2025-2026学年广东省佛山市南海区某中学高二年级上册10月月考数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省佛山市南海区艺术高级中学高二上学期10月月

考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

3

1.已知集合4=[x\-5<x<5]fB={-3,—1,0,2,3},则4nB=()

A.{-1,0)B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知向量Q=(%,2,-1),匕=(2,4,-2),若五〃另，则％=()

A.-1B.1C.-5D.5

3.若4B为互斥事件，3(A)=04,3Q1UB)=0.7,则P(B)=()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.7

4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放I可随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的

倍数的概率为()

A1n1厂22

A.-B.-C.—nD.-

5.已知向量五=(0,3,3),b=(-1,1,0),则五与板的夹角为()

AA-—6R0-6c213n”—3

6.已知空间四边形2BCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是8C、力。的中点，则荏•万的值

为()

A.a2B.4Q2C.D.1Q2

244

7.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为弼，两个零件是否加工为一等品相互独

立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()

A-2R—12C-4D5-6

8.在如图的正方体ABCD-AB'C'D'中，48=3,点M是侧面8CC'e内的动点，满足AM1B。，设力M与平

面BCC'B'所成角为。，则tan。的最大值为()

D'C

£43

C--

A.2B./234

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知某厂的产品合格率为08,现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是（）

A.合格产品一定少于8件B.合格产品一定多于8件

C.合格产品一定正好是8件D.合格产品可能是8件

10.（多选）在正方体力BCD-4中，。是底面的中心，M,N分别是棱。劣，的中点，则直

线。阳）

A.和力。垂直B.和力力1垂直

C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直

11.在楼长为1的正方体中，下列结论正确的是（）

A.异面直线AC与8Q所成的角为g

•J

B.西是平面48GD］的一个法向量

C.直线必当到平面力8。也的距离为伊

D.平面481c与平面4GD1间的距离为噂

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量G=（2,b—（-4,2,x）,若d_L则％=.

13.在空间直角坐标系中，4（—123）,若|4B|=，TTU,则m的值为.

14.已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是上选中两人都是女生的概率是

4，则选中两人中恰有一人是女生的概率为.

JLO

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

如图,在棱长为2的正方体A8CD-4181c中,E,F,G分别是BD,的中点,

(1)求证：EF1CF

⑵求我与CG所成角的余弦值.

16.(本小题15分)

某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都

“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0506在面试中

“通过”的概率依次为040.3,笔试和面试是否“通过”是独立的，那么

(1)甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？

(2)甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.

17.(本小题15分)

已知三棱柱4BC-4B1G的侧棱垂直于底面，484c=90。，AB=AC=AAX=1,E、/分别是棱

(1)求证：平面4EF：

(2)求点&到直线&E的距离.

18.(本小题17分)

甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10、9、8环的概率分别为看看乙一

030

次射击命中10、9环的概率分别为：、*一轮射击中，甲、乙各射击一次.甲、乙射击相互独立，每次射击

OO

也互不影响.

(1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率;

(2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为X,求X的值，和X对应的概率；

19.(本小题17分)

如图，已知四棱锥P-48C。中，底面4BCD为矩形，24J■平面4BCD,P4=48=2.

(1)求证:当=2时，平面P8D，平面24。;

(2)当4)时，

①求二面角8-PD-C的大小；

②求PB与平面PDC成角的正弦值.

参考答案

\.A

2.B

3.B

4.C

5£

6.C

7B

8.8

9.ABC

104C

1l.ARD

13.-7或13

1娱

15.【详解】(1)依题意，建立以。为原点，以。A,DC,CD1分别为％,y,z轴的空直角坐标系，如图,

则E(O,O,1),F(l,l,0),C(0,2,0),(7(2,2,1),

则方而=(1,-1,0),

所以前•丽=1-1+0=0,故前1京，HPEF1CF.

(2)由(1)得而=(2,0,1),则前•嬴=2-1=1,|秒|二门』"|=追

_715

所以cos(前，笈)=乔丽_[

|EF||C5|一/3x-/5一年

所以“与CG所成角的余弦值为关.

.1J

16.【详解】(1)记“甲通过笔试”为事件“甲通过面试”为事件力2，”甲获得录取”为事件4“乙

通过笔试”为事件为,“乙通过面试”为事件当，“乙获得录取”为事件8,则

P(4)=PQ4I)PQ42)=0.5x0.4=0.2,P(8)=P(Bi)P(%)=06x0.3=0.18,即P(4)>P(B),

所以甲获得录取的可能性大.

(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则尸(。)=P(AB)+P(AB}=P(A)P(B)+P(A)P(B}=

0.2x0.82+0.8x0.18=0.308.

17.【详解】⑴•••三棱柱力BC-481cl的侧棱垂直于底面，48/0=90。,

・•・以力为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，

-AB=AC=AAi=l,E、尸分别是棱C]C、8c的中点,

4(0,0,0),81(1,0,1),E(0,l^),F|j,1,0),

庭=(一另,一1),而=(0,闾,而=(另,0),

•••用•荏=0,帝•都=0,•••帝1荏，存1万，

-AEQAF=A,力七(=平面/1£尸，力Fu平面力EF,二尸1平面。E尸.

(2)；&(0,0,1),.••福=(1,0,0),庠二(一1,1,一习，

cos(48i,81©)=2•••sin(a瓦，瓦局=络

0+1+；

故点4到直线&E的距离为d=|瓦瓦|•sin<耳瓦，庠>=¥,

18.【详解】(1)设一次射击后，甲命中的环数为G乙命中的环数为〃，

则甲命中的环数不高于乙命中的环数为

P(U)=P(f=8)+P(f=9)+P(S=10)Pe=10)=1"25+2"t1=2《；

(2)题意可知随机变量X的可能取值有17、18、19、20,

P(X=17)=|x|=l,P(X=18)=|xl+|x|=ll,

P(X=19)=|xl+|x|=|,P(X=20)=|x|=i

19.【详解】(1)因为24_L平面力BCO,且8Du平48c。，所以_LB0,

又因为底面N8CD为矩形，AB=AD=2,所以底面48CD为正方形，即AC_L8。,

又因为4cnPA=A,AC,PAu平面P4C,所以8。1平面PAC,

又因为80u平面P80,所以平面PBO_L平面P4C;

①如图建立空间直角坐标系，由AD=/lP力=48=2,

可得：P(2,0,0),5(0,2,0),D(0,0,/2),

则而=(-2,0,/2),DC=AB=(0,2,0),丽=(-2,2,0),

设平面P8。的法向量为4=(%,力,21),

则归,叱(孙为*1)•(-2,0,英)=0

I石•同=(ayi，分)•(-2,2,0)=0