2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷01（人教版第13~15章）（全解全析）

八年级数学上学期期中模拟卷01（人教版

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版新教材三角形〜轴对称。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

【分析】考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不符合题意；

故选A.

2.（3分）若三角形的两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长可能是（）

A.7B.4C.13D.5

【答案】A

【分析】考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三

边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.根据三角形的三边关系求解即可得.

【详解】解：设这个三角形第三边的长为X,

,•,这个三角形的两边长分别为4和9,

•­,9-4<%<9+4,即5Vx<13,

观察四个选项可知，只有选项A符合，

故选：A.

3.（3分）如图，在人字梯的中间一般会设计一拉杆，这样做的原理是（）

A.两点之间，线段最短B.三角形的稳定性

C.两点确定一条直线D.两直线平行，同位角相等

【答案】B

【分析】考查三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，平行线的性质，关键是掌握三角形的稳定性.由

三角形具有稳定性，即可得到答案.

【详解】解：在人字梯的中间一般会设计一拉杆，可以使人字梯稳定，

这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性.

故选：B.

4.（3分）如图，在△4BC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知乙4cB=NE,AC=CE,添加以

下条件后，仍不能判定△4BC三△CDE的是（）

A.Z-A=Z,DCEB.AB||DE

C.BC=DED.AB—CD

【答案】D

【分析】考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.根据全等三角形的判定方

法逐一判断即可.

【详解】解：A、/-A=Z.DCE,AC=CE,乙ACB=AE,由“ASA”能判定△ABC三△CDE,不符合题意；

B、AB||DE,则=再结合NACB=NE,AC=CE,由"AAS”能判定△ABC三△CDE,不符合题

忌；

C、BC=DE,乙ACB=LE,AC=CE,由“SAS”能判定△ABC三△CDE,不符合题意；

D、AB=CD,AC=CE,AACB=Z.E,由“SSA”不能判定△力BC三△CDE,符合题意；

故选：D.

5.（3分）如图是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是（）

A.已知两边及夹角B.已知三边

C.已知两角及夹边D.已知两边及一边对角

【答案】C

【分析】考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键.由图可知已知线段48,a,0,由此即

可判断解答.

【详解】解：由图可知：已知线段AB,ACAB=a,乙CBA=0,

故选：C.

6.（3分）一副三角板如图方式摆放，BM平分DM平分乙BDC,贝此BMD的度数为（）.

107.5°C.112.5°D.115°

【答案】C

【分析】主要考查角平分线的性质、三角形内角和为180。，掌握其性质及两特殊三角形角的度数是解题的

关键.

由题可知乙4BD=75°,4BDC=60°,再结合角平分线及三角形内角和为180。即可求解.

【详解】根据题意乙4BC=45°/CBD=30°/BDC=60°,

•••/.ABD=75°,

又BM平分NAB。，DM平分N8DC,

所以NMBD=彳=37.5ZBDM=30°,

在△BDM中,4MBD+4BDM+/.BMD=37.5°+30°+Z.BMD=180°,

解得N8MD=112.5°.

故选：C.

7.（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分4B,连接BD,△BDE的周长为20,△4BC的周长比四边形BCDE

的周长多10,则线段DE的长为（）

【答案】B

【分析】考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到

线段两端点的距离相等.先根据线段垂直平分线的性质得到。力=。8,AE=BE,再利用△8DE的周长为

20得至IJBE+BD=20—DE,接着利用力B+4C+BC—(CD+DE+BE+BC)=10得到BE+BD—DE=10,

所以20—OE—DE=10,然后解方程即可.

【详解】解：•••OE垂直平分4B,

■■.DA=DB,AE=BE,

•••△BDE的周长为20,

■■.DE+BE+BD=20,

.•.BE+BD=20—DE,

・•・△ABC的周长比四边形BCDE的周长多10,

■.AB+AC+BC-(CD+DE+BE+BC)=10,

即2BE+AD+CO+BC—CD—DE—BE—BC=10,

.-.BE+BD-DE=10,

.-.20-DE-DE=10,

解得DE=5.

故选：B.

8.（3分）已知一张三角形纸片4BC（如图甲），其中4B=4C.将纸片沿过点8的直线折叠，使点C落到4B

边上的E点处，折痕为BD（如图乙）.再将纸片沿过点E的直线折叠，使点4恰好与点D重合，折痕为EF（如

图丙）.原三角形纸片力BC中，N4的大小为（）

【答案】C

【分析】主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰

三角形的性质是解题的关键.设乙4=x,由折叠的性质得到NEn4=N4=x,根据三角形外角的性质和等

腰三角形的性质得到乙4BC=NC=2x,再利用三角形内角和定理求出》,即可求出答案.

【详解】解：设=

由折叠得：/-EDA=Z.A=x,Z.C=乙BED=Z.A+Z.EDA=2x,

AB=AC,

•1•Z.ABC=zC=2x,

•-Z.A+/.ABC+ZC=180°,

•••x+2x+2x=180°,

••­x—36°,

•••/.A=x=36°.

故选：C.

9.（3分）如图，在四边形ABC。中，ABACAD,ABIAC,力于点£.若BD=20,AE=6,则

△BCD的面积是（）

A

A.60B.40C.30D.20

【答案】B

【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形.过点C分别作4E,交4E的延长线

于点R作CG1BZ）于点G,根据等腰三角形的性质求出DE=BE=TBD=10,根据直角三角形的性质及角

的和差求出NB4E="CF,利用AAS证明△4BE三△C4F,根据全等三角形的性质求出BE=AF=10,则

EF=AF-AE=4,根据平行线间的距离处处相等求出CG=EF=4,再根据△BCD的面积=求解

即可.

【详解】解：如图，过点C分别作CFSE,交4E的延长线于点作CG1BD于点G,

'：AB=AD,AE1BD,

:.DE=BE=^BD=10,

'.'AB1AC,CF1AE,

+ACAF=^CAF+AACF=90°,

：.Z-BAE=Z.ACF,

：.AABE=ACAF(AAS),

.-.BE=AF=10,

：.EF=AF-AE=4,

MCGE=Z.GEF=Z.CFE=90°,

：.CG=EF=4,

△BCD的面积=^BD-CG=|x20x4=40,

故选：B.

10.（3分）如图，点C是线段4B上一点，△ACM、ABCN是等边三角形.AN与CM交于点、E,BM与CN交

于点R©V与BM交于点D下列结论：①AN=BM；②CD1EF；③△ECF是等边三角形；④DC平分

"DB.其中正确的有（）个

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键.由

SAS可证aaCN三△MC8,可得2N=8M,故①正确；由ASA可证△4CE三△MCF,可得CE=CF,可证

△ECF是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得=可得NCED+/MFC=180。,

则可证DE不一定等于DF,即CD不一定垂直平分EF,故②错误；由全等三角形的性质可得S^CN=S^MCB，

由面积公式可证CH=CG,由HL可证RtZkCOG三RtZkCOH,可得/CDG=Z.CDH,故④正确.

【详解】解：ABCN是等边三角形，

.-.AC=CM,CN=CB,^ACM=ABCN=60°,

:/ACN=乙MCB,

在△ACN和aMCB中，

(AC=CM

\AACN=乙MCB,

ICN=CB

；.△ACN三△MCB(SAS),

.-.AN=BM,乙CMB=4CAN,

故①正确；

•••Z4CM=乙BCN=60°,

:/MCN=60°=/.ACM,

在△力CE和AMCF中，

(/LACE=乙MCF

]AC=MC,

{/.CAE=Z.CMF

△ACEm△MCF(ASA),

・・.CE=CF,

,.2ECF=60°,

・•.△ECF是等边三角形，

故③正确，

-AACE=AMCFf

・•・乙4EC=乙MFC,

-A.AEC+ACED=180°,

"CED+乙MFC=180°,

.,zCE。不一定等于4CFM,

・・・4DEF不一定等于4DFE,

.•・DE不一定等于DF,

又・・・

CE=CFf

・•・CD不一定垂直平分EF,

故②错误；

如图，过点。作CG,4V于G,CH上MB于H,

•••S/XACN=SAMCB，

・•・—N•CG=：BM-CH,

；.CH=CG,

在Rt△COG和Rt△CO”中,

(CG=CH

LCD=CD'

.-.Rt△CDG^Rt△CO"(HL),

"CDG=乙CDH,

.•CD平分乙40B,

故④正确；

综上所述：正确的有①③④，一共3个;

故选：B.

二、填空题（共18分）

11.（3分）已知4（a—2,—1）与点B（—1力+2）关于x轴对称，则a+b=

【答案】0

【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可.

考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键.

【详解】解：4（a—2,—1）与点B（—1力+2）关于x轴对称，

故a—2=-l,b+2=1,

解得a=l,b=-1,

故a+b=l—1=0,

故答案为：0.

12.（3分）在△ABC中，ZC=90°,zX-zB=30°,贝！UA=.

【答案】60°

【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出NA+NB=90。，解方程组即可.

【详解】解：在△4BC中，ZC=90°,

.-.zX+NB=90°,

的七铲4f1fz■4+Z.B=90°z（/.A=60°

解方程1组t乙4一乙B=30°得B，UB=30°

故答案为：60°.

【点睛】考查了三角形内角和和解方程组，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组.

13.（3分）如图，在△ABC中，AD是aABC的中线，AB=12,AD=8,则4C的取值范围是.

【答案】4<47<28

【分析】考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长/。至点E,使=连接BE,证明

AADC=AEDB,进而得到4：=BE,根据三角形的三边关系求出BE的范围，即可.

【详解】解：延长4。至点号使连接BE,贝lj：AE=2AD=16,

•・弘。是的中线，

：.BD—CD,

又•・•乙40c=乙BDE,

・•・△/DC三△EDB,

：.AC—BE,

-AB=12fAE=16,

：.AE-AB<BE<AE+AB,即：4<BEV28,

.-.4<AC<28；

故答案为：4<AC<28.

14.（3分）如图，在RtaABC中，ZC=90°,乙CAB=2乙B,AD平分NC4B,若CD=2,贝ijBD的长度为

【答案】4

【分析】考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得NB=30。,

Z.CAB=60°,进而由角平分线的定义得NC4D=ABAD=^CAB=30°,即得4D=2CD=4,

乙BAD=LB,据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：•.NC=90。，

：./.CAB+NB=90°,

,：Z-CAB=2（B,

・・・3/B=90°,

"B=30°,

・•/CAB=60°,

•・・ZD平分乙CAB,

1

r.^CAD=乙BAD=^CAB=30°,

：.AD—2CD—4,Z-BAD—乙B,

：.BD=/D=4,

故答案为：4.

15.(3分)已知△ABC是等腰三角形，若/D为腰BC边上的高，当=2ND时，NC/8的度数是

【答案】15。或30。或75。

【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想解答即可.

考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：当=B/时，取的中点。，连接DQ,

-AB=2AD,ADLBCf

.-.AD=DQ=BQ=AQ=|XS,

：./-B=2BDQ,Z-DQA=Z-DAQ,Z-B+Z-DAQ=90°,

-Z.DQA=乙8+(BDQ=2乙B,

；/B+2(B=90°,

-1ono_/D

=30°,/.CAB=AACB=­--=75°；

当=时，-AB=2ADfADIBC,

根据前面证明得NB=30°,

：./.CAB=/.CBA=30°；

当BC=员4时,-AB=2AD,AD1BC,

根据前面的证明，得乙480=30。

：.Z-CAB=Z.ACB；

-Z.ABD=30°=乙CAB+乙ACB,

i^CAB=15°.

A

ti

D

故答案为：15。或30。或75。.

16.（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分N4BC,乙DCB=a,乙4BC=。,

/-BAD+^CAD=180°,那么ND4c的度数为（用含a、/的关系式表示）.

【答案】a+5—90。

【分析】主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关

键.过。点作DE184于E点，过。点作DF18C于F点，过。点作DG，4C于G点，判定力。为NE4C的平分线,

CD为乙4CF的平分线，即可得出AD4C的度数.

【详解】解：如图，过。点作DE1B力于E点，过。点作DF1BC于尸点，过。点作DG，4C于G点，

又・••BD是乙4BC的平分线

•••DE=DF,

又VZ-BAD+/.CAD=180°,4BAD+^EAD=180°,

Z-CAD=Z-EAD,

.・.40为®C的平分线，

・•.DE=DG,

・•.DG=DF.

・•・CO为乙4CF的平分线，

•・,Z-DCB=a,

••・乙DCF=180。-a,

^ACF=2乙DCF=360°-2a,

・•・ABAC=^ACF-/.ABC=360°-2a-P，

ACAE=180°-(360°-2a—/?)=2a+6—180°,

•••ADAC="CAE=a+90°,

故答案为：a+1/?-90°.

三、解答题（共72分）

17.（6分）如图，在△ABC中，CD148于点。，BE1AC于点E,BE、CD相交于点尸，若=58。，求NBFC

的度数.

【答案】122。

【分析】主要考查了垂线定义，三角形内角和定理，连接。E,根据垂线定义得出N4DF=N4EF=90。，根

据44DE+NFDE=90。，/.AED+/.FED=90°,得出NA+NDFE=180。，根据=58。，求出

乙DFE=180°-58°=122。即可.

【详解】解：连接OE,

•:CD14B于点BE1/C于点E,

：.Z.ADF=^AEF=90°,

.-.Z.ADE+AFDE=90°,AAED+/.FED=90°,

•・•△/+乙ADE+^AED=180°,乙DFE+乙FDE+"DE=180°,

：./-A+乙DFE=180°,

"DFE=180°-58°=122°,

"BFC=122°.

18.（6分）如图，点。在ZB上，月在/C上，AB=AC,乙B=cC,求证：AD=AE.

【答案】见解析

【分析】考查了全等三角形的判定与性质.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形的公共边和公共角.

根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE=△AEB,再由全等三角形对应边相等可说明结论.

【详解】证明：在与△4CD中，

Z.A=Z.A

AB=AC,

Z-B=Z-C

△ACD=△XBE（ASA）,

--AD=AE（全等三角形的对应边相等）.

19.（8分）如图，的外角的平分线BP,CP相交于点尸，「后1/。于点石，PF1AC于

点、F.

(2)连接力P,若乙4BC=40。，求乙4PC的度数.

【答案】(1)见解析

(2)20°

【分析】主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关

键.

(1)过P作PGLBC于G,根据角平分线性质得出PE=PG,PF=PG,得出答案即可；

(2)根据角平分线的判定得出2P平分NB4C,根据角平分线定义得出NCaP=^NBaC,根据三角形外角性

-11

质得出4PCH=/.CAP+/.APC,根据4BCH=/.BAC+/.ABC,得出式NBAC+N4BC)=^BAC+4APC,最

后求出结果即可.

【详解】(1)证明：过尸作PG1BC于G,如图所示：

•••PB平分NCBD,PE1BD,

：.PE=PG,

同理：PF=PG,

.-.PE=PF；

(2)解：-PELAD,PFLAC,PE=PF,

"P平分NB4C,

i

：.Z.CAP=jzBXC,

•：CP平分4BCH,

;/PCH=jzBCH,

MPCH=^CAP+^APC,

电BCH=^BAC+^APC,

MBCH=/.BAC+/LABC,

•^Z-BAC+/.ABC）="BAC+^APC,

i1

：./.APC=jzXBC=1x40°=20°.

20.（8分）如图1,在14x7的△ABC长方形网格中，每个小正方形的边长为1,小正方形的每一个顶点叫

(图1)(图2)

(1)请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

①请画出△4BC的中线ZP和高BH.

②在线段ED右侧找到点F,使得△ABC=△EFD.

(2)要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在无轴上找点尸，使4E平分NBEF.

【答案】⑴①见解析；②见解析；

(2)见解析

【分析】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题.

(1)①取BC的中点尸(BC与网格线的一个交点)，连接4P,取格点7,连接BT交2C于点〃，线段即为

所求；

②利用数形结合的思想，旋转90度和平移，作出==即可；

(2)将△ABE绕点/顺时针旋转90。到△40M位置，可得N4M。=N4EB,再找到EM边上的中线4G,延

长4G交x轴交点R连接EF,可得NFE4=N4MF=NBE4即是所求点尸.

【详解】(1)解：①△4BC的中线4P和高如图1.1,

图LI

则线段2P,线段即为所求；

②如图1.2,△EFD即为所求;

(2)解：4E平分NBEF,如图2所示,

则点尸为所求.

21.(10分)如图，4)是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△4BD和△4CD的高，连接EF交4D于点0.

(1)求证：力。垂直平分EF；

(2)若匕EDF=120°,求证：AO=3DO.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)由角平分线的性质定理可证△D4Ew^D4/7(AAS),即得出=从而可证

△OZE三△OZF(SAS),即得出乙4。£*=乙4。尸=90。，0E=OF,即可得出结论；

(2)由题意可求出4及4F=60。，再根据角平分线的定义得出乙。/尸=30。，Z-DFO=30°,最后结合含30

度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】(1)证明：・・・4。是的角平分线，DELAB,DF1AC,

••・DE=DF,Z.AED=^AFD=90°,Z.DAE=Z.DAF,

・•・Rt△DAE=Rt△ZMF(AAS),

・•.AE=AF.

'.'AO=AO,

・•.△OAE=△OZF(SAS)

・•.乙40E=乙40F=90°,OE=OF,

・•・4。垂直平分EF；

(2)证明：v/-EDF=120°,/.AED=Z.AFD=90°,

・•.Z,EAF=60°.

•・•40平分/

•••2LDAF=30°,

：.AD=2DF.

vZ.AOF=90°,

・••Z.AFO=60°,(DFO=30°,

；.DF=20D,

AD=4。0,

：.A0=3D0.

22.（10分）如图，在△ABC中，AB=AC,^BAC=a,点M为BC的中点，点。在MC上，以点力为中心,

将线段4D绕点4顺时针旋转a得到线段4E,连接BE,DE.

A

E,

N

BMDC

(1)用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；

(2)过M作4B的垂线，垂足为F,MF与DE相交于点N,求证：NE=ND.

【答案】(1)BE+MD=8M,见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据旋转的性质，可得ND4E=NB4C=a,力。=4E,根据全等三角形的判定和性质，得

△aBEmZkACD(SAS),BE=CD,根据=MC=MD+DC,等量代换，即可；

(2)根据等腰三角形的判定和性质，可得aFBM是等腰三角形，方法一：延长BE、MN交于点“，作EGIIBC

交MH于点G,根据等腰三角形的性质，可得N1=N2=N3,EH=EG,BH=BM=CM；根据BE=CD,

可得BH—BE=CM—CD,得到EH=DM,根据全等三角形的判定和性质，得到△HGN三△DMN,即可;

方法二：延长BE、MN交于点H,过点。作BE的平行线交直线MN于点G,根据全等三角形的判定和性质，可

得N1=42=43=N4,得到DM=DG,BH=BM=CM,BH-BE=CM-CD,根据全等三角形的判定

和性质，得到△EHN三△DGN,即可；方法三：延长BE、MN交于点/,过点。作DG1MN的延长线于点G,

作EH1FG于点H,同理，证明A/BM是等腰三角形，得到41=42=43,推出B/=BM=CM；根据全等

三角形的判定和性质，得到△EHN三△DGN,即可.

【详解】(1)解：证明如下：

由旋转可得，/.DAE=/.BAC=a,AD=AE,

'-Z-DAE—Z-BAD=乙BAC—Z-BAD,

：.Z.BAE=Z.CAD,

(AB=AC

在△ABE^\△ACD中，)乙BAE=Z.CAD,

IAE=AD

AABE=AACD(SAS)f

.,.BE=CD,

•・•点M为BC的中点，

・•.BM=MC=MD+DC,

・・・BM=MD+BE.

(2)解：方法一：延长BE、MN交于点H,作EGIIBC交MH于点G,

/.z.2=z.3,

•・•△ABE=△4CD(SAS),BE=CD,

：.Z-ACD=Z-EBA,

-AB=AC,

：.Z.ACD=Z.ABC,

：.Z.ACD=Z-EBA=乙ABC,

・・.B4是乙EBC的角平分线，

-MFA.AB,

是等腰三角形，

•,.zl=z2,

.,.zl=z.2=z3,

.-.EH=EG,BH=BM=CM,

••,BH-BE=CM—CD,

；,EH=DM,

・・.EG=DM；

.•.△EGNwZkDMN,

.'.NE=ND；

方法二：延长BE、MN交于点H,过点。作BE的平行线交直线MN于点G,

••.z.1=z2,

•・•△ABE=△ZCO(SAS),

：.Z.ACD=Z.EBA,BE=CD,

-AB=AC,

：.Z.ACD=Z-ABC,

.'.Z-ACD=Z-EBA—乙ABC,

4是NEBC的角平分线,

-MH1ABf

・•.△HBM是等腰三角形，

.•.z2=z3,

vz.3=z4,

.,.zl=z2=z3=z4,

.'.DM=DG,BH=BM=CM,

：.BH-BE=CM-CD,

-，EH=DM,

.'.EH=DG；

,-.AEHN=ADGN9

・・.NE=ND；

H

G

方法三：延长BE、MN交于点/,过点。作。G1MN的延长线于点G,作EHL/G于点H,

同理，证明△出“是等腰三角形，

/.Z1=z2=z3,

.-.BI=BM=CM；

由（1）得BE=CD,

.-.BI-BE=CM—CD,

.-.EI=DM；

・•.△E/H三△OMG,

；,EH=DG；

:.△EHNwADGN,

；,NE=ND.

A

23.（12分）在△ABC中，AACB=90°,zX=30°,E是线段4B的中点.

图1图2图3

(1)如图1,连接EC,求证：aCBE是等边三角形；

(2)如图2,8D是△力的角平分线，点N是线段AC上的一点，以BN为一边,在BN的下方作NBNG=60。,

NG交DE延长线于点G.试探究ND,DG与力D数量之间的关系，并说明理由；

⑶如图3,2B=4,点N为直线NC上的一动点，连接BN,在8N下方作等边△BGN,贝！JCG的最小值为.

【答案】(1)见解析

(2)40=DG+DN^AD=DG-ND,理由见解析

(3)1

【分析】(1)先证BC=%B,再证BE=BC,然后由等边三角形的判定即可得出结论；

(2)分两种情况讨论，当点N在线段CD上时，延长至点”，使得DH=DN,连接NH,根据角平分线的

概念和等边三角形的判定，证出△“£)可是等边三角形，再得出△HGN三△DBN(ASA),由此得出

AD=DG+DN,当点N在边4D上时，同理得出4D=DG—ND即可；

(3)过点G作GP_L48于P,AC与GP交于点。，连接BD,过点C作CFLGE于尸，。时18。于赫，根据等

边三角形的性质得出"BG=NNBC,再由全等三角形的判定得出△NCB三△GPB(AAS),得出PG是4B的垂

直平分线，CG的最小值就是CF的长，再由含30度角的直角三角形的性质得出CM=如。=1,即可求出CF

的值.

【详解】(1)在RtZi4BC中，AACB=90°,Z4=30°,

."=60。，BC=^AB,

■-E是线段4B的中点，

：.BE=^AB,

.-.BE=BC,ZS=60°,

.•.△CBE是等边三角形.

（2）分两种情况：

①当点N在线段CD上，结论：AD=DG+DN,理由如下:

如图2所示：延长ED至点使得DH=DN,连接NH,

图2

"Z.BNG=60°,

.•/HNG=120°,

・••BD是△力BC的角平分线，

：.^ABD=乙CBD=|x60°=30°,

.•.乙4=Z.ABD=30°,

：.AD=BD,

・・・06148于点。

：.Z-ADE=乙BDE=60°=乙HDN,

又・.・ON=DH,

・•.△”DN是等边三角形，

；,NH=DN4H=乙DNH=60°

"BND=120°=乙HNG,

在△HGN和AOBN中，

(Z-H=乙BDN

]NH=DN,

I乙HNG=乙BND

△HGN=△DBN(ASA),

，BD=HG=DG+DH,

.-.AD=DG+DN；

②当点N在边上时，如图3,结论：AD=DG—DN,理由如下:

如图3,延长至〃，使得DH=DN,

图3

由①得：DA=DB/2=Z3=60°,

.・.44=乙5=60°,

・•.△ND”是等边三角形，

：.NH=ND4H=Z6=60°,

=Z.2,

•.2BNG=60°=z6,

•'-Z-BNG+z.7=z.6+z.7,

即4ONG=乙HNB,

在△ONG和△”NB中，

(Z.H=z2

]HN=DN,

LLHNB=乙DNG

△DNG三△HNB(ASA),

：.DG=HB,

•：HB=HD+DB=ND+AD,

.-.DG=ND+AD,

-，AD=DG—ND；

综上，NQDG与4。数量之间的关系为：AD=DG+DN或AD=DG—ND；

(3)-^ACB=90°,^BAC=30°fAB=4,

...BC=1^=1X4=2,

如图4,过点G作GP148于尸，4c与GP交于点。，连接BD,过点。作CF1GE于产，CM180于

・・・△BNG是等边三角形，

；.BN=BG/NBG=60°,

^^ABC=60°,

：,/.ABC=乙NBG,

"PBG=乙NBC,

MBPG=Z.NCB=90。,BN=BG,

在△NCB和△GPB中，

(乙PBG=乙NBC

]Z.BPG=乙NCB,

IBN=BG

；,ANCB三△GPB^AAS),

•，BP=BC=2,

:・P是48的中点，

-PGLAB,

・・・PG是ZB的垂直平分线，即点G在直线PG上，CG的最小值就是CF的长,