路4的距离4"为150m.一大货车从。点出发，行驶在公路右上，汽车

周围200m范围内有噪音影响.

⑴货车开过学校是否受噪音影响？为什么？

（2）若汽车速度为50m/s,则学校受噪音影响多少秒钟？（夜。1.41，百。1.73，旧=224,"。2.65）

28.（24-25八年级.卜.•福建三明•期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内

形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿力3方向由点A向点4移动，已知点C为一海港，

且点C与直线力4上两点4,8的距离分别为60km和80km,4B=100km,以台风中心为圆心周围50km以

内为受影响区域.

⑴海港。受台风影响吗？为什么？

（2）若台风的速度为14km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长？

29.（24-25八年级上•陕西西安•期末）庆庆家附近有一条东西走向的公路（川?），一天一辆宣传车从这条路

上经过.如图，从监测中心4处测得这辆宣传车从8点开始沿/出所在直线由东向西运动，已知点。为庆

庆家的位置，点。与监测中心力的距离（4。）为400m,与这辆宣传车的起始位置8的距离（AC）为300m,

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且4C8=90。，过点C作。1/8于点。，以这辆宣传车为圆心，半径为260m的圆形区域内会听到宣传

车的声音.

C

⑴求监测点A与宣传车的起始位置B之间的距离；

⑵若这辆宣传车的行驶速度为25m/min,则庆庆家能听到多长时间的宣传车声音？

题型十、杯中筷子问题

30.（24-25八年级上•陕西咸阳•阶段练习）一支铅笔斜放在圆柱年的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直

径是6cm,内壁高8cm.若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm,求这支铅笔的长度是多少cm?

31.（23-24八年级下•天津河西•期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面

是一个边长为10尺（48=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点尸是力方的中点），它高出水面

1尺（MP=1尺）.如果把这根芦茸拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（MN=BN）,求

水的深度PN.

N

32.（2023八年级卜.•全国・专题练习）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm.大风吹过，红莲

被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm,则水深是多少？

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30cm

33.（23-24八年级上•江苏盐城•期中）如图，一个直径为10cm（即4c=10cm）的圆柱形杯子，在杯子底面

的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm（即/G=lcm），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端

不动），筷子顶端正好触到杯壁。，求筷子GE的长度.

G

能力提升题

题型一、选址问题

34.（24-25八年级」•贵州贵阳•阶段练习）如图所示，铁路上有48两点（看作直线上两点）相距40km,

C,。为两村庄（看作两个点），AD1AB,BC上AB,垂足分别为力，B,AD=24km,8C=16km,现

在要在铁路旁修建一个检修点£使得C,。两村到检修点£的距离相等（点儿B,C,。，£在同一•平面）.

D

C

--------------

⑴谙用尺规作图，在图中作出检修点石的位置（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵求检修点后应建在距A点多少千米处？

35.（24-25八年级.匕江苏宿迁•期中）如图所示，铁路上有A8两点（看作直线上两点）相距40千米，C、

。为两村庄（看作两个点），AD1AB,BCtAB,垂足分别为小B,力0=24千米，8C=16千米，现在

要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、。两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距4点多少千米处？

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D

36.（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）如图，在一条笔直的马路斯同侧有A,8两个小区，A小区到

马路的垂直距离/C为10千米，8小区到马路的垂直距离8。为2千米，的长度为15千米.

A

B

F——L---------------------L——F

匕CDr

⑴求A,4小区之间的距离：

（2）现要在线段。。上修建一个车站使得车站E•到A,"两小区的距离相等，此时车站E应修建在离点C

多远处？

题型二、最短路径问题

2

37.（24-25八年级上•甘肃兰州•期中）如图,已知圆柱体底面圆的半径为一,高为2,38,CD分别是两底

71

面的直径.若一只小虫从力点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短路线的长度：结果保留根

38.（22-23八年级上•河南驻马店•期中）如图，长方体的长8E=15cm,宽48=10cm,高彳。=20cm,点

M在C〃上.且CW=5cm.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点4爬到点需要爬行的最短距离是多

少？

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39.（24-25八年级上•贵州毕节•期中）如图,一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10m,高是15m,一只壁

虎在距底面3m的点A处，油罐上底面与点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点。处捕食,

它爬行的最短路程为多少米？

题型三、最值问题

40.（19-20八年级上•江苏无锡•期中）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线i同旁有两个

定点力、B,在直线/上存在点P,使得P4+P8的值最小.解法：如图1,作点力关于直线/的对称点W,

连接则44与直线/的交点即为P,且尸力+尸4的最小值为43.

图1图2图3

请利用上述模型解决下列问题：

⑴;I何应用：如图2,V48C中，“=90。，AC=BC=2,£是的中点，。是8c边上的一动点，则尸/+PE

的最小值为二

⑵代数应用：求代数式5?+43-力+9（0<x<3）的最小值；

⑶凡何拓展：如图3,VABC,AC=2,/力=30。，若在4B、4C上各取一点M、N使CH+MN的值最

小，最小值是一.

4L（24-25八年级上•甘♦肃兰州•期中）综合与实践

背景介绍：勾股定理是儿何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中有著名

的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.

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图1图2备用图

⑴把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为〃、〃、c.显然，ND4B=NB=90",力。用

含。、〃、。的式子分别表示出梯形44CQ、四边形4EC。、8c的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，可得到勾股定理.上述图形的面积满足的关系式为,经化简，可得到勾股定理

（2）如图2,铁路上A、8两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、。为两个村庄（看作两个点），AD1AB.

BCLAB,垂足分别为A、B,4。=24千米，8c=16千米，则两个村庄的距离为千米（直接填

空）；

⑶在（2）的条件下，要在44上建造一个供应站P,使得PC=PO,求出/尸的距离.

⑷借助上面的思考过程与几何模型，求代数式7779+7（16-X）2+81的最小值（0<x<16）.

42.（24-25八年级上•四川达州•期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm,底

面周长为12cm,在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点8处有一滴

蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点8处吃蜂蜜，求蚂蚊爬行的最短EF.离（）

A.12cmB.2\/3cmC.6>/2cmD.10cm

43.（24-25八年级上•陕西西安•期末）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm,高为10cm,点8离点。为6cm,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点力爬到点8去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）

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c.27194cmD.4历cm

44.（2024・四川德阳•二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18cm,底面周长为12cm,

在容器内壁离容器底部7cm的4处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿icm的点8处,

则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是—cm.

45.（23-24八年级上•浙江温州•期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端力与脚底两瑞点8,。构

成等腰三角形（48=力。）.图甲是梯子两脚架夹角力为90。时的示意图，图乙是由图甲当点8与点C的距离

缩小120cm,而点4与地面的距离增大40cm时的示意图，若点/与地面的距离为170cm时，则此时点8与

点C的距离是cm.

46.（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影

响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆心，250km

为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段8C是台风中心从C市向西北方向移动到8市的大致路线,

力是某个大型农场，且48J.42.若。之间相距300km,A,8之间相距400km.

C

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⑴判断农场力是否会受到台风的影响，请说明理由.

(2)若台风影响该农场持续时间为5.6h,则台风中心的移动速度是多少？

47.(22-23八年级上•江苏无锡•期中)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证

明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.证

法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置(Rt&lBCgRtADdE),ND4E=NB=90。，点E在落在边

48上，此时力CJ_OE,设RtZXXBC中，BC=a,AC=hfAB=c,用。、b、c分别表示出梯形NBC'。、

四边形4ECO、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理.

⑴请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理；

(2)如图2,某平原上有一条铁路人在铁路的同侧有两个小镇。且相距3而千米，它们到铁路的距离分

别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确

定P的位置，并求出两条公路的总长；

(3)借助上面的思考过程，求代数式J(x+4『+25-二的最大值.

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3.3勾股定理的简单应用

题型一、梯子滑落问题

题型二、旗阡高度问题

题型三、小鸟飞行问题

题型四、大徒折断问题

基础达标题型五、航海问题

题型六、河流宽度问题

题型七、台阶长度问题

题型八、是否超速问题

题型九、受告风影晌问题

勾股定理的题型十、坏中筷子问题

简单应用题型一、选址问题

能力提升题型二、最短路径问题

题型三、最值问题

拓展培优

A基础达标题」

题型一、梯子滑落问题

1.（24-25七年级上•山东泰安•期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左增DE时，

梯子底端力到左墙的距离40为0.7m,梯子顶端。到地面的距离。E为2.4m,若梯子底端力保持不动，将梯

子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m,则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为（）

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A.2.2mB.2mC.1.5mD.2.5m

【答案】A

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想

的应用.先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出力8的长，进而可得出结论.

【详解】解：在中，Z-AED=90°,4E=0.7m,DE=2.4m,

/.AD=>/AE2+DE2=2.5,

在中，N4BC=90。，BC=2m,AC=AD=2.5,

：,AB=8Ad-8c2=<6.25-4=1.5,

：.BE=AE+AB=0.7+1.5=2.2m,

故选:A.

2.（24-25八年级上•四川成都・期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某

校师生举行了消防演练，如图，云梯AC长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上（墙与地面垂直），云

梯底端A与墙角O的距离为7米.

⑴求云梯顶端C与墙角O的距离C。的长；

（2）现云梯顶端C下方4米。处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点。处，则云梯底端水平方向向右滑

动的距离A8为多少米.

【答案】（1）云梯顶端C与墙角。的距离CO的长为24m

⑵云梯底端在水平方向上滑动的距离48为8m

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

（1）在RtAOB。中，根据勾股定理即可得到求解；

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(2)在RtAOB。中，根据勾股定理求出OB,即可得到结论.

【详解】(1)解：•••在RtZiOAC中，AC=25m,AO=7m,

•••由勾股定理得人。2+CO2=AC2,

BP72+CO2=252,

解得：CO=24；

答：云梯顶端C与墙角。的距离CO的长为24m；

(2)解:vCD=4m,CO=24m,

・••OD=CO-CD=24-4=20(m),

在Rt/kOBD中，8。=25m,0D=20m,

由勾股定理得。。2+OB2=BD2,

BP202+OB2=252,

解得：OR=15,

OA=7m,

•••AB=OB-OA=15—7=8m.

答：云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8m.

3.（16-17八年级上•广东佛山・期末）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端〃离墙

7米.

⑴此时梯子顶端离地面多少米？

（2）若梯子顶端力下滑4米到C,那么梯子底端将向左滑动多少米？

【答案】⑴此时梯子顶端离地面24米；

⑵梯子底端将向左滑动了8米.

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键.

（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；

（2）构建直角三角形，然后根据勾股定理列方程求解即可.

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【详解】（1）解：如图，・・NB=25米，BE=7米,

梯子距离地面的高度4E=V252-72=24米.

答：此时梯子顶端离地面24米；

（2）解：•・•梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24-4）=20米，

：,BD+BE=DE=>JCD2-CE2=V252-202=15,

・・・DE=15—7=8（米），即下端滑行了8米.

答：梯子底端将向左滑动了8米.

4.（24-25八年级上•江苏苏州•阶段练习）在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男孩拽着绳子另

一端向右走，绳端从。移动到R同时小船从力移动到当且绳长始终保持不变.

⑴根据题意可知：ACBC+CE（填“>"、意可

⑵若CF=5米，力尸=12米，AB=9米,求小男孩需向右移动的距离.（结果保留根号）

【答案】⑴二

⑵小男孩需向右移动的距离为（13-件）米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键.

（1）由绳长始终保持不变即可求解；

（2）由勾股定理求出4C、8C的长，然后根据=-即可求解.

【详解】（1）解：•••AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，（8C+CE）的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始

终保持不变，

•••AC=BC+CE,

故答案为：=

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(2)连接AB,

•・•点8在直线4尸上，

・••点4、B、尸三点共线，

vCF1AF,CT=5米，4F=12米，48=9米，

在Rt△C4尸中，AC=>JAF2+CF2=V122+52=13米，

-：BF=AF-AB=12-9=3（米），

在Rt△CBF中,BC=>JCF2+BF2=V52+32=/米，

vAC=BC+CE,

CE=AC-BC=（13-取）米，

•••小男孩需向右移动的距离为（13-南）米.

题型二、旗杆高度问题

5.（24-25八年级上•福建泉州•期末）学过《勾股定理》后,某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆48高度，

信息如下：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆4B高度（如图甲）；

②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离CE为7米（如

图乙）.）.

设旗杆4B的高度为x米，根据以上信息，则所列方程为（）

A.x2+72=（x+2）2B.X2+72=（x-Z）2

C.（%-2）2+72=（%+2）2D.（x-2）2+72=x2

【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

根据题意，在RtZiAEC中，由勾股定理可得Q-2）2+62=/,数形结合是解决问题的关键.

【详解】解：设旗杆4B的高度为z米，

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;BE=CD=2米，CE=7米，

・•・根据以上信息，在RtzMEC中，由勾股定理可得。—2）2+72=，，

故选：D.

6.（24-25八年级上•全国・期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端

彳的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小强同学将绳子拉直，绳子末端落在地面点C处，点C到旅杆

底部点〃的距离为9米.

⑴求旗杆力B的高度；

（2）小强在。处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处,

点E到地面的距离E0为2米，求小强后退的距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：V2«1.41,73«1.73,

V5«2.24）

【答案】（1）12米

（2）2.2米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，物练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直

角三角形是解此题的关键.

（1）设旗杆力B的高度为X米，贝"C为（％+3）米，在中，运用勾股定理建立方程求解；

（2）如图，过E作EG14B于点G：则四边形BDEG是矩形，根据矩形的性质求出相关边长，在Rt△4GE中,

根据勾股定理求得得EG=56（米），再由CO=80即可求解.

【详解】（1）解：设旗杆的高度为％米，则4C为（％+3）米，

在48=90°,

222

・••AB+BC=ACf

•••BC=9米，

...%2+92=（%+3）2,

解得：x=12,

答：旗杆AB的高度为12米;

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（2）解：如图，过E作EGJ.于点G,

:•乙BGE=Z.AGE=90°,

Z.BGE=Z.B=Z.D=90°,

四边形BDEG是矩形，

.•.8G=DE=2米，EG=BD,

:.AG=AB-BG=12-2=10（米），

由（1）可知，AE=AC=12+3=15（米），

在RtUGE中，乙4GE=90。，

根据勾股定理，得EG=\/AE2-AG2=V152-102=5通（米），

:.BD=5通米，

•••C。=8。-8c=56-9右5x2.24-9=11.20-9=2.20、2.2米，

答：小强后退的距离约为2.2米.

7.（23-24八年级上.广东深圳•阶段练习）学过《勾股定理》后.某班兴趣小组来到操场上测量旗杆力8的高

度，得到如下信息：

①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）；

②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为3米，到旗杆的距离CE为10米（如图

2）.

根据以上信息，求旗杆的高度.

【答案】

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【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的

关键.设48=%米，在RtaACE中根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：设48=无米，根据题意得：

在RtUCE中，AC2=AE2+CE2,

即：（%+3）2=0-3）2+102,

解得：%=冬

答：旗杆力8的高度为胃米.

题型三、小鸟飞行问题

8.（24-25八年级上•河南郑州•期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣

的数学问题：有两棵树，一棵高6m,另一棵高2m,两树相距6m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树

的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（）

A.5mB.6mC.7mD.8m

【答案】C

【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，AD=6m,CE=

BD=2m,BC=DE=6m,乙4BC=90。，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解.

【详解】解：如图，

DE

由题意得：AD=6m,CE=BD=2m,BC=DE=6m,Z.ABC=90°,

=AD-BD=4m,

・••在Rt△力BC中，由勾股定理得：AC=>/AB2+BC2=2V13m,

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V3.6VVT5V3.7,

.\7.2<2VT3<7.4,

故选C.

9.（24-25八年级上•浙江•期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高48为11米，另一棵树高CD为6

米，两树的距离8C为12米.若一只小鸟从一棵树的树梢力飞到另一棵树的树梢C,则小鸟至少要飞行米.

【答案】13

【分析】本题考查了勾股定理，过C作CE平行地面，连接4C,由题意得CE=12米，4E=ll-6米，由

勾股定理可得4C的长，即小鸟至少要飞行的距离.

【详解】解：过C作CE平行地面，连接4C,

由题意得，48=11米，4£=11-6=5米，CE=BD=12米，

由勾股定理得，AC=yjAE2+CE7=A/52+122=13米，

故答案为：13.

10.（24-25七年级上•山东东营•期中）如图，小明操纵无人机从网尖A飞向旗杆顶端C,已知树高5m,旗杆

高21m,树与旗杆之间的水平距离为12m,则无人机飞行的最短距离为多少？

C

A

RD

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【答案】20m

【分析】本题考查了勾股定理的应用，作4E1CD于E,连接4C,由题意得：DE=AB=5m,AE=BD=12m,

△4EC=90。，求出CE=16m,最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关

键.

【详解】解：如图，作4E1C0于E,连接4C,

Z4c

BD9

由题意得：DE=AB=5m,AE=BD=12m,/.AEC=90°,

CE=CD-DE=21-5=16m,

AC=y/AE2+CE2=V122+162=20m.

即：无人机飞行的最短距离为20m.

题型四、大树折断问题

11.（21-22八年级下•福建福州•期中）如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m的点C处折断，倒下后

树顶端着地点4与树底端力相距12m,则这棵树在折断前的高度是（）.

【答案