2025-2026学年北师大版高二数学期末模拟卷（含解析）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：北师大版2019选择性必修第一册。

4.难度系数：0.65o

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

I.已知空间向量3=(6,2/)，S=(2,x,-3),若"25)12,则“()

c2321

A.4B.6C.—D.—

44

2.已知圆G：/+/=4,圆6：/+/-4工—4j，+4=0,两圆的公共弦所在直线方程是()

A.x+y+2=0R.x+y-2=0C.x+y+1=0D.x+y-1=0

3.某椭圆的两焦点坐标分别为甲-氐0),N石,0),尸是椭圆上一点，若历|历|忖曰=8,则该

椭圆的方程是()

A.三+匕=1B.二+匕=1C.二+匕=1D.—+i=1

72279449

4.海口市作为苜批“国际湿地城市”，有卡富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小

组计划利用5月1日至5月5EI共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿

地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考

察安排在5月1日或5月2则不同的考察安排方法有()

A.24种B.48种C.98种D.12()种

5.若事件A,〃发生的概率分别为P(㈤，。⑻，(P(4)>0,P(8)>0),则“尸(却力)=尸⑻”是

“尸(4|8)二尸(4)”的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分又不必要

6.为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如卜1x2列联表：

未治愈治愈合计

服用药物1()4050

未服用药物203050

合计3070100

则下列说法一定正确的是（）

附：力2=（°+晨端2）0+"）（其中〃=

临界值表:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

C.在犯错误的概率不超过（）.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提卜，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

7.三知双曲线C：二—：=1,两焦点分别为％,F,,过右焦点月作直线/交右支于A,B点,且方二。万"

a~b~3

若/月48=0,则双曲线C的离心率为（）

357

A.-B.—C."D.2

235

8.如图，在直三棱柱力4C-44G中，力8=8。=44=2,2为线段4冏的中点，。为线段上

一点，则△BC。面积的取值范围为（）

A

B

A.[2,网B.[2,向C.[收⑸D.[立⑸

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17

B.在比例分配的分层随机抽样中，若第•层的样本量为10,平均值为9,第二层的样本最为20,平均

值为12,则所抽样本的平均值为11

C.若随机变量则尸（X=2）=盘

V3；243

D.若随机变量X〜N（4Q2）S>O）,若P（XN2）=0.8,则户（X>6）=0.2

10.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河'’隐藏着一个有趣的数学

问题—“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎

样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，〃，相其方程分别为2x-y=0,y=o,将军的出

发点是点4（3/），军营所在位置为仪6,3）,则下列说法错误的是（）

A.若将军先去河流机饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为（1,2）

B.将军先去河流〃饮马，再返【可军营的最短路程是石

C.将军先去河流机饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程是隔

D.将军先去河流〃饮马，再去河流〃,饮马，最后返回军营的最短路程是2万

11.已知椭圆G：W+E=l与双曲线G：£-£=1〃>0）有公共焦点耳，F?,

a'b~m'n~

G与g在第一象限的交点为P,且PFilPfJ记C，G的离心率分别为弓，%下列结论正确的是（）

A.若|尸用二屿+1,归用=疗-1,则6=2

B.若5=浮,则色=2

C.egZ的最小值为1

D.记△片户乃的内心为/,g的右顶点为则/E_Lx轴

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随机变量4的分布列如下:

若=则。（/=.

13.若（2-ip的展开式中二项式系数和为4所有项系数和为8,则力+8=.

14.过抛物线歹2=4x上一动点P作圆C:。-4）2+/=,4,>o）的两条切线，切点分别为46,若|48|・|尸。|

的最小值是12,则厂=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位:

万吨）的折线图，其中年份代码I〜9分别对应年份201S〜2024.

9

已知2＞产12000,2。产51800.

1=1

（1）可否用线性回归模型拟合•>'与/的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.

⑵若根据所给数据建立回归模型j=-138f+2025,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化

物排放量？请说明理由.

.

附：相关系数，.二==；--------------

Vj=l/=1

16.（15分）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零

件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个

320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数7的分布列为

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2台设备使用期间需更换的零件个数，〃代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

(I)求X的分布列；

(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在〃=1D和〃中，应选择哪一个？

17.(15分)已知椭圆4+，=1(。＞力＞0)的左、右焦点分别为"，E，且内用=2及，动直线/与

椭圆交于P，。两点：当直线；过用时，△PQG的周长为8.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线/过点£0,0),椭圆的左顶点为力，当△力尸。面积为旧时，求直线/的斜率距

18.(17分)如图，在四棱锥力中，四边形48CO为正方形，力4=6,尸。=尸。=炳，二面带尸-CO-4

(1)证明：平面P/14J•平面

(2)求四棱锥P-ABCD的体枳.

(3)若点M在线段P。上，且平面M4C_L平面力8CO,求直线4W与平面P8C所成角的正弦值.

19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧儿里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他研究发现：如果一个动点尸到两个定点的距离之比为常数za＞o且入工1),那么点。的轨迹为圆，这

就是著名的阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知以及)直线小次-J，+2/+3=0,直线

6：x+/)；+3/+2=0,点P为4和4的交点.

(1)求点2的轨迹方程。；

(2)点M为曲线。与x轴正半轴的交点，直线/交曲线。于4B两点，M与力，8两点不重合，直线“力、

的斜率分别为年、内，且人"隹=-；，证明直线/过定点，并求出该定点：

⑶当点P在曲线。上运动时，求之呐+-。0|的最小值.

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：北师大版2019选择性必修第一册。

4.难度系数：0.65o

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

I.已知空间向量3=(6,2/)，S=(2,x,-3),若"25)12,则“()

c2321

A.4B.6C.—D.—

44

【答案】C

【详解】因为1—25=(6,2,1)-2(2,x,-3)=(2,2-2x,7),

因为R-涕)_L3,所以12+4-4x+7=0,解得x=等.

故选：C.

2.已知圆G：/+/=4,圆6：/+/-4工—4『+4=0,两圆的公共弦所在直线方程是()

A.x+y+2=0B.x+y-2=0C.x+y+l=0D.x+y-1=0

【答案】B

【详解】由圆4：/+/=4,^|C,:X2+/-4X-4J；+4=0,

两式作差得，4x+4y-4=4,即工+卜一2=0,

所以两圆的公共弦所在直线方程是文+^-2=0.

故选：B.

3.某椭圆的两焦点坐标分别为平-技0),旦(技0),尸是椭圆上一点，若可！•"，|历|忖周=8,则该

椭圆的方程是（）

2，o->

x

A~y~i卜ky'i

A.—+—=iB.—+—=i

7227

C.—+^-=1D.二十仁=1

9449

【答案】C

【详解】设|产制=机，|尸周=〃，

因为尸片1尸6，比勾=2不，所以苏+〃2=Q石］即〃/+〃2=20;

因为|PK||P周=8,所以加〃=8,

所以=m2+n2+2mn=20+2x8=36；

因为〃?>0,〃>0,所以m+〃=6,即2a=6,0=3,

所以/=9,b2=a~-c~=4>

所以椭圆的方程为《+仁=1，

94

故选：C.

4.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小

组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地

公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安

排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（）

A.24种B.48种C.98种D.120种

【答案】B

【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有A；=2种；

再安排剩下四天的行程有A：=24,所以一共有2x24=48种安排方法.

故选：B

5.若事件A,8发生的概率分别为尸（⑷,P（-）,（P（/）>0,P（8）>0）,则“P伊M）=P（R”是

“P（H8）=P（X）”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

【答案】C

【详解】因为P（8|/）=P（8）,所以P（［4）=萼兴=尸（8）,所以pq5）=P（4）.p（8）,

/\A）

所以%叶磊=*;?⑷

反之由尸（4|8）=P（⑷能推出。（3|4）=尸（8）,

所以“〃（必力）=〃（刃”是“〃（川为=〃（⑷”的充分且必要条件.

故选：C

6.为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2x2列联表:

未治愈治愈合计

服用药物104050

未服用药物203050

合计3070100

则下列说法一定正确的是（）

,n(ad-be)2

附：八西6乖同西(其中〃=a+"c+").

临界值表;

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过（）.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

B.在犯错误的概率不超过（）.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

【答案】A

【详解】解：由列联表中数据，计算刷=100x（300-800）2=4762,

30x70x50x5021

且3.841<4.762<5.024,

所以有95%的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

所以在犯错误的概率不超过（）.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”.

故选：A.

/v?—•5—

7.三知双曲线。：^-上=1，两焦点分别为耳，&过右焦点互作直线/交右支于A,B点,且45=♦力尸2,

cr3

若/耳48=1,则双曲线。的离心率为（）

35八7

A.-B.-C.-D.2

235

【答案】C

【详解】如图，因为荔=：丽，令|力图=3/,则|力同=5/,W周=21,

由双曲线定义|彳冗1=|4工1+2a=3/+2a,\BFl\^BF2\+2a=2t+2a,

在&力夕月中，/片力3=三，

2

由余弦定理I4片「+14?『,21力用.M41cos"AB=\BF]\,

(3/+2a)2+(5/)2-2(3/+2a)x5/cos-=(2t+2a)2,

3

2

整理得I/—6az=0,解得或"0(舍去)，

则以周二3f+2a=3x[a+2a=2a,|J/%|=3r=3xga=%

故在△月£工中，由余弦定理|力用2+|力工|2一2|力用.|彳行|854]彳8=|片巴|2,

_16、2,6、、,、1667T

得(y«)"+(-«)--2x彳。•不cos-=(2c)-,

整理得919/6=4/=0,则0=r£=7；

25a5

故选：C.

8.如图，在直三棱柱4G中，力8_1.8。,48=8。=/4=2,〃为线段4片的中点，。为线段C/上

一点，则△6。。面积的取值范围为（）

A\Ci

A.[2,网B.[2,75]c.[G,6]D.[企典

【答案】B

【详解】

由直三棱柱可得34_1,平面月8C,而月B1BC,

故建立如图所示的空间直角坐标系,4（0,2,0）,C（2,0,0），G（2,0,2）,P（0」,2）,

设函=4乖=%（-2』,0）=（—2/U,0）,其中ae[O,l],故。（2-2442）,

---T

而（70=（—2442）,C5=（-2,0,0）,

故。到直线8c的距离为"=卜+%2+4_（苧）+4

因为Ae[（U],故de[2,石],故S△以「二；xdx8C=d£〔2,石],

故选：B.

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17

B.在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10,平均值为9,第二层的样本量为20,平均

值为12,则所抽样本的平均值为11

C.若随机变量则尸（¥=2）=/

D.若随机变量X〜N（4«2）g>o）,若P（XN2）=0.8,则尸（X>6）=0.2

【答案】ABD

【详解】对于A.从小至咏排序得…20,22,24,26,由7、25%乏=：5,所以下四分位数

是17正确;

10x94-20x12

对于B,=11正确:

30

对于C,由二项分布可得：尸（X=2）=C；（；j（gJ=墨，错误;

对于D,由正态分布的对称性可得：P（x>6）=l-P（x<2）=0.2,正确

故选：ABD

10.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着•个有趣的数学

问题一“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走

能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流机，加其方程分别为2x-y=0,y=0,将正的出发点是

点4（3,1）,军营所在位置为8（6,3）,则下列说法错误的是（

A.若将军先去河流，〃饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为（L2）

B.将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是石

C.将军先去河流〃，饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程是扁

D.将军先去河流〃饮马，再去河流m饮马，最后返I可军营的最短路程是2/3

【答案】ABD

【详解】对于A,如图①所不，设点力（3/）关于直线2x-y=。的对称点为43,乂），

由，解得4(7,3),

=0

所以将军在河边饮马的地点的坐标为3）,故A错误;

对于B,如图②所示，因为点火享）关于直线尸。的对称点为4（3,-1）,

将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是忸阕=7(6二3F+(3+lV=5,故B错误;

对于C,如图③所示，因为点4(6,3)关于直线y=0的对称点分别为，4(6.-3)：

点4(3,1)关于直线2x-y=0的对称点为4(7,3),

所以将军先去河流掰饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程|44|=病，故C正确:

对于D,如图④所示，设点”(6,3＞关于直线2工一》=0的对称点分别为4(0,乃)，

y»—3_1

-x2=-l,

由,「解得：点4(3,1)关于直线尸。的对称点为4(3,-1),

2x2—2=。-55

22

将军先去河流〃饮马，再去河流〃;饮马，最后返回军营的最短路程是|4层|='等，故D错误.

4=1(〃?>0,n>0)有公共焦点£,

G与G在第一象限的交点为尸，且尸石，尸死，记G，G的离心率分别为。，下列结论正确的是(

A.若|。用=4+1,|*="-1,则备=2

B.若产则3

C.qg的最小值为1

D.记△片夕行的内心为/,。2的右顶点为E，则/E_Lx轴

【答案】ABD

【详解】对于选项A,根据椭圆定义1+1P入1=2"，已知|P£|="+1,|户乙|=6-1,

则2。=|尸片|+|P鸟|=4+1+近一1=2",所以°=行.

根据双曲线定义|PE\-\PF2\=2m,D1IJ2/H=\PFl\-\PFz|=>/7+l-(x/7-1)=2.

所以〃7=1.因为PEJ_Pg,根据勾股定理|PE『+|PE'=（2C）2,将|P用=有+1,

|尸港|=5一1代入得（近+1）2+（"-1）2=（2C>,即7+2々+1+7-2々+1=4/，16=4c2，解得c=2.

双曲线G的离心率S=£,因为c=2,6=1,所以a=2,故选项A正确.

〜m

对于选项B，设|P£I=S,IPFz|=i,由椭圆定义s+/=2a,由双曲线定义ST=2”?,

解得s=a+m,t=a-m.

因为尸耳IP玛,所以F+『=4C2,即（〃+〃?）2+（4-/"）2=公2,化简得/+〃?2=2/

已知q=£=毡，设〃=缶，c=2x,代入/+/=2°2得7工2+〃/=8,也解得〃1=X.

a7

双曲线C2的离心率与=£=在=2,故选项B正确.

mx

对于选项C,由/+加2=21,则二+4=2.

eie2

।।2

根据均值不等式2=丁+二之一:所以兆221,当且仅当弓=e,=血时取等号，

eie2e\C2

,椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.

对于选项D,设的内切圆半径为厂.

根据三角形面积公式，0咤=；(s+/+2c)〃=}/.

22

又s+r=2“，s—t=2rn,ofs=a+m,t=a-tnys(—u—rri.

SFPF=—(2t7+2c)/'=-(a2-m2),r-————.

:222(a+c)

设E(m,0),/的横坐标为s，,=Mx+一：2cx。(九，人为月，g的横坐标)，

s+t+2c

因为4(-c,0),£(c,0),与二S(Y)7c=(a-；(a+阳)c="，所以〃;_Lx轴，选项D正确.

s+t+2c2a+2c

故选：ABD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随机变机g的分布列如下:

若E(g)=l,则。伶)=.

【答案】|2

【详解】由题意知a+8=：2,£(,4)、=〃+2b=l,解得q=1=1

所以Q©二(0—1片+(1—1)*+(2—1)，渭.

2

故答案为：

13.若(2-x)9的展开式中二项式系数和为儿所有项系数和为则/+8=.

【答案】513

【详解】解：设〃x)=(2-”9,则展开式中二项式系数和为4=2%

所有项系数和为8=/(1)=(2-1)9=1,所以/+2=29+1=513.

故答案为：513

14.过抛物线/=4x上一动点尸作圆《:。-4)2+/="/.>0)的两条切线，切点分别为48,若|力用・|PC|

的馒小值是12,贝卜•=.

【答案】瓜

【详解】设P(凡，肾)，则需=4/，圆C的圆心C(4,0),半径为r,

由p4P8切圆。于点A,B,得PCIAB,PA1AC.PB1BC,

则|叫•|PC|=2s四边形小=4\叽=2pH•H。=2、附1=24(%—43+y"

22

=2Tx；-4.%+16-/=2r^x0-2)+12-r>2r12-/,

当且仅当%=2时，等号成立，

可知»如归。|的最小值为2〃向下=12，

整理可得,72-2+36=0,解得产=6,

且/>>(),所以

故答案为：迎.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量(单位:

万吨)的折线图，其中年份代码I〜9分别对应年份2015〜2023.

(1)可否用线性回归模型拟合乎与/的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.

(2)若根据所给数据建立回归模型7=-138f+2O25,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物

排放量？请说明理由.

附:相关系数〃二感一遽a-w

【详解】（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合歹与/的关系,

由题意知7=1(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5

2分

力a-9历

51800-5x120008200

相关系数,=八目=；--------X-0.97

--8476-----------------------6分

JZdYZS-疔7.7x1100

V沁1<=1

故可以用线性回归模型拟合y与/的关系.------------------------------------------------------7分

（2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量.------------9分

理由如下：

①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型

进行预测；

...........................................................................................II分

②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持

不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的.-------------------------13分

16.（15分）某工厂打完购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零

件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320

元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数7的分布列为

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2台设备使用期间需更换的零件个数，〃代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

（1）求才的分布列；

（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在〃=10和〃=11中，应选择哪一个？

【详解】（1）由题意，X的可能取值为8,9,10,11,12,13,14,-----------------------1分

则P（X=8）=0.3x0.3=0.09,

P（X=9）=2X0.3X0.2=0.12,

P(X=10)=2x03x0.4+0.2x0.2=0.28,

P(y=11)=2x03x0.1+2x0.2x0.4=0.22,

P(Y=12)=2x0.2x0.14-0.4x0.4=0.2,

P(X=13)=2X0.4X0.1=0.08,

^=14)=0.1x0.1=0.01,

4分

则X的分布列为：

X891011121314

P0.090.120.280.220.20.080.01

(2)记X为当〃=10时购买零件所需费用,X的可能取值为20(02320,2640,2960,3280,——7分

贝|JP(K=2000)=〃(XW10)=0.09+0.12+0.28=0.49,P(y；=2320)=P(%=11)=0.22,

P(Y{=2640)=P(X=12)=0.2,

产(％=2960)=P(X=13)=0.08,

=3280)=P(y=14)=0.01,-----------------------------------------------------------9分

则E(X)=2000x0.49+2320x0.22+2640x0.2+2960x0.08+3280x0.01=2288...............10分

记％为当〃=11时购买零件所需费用,“的可能取值为2200,2520,2840,3160,---------11分

则P化=2200)=P(XKU)=0.09+0.12+0.28+0.22=0.71,P(Y2=2520)=P(X=12)=0.2,

P(YZ=2840)=P(X=13)=0.08,

P(K=3160)=P(Ar=14)=0.01,.......................................................13分

万(匕)=2200x0.7l+2520x0.2+2840x0.08+3160x0.01=2324*,____________________________14分

显然E(X)<E化)，

所以应选择〃=10............................................................................15

分

17.（15分）已知椭圆C:摄+3=1（。＞匕＞0）的左、右焦点分别为E，鸟，且闺闾=2及，动直线/与

椭圆交于P,。两点；当直线，过用时，△尸的周长为8.

(1)求椭圆C的方程：

(2)若直线/过点七(1,0),椭圆的左顶点为4当△力尸。面积为、历时，求直线/的斜率北

【详解】(1)由题意得：2c=2\[2,4a=8♦即‘=&,4=2,则82=°2一°,2=2,-------------------------3分

所以椭圆。的方程为：江+片=1...............................................................................................................・5分

42

(2)由题意知：直线，斜率不为。，可设/：x="+l,---------------------------------------------------------------6分

x=ty+\

由X:/消去工得：（产+2）/+2少-3=0,---------------------------------------------------------------------7分

----1--—=1

42

则A=4〃+12,2+2）=16『+24>0,------------------------------------------------------------------------------------------8分

2/3

设户（而,必）,。（马，乃）,则乂+%=一^?^'乂%=-^y，............................................................-9分

।।5------I4/12-28t2+6

可得回一月卜4凹+%）-钿月=772~入2，--------------------------H分

又因为4(-2,0),则同=1_(_2)=3,-------------------------------------------------------------------------------12分

所以S“/，Q=；|E4|-N_y2|='x^^^二丽，解得：t=±\,---------------------------------------14分

所以直线/的斜率左=1=±1...........................................................-..............................................................15分

t

18.(17分)如图，在四棱锥尸-48。。中，四边形/8CO为正方形，4B=6.PC=PD=^，二面的P-CD—4

(1)证明：平面平面力5CQ.

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

(3)若点M在线段尸。上，且平面M4C_L平面/8CO,求直线力〃与平面尸8c所成角的正弦值.

【详解】⑴设力氏。。的中点分别为G,4,连接PG,GH,P〃.

在△尸C。中，由PC=P。，所以PH上CD.

由CH=3，所以PH=7PC2-CH?=46，---------------------------------------------------1分

因为G4_LCO,所以二面角P-CD-A^平面角为NPHG,/PHG=£,

6

则PG=J///2+G〃2-2PH•GHcos/PHG=2省•----------------------------------------2分

因为G〃n/V/="，6”,尸〃€=平面尸6〃，所以C£)_L平面PGH,

由PGu平面尸G”,所以C0_LPG,则48_LPG,.......................................3分

所以P8二>iBG2+PG2=而.

XPB2+BC2=PC2»所以PB上BC......................................................4分

又因为4BJ.BC,4BcPB=B,月8Ku平面/<44,

所以BC_L平面因为8Cu平面48C。，-------------------------------------------5分

所以平面481平面48CZ).-------------------------------------------------------------6分

(2)因为平面P48JL平面48C0,平面R4Bc平面=

PGA.AB,PGu平面P4B,..............................................................7分

所以PGJL平面43CO,即四棱锥的高为尸G..............................................8分

所以四棱锥尸_ABCD的体积为P=gPG.S正方形.88=1X6X6X2V3=24石.--------------9分

JJ

(3)以G为坐标原点，G民G〃,GP所在直线分别为x,y*轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

贝I」月(一3,0,0),6(3,0,0),0(3,6,0),D(-3,6,0),P(0,0,2>/3).-----------------------------------10分

记G〃c<C=O,J|llJ(9(0,3,0),OP=(0,-3,2x/3).连接。W,8Q.

设两二2而(0W/IV1),

..........................................................................11分

贝IJ丽=(-3,6,-2后卜丽=ZPD=(-32,6/1,-2732),

OM=OP+PM=(-32,-3+62,2^-2>52j,BD=(-6,6,0).12分

因为平面尸GMAC1平面ABCD,平面M4Cc平面ABCD=AC,BD1AC,

8。u平面力BCD,所以4。/平面

MAC............................................................13分

因为。Mu平面山C,所以8O_LQM,

贝ij而•萌=-6x(-3%)+6(—3+6/)=0,解得N=-------------------------------------------14分

贝1」丽=-1,2,--y-.又"=(3,0,26),

\/

_______/4行、——

所以而二万+两=2,2,*,P5=(3,0,-2x/3),5C=(0,6,0).------------------------------15分

\Z

设平面P8C的法向量为而=(xj,z),

则由［加’上=0,得［3X—2任=0,取z=石，得所=(2,0,b).----------------------------------］6分

m-BC=0,l6y=0,'1

设直线4M与平面P5C所成的角为。，

sin”c°s(阮击"喀二诬，

'/同4M35

所以直线月刊与平面尸8c所成角的正弦值为述叵.-----------------------------------------17分

35

19.(17分)阿波罗尼斯是古希借著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且义工1),那么点尸的轨迹为圆，这就

是著名的阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知R(-1,0),。(0,正)直线4：比-歹+2/+3=0：直线

4：丫+伊+3/+2=0,点尸为4和的交点.

(1)求点〃的轨迹方程。；

(2)点M为曲线。与x轴正半轴的交点，直线/交曲线。于4B两点，M与/,8两点不重合，直线M4、

"8的斜率分别为占、内，且尢质=-；，证明直线/过定点，并求出该定点；

(3)当点户在曲线C上运