2025-2026学年湖南省高三（上）段考数学试卷（二）含解析

2025-2026学年湖南省高三(上)段考数学试卷(二)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|4<x2<26},B=[2,4,5,6,7},则力nB=()

A.{5}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{4,5,6}

2.已知圆。：x2+y2=r2(r>0),则“点4(1,0)在圆。外”是“点在圆。外”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设复数z=1+i,w=a+bi,其中a,beR,若ziv-zw是虚数，贝!!()

A.a+/?=0B.a+bHOC.a—b=0D.a—bWO

4.设a,S是两个不同的平面，m,八是两条不同的直线，则下列命题正确的是()

A.若租〃a,则m〃夕

B.若mccr,nc/?,则7nl九

C.若m1a,n1/?,nlm,则a1/7

D.若m〃a,me/?,ac0=n,则租与相相交

5.在△ABC中,sinA=^,AB=BC=72,则4c的长为()

A.|B.<6C.A<3D.1

6.已知圆锥和圆柱的底面半径均为r,高均为h,若圆锥与圆柱的表面积之比为4：7,则4=()

3543

A弋ID,-

7.债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性、一种常用的债券现值计算公

式为PU=£21品+君广，其中PU为债券现值，n表示债券的期限(单位：年)，1为第i年的利息，Fn

为九年后的债券面值，r为贴现率.若PU=72,r=0.05,Q=2.1\则得=()

1121

A-2B3C3D4

8.已知stria+2s讥0=2,则cos(a+/7)的最大值为()

1iii

A-8B-4G6D2

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

222

9.已知a>0,圆0：x+y=a,直线kx+ay+2=0,l2：2ax+y+1=0,则()

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A」i与%不可能垂直

B.若。=1,则匕与圆。相切

C.若@=苧，则%与圆。相交

D.若圆。与圆。-2a>+y2=4无交点，则Q>2

10.已知函数/(%)的定义域为R,且+y)-2%y=/(%)+f(y),f(l)=0,则()

A"(2)=2B""-*

C./(%+1)是偶函数D./(%)-%2是奇函数

11.在直角坐标系％。y中，曲线r：(/+y2)Q2+y2-4)=siM%-cos2y,则下列结论正确的是()

A.r与y轴无交点B.「关于直线y=第对称

C.若点P在r上，则|OP|〈，亏D.若曲线y=?与「有公共点，则a<|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知平面向量工=(2,-1)、E=(6,k),若乙@-石),则实数k=.

13.记数列｛册｝的前n项之积为7\，已知7\+i-Tn=2n,且%=1,则a6=.

2

14.已知函数/'(%)=炉一mx+2的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数TH=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数f(X)=，？COS(3久+F)(3>0)的最小正周期为今

(1)求/(X)图象的对称轴方程；

(2)在△4BC中，AC=8,△力BC的周长为4A8,且/"(3)=0,求BC.

16.(本小题15分)

在数列｛册｝中，的=^,写1=日芳+薪万

(1)求｛册｝的通项公式；

2

(2)若=求数列16l的前n项和％.

ann

17.(本小题15分)

已知圆C：(x-a)2+y2=r2(a>4,r>0),过圆C内的点力(4,0)的弦长的最大值为4,最小值为2V3.

(1)求圆C的方程.

(2)点B是工轴上异于点2的一个点，且对于圆C上任意一点P,黑为定值.

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⑴求点8的坐标；

(讥)点D(7,4),求翳春鬻+|P*的最小值.

\rD\-vL\rU\

18.(本小题17分)

已知函数/'(x)=—nu：2,meR.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若/(久)有两个极值点，求小的取值范围；

(3)若机>0,实数a,b满足/''(a)=((a+1)-/(a),('(b)=((b)--1),试比较f/(a)和f'(b)

的大小.

19.(本小题17分)

如图，将△EAB,4ECB,△ECD,△瓦4D四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形4BCDE,其中E4=EC,

EB=ED,ABBCCDDA.i^^AC,BD,过点E作平面a,满足力C//a,BD//a.

(1)证明：ACLBD.

(2)若E4=y[2,EB=AB=1,且力C=BD.

(i)求AC到平面a的距离与BD到平面a的距离的平方和；

(ii)求平面4EB与平面a夹角的余弦值.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：由力={久|4<x2<26},B={2,4,5,6,7},

得ACB={4,5}.

故选：B.

根据交集的定义求解即可.

本题考查交集及其运算，是基础题.

2.【答案】A

【解析】解：|。*=1,\0B\=<2,

因点力在圆外，故|04|>r,即r<l,故即点B在圆外，

故“点力(1,0)在圆。外”是“点在圆。外”的充分条件；

因点B在圆外，故|。用=，，>「，但不能判断与r的大小关系.

故“点力(1,0)在圆。外”不是“点8(1,1)在圆。外”的必要条件.

综上，“点4(1,0)在圆。外”是“点3(1,1)在圆。外”的充分不必要条件.

故选：A.

依据点与圆的位置关系推断出点到圆心距离与半径的关系，进而判断充分性与必要性.

本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由题意，z-1-i,w-a-biQa,b&R),

所以zw=(1+i)(a—bi)=a—bi+ai-bi2=a+b+(^a—b)i,

zw=(1-i)(a+bi)—a+bi—ai—bi2—a+b+(b—d)i,

所以zw-zw=2(a-b)i,

因为zw-ziv是虚数，所以a-bKO.

故选：D.

利用共软复数的概念求出5,正再利用复数的四则运算求出zA-励，最后根据虚数的定义判断即可.

本题考查复数的运算，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：己知a,£是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，

对于力，已知m//a,a//夕，

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则直线M可能与平面S平行，也可能在平面S内，

故选项4错误；

对于B,已知al£,mca,nu0,此时直线zn与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，

故选项8错误；

对于C,已知m1a,nip,nLm,则直线m,n所在的方向向量即分别为平面a,£的法向量，

两法向量垂直，则两面垂直，

故选项C正确；

对于。，已知m//a,mu6,artp-n,根据线面平行的性质定理，如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，所以m//n,

故选项。错误.

故选：C.

利用空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理，通过分析每个选项中所给条件，

判断直线与平面、平面与平面的位置关系是否成立.

本题考查了空间点、线、面的位置关系，属基础题.

5.【答案】A

【解析】解：在△力BC中，AB=BC,可得A=C,B=n-(A+C)=n-2A,

因为s讥4=i,所以cosB=COS(TT-24)—cos2A—2sin2A—1=一，

根据余弦定理，可得AC?=AB2+BC2-2.AB-BCcosB=2+2—2X7IXA<IX(—()=弓，所以AC=1.

故选：A.

根据诱导公式、余弦的二倍角公式求得cosB=-，然后△在力BC中利用余弦定理求出力C2=蒙，进而可得

本题答案.

本题主要考查三角函数的诱导公式与二倍角公式、余弦定理等知识，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设圆锥的表面积为S1，圆柱的表面积为S2，由圆锥和圆柱的底面半径均为r,高均为八，

得圆锥的母线Z=、/+/,圆柱的母线为八，

2222

则Si=7rr+nrl=7ir(r+Vr+/i),S2=2nr+2nrh=2jir(r+K).

由Si_7rr(r+Vr2+/t2)_(r+Vr2+/i2)_4

田呢二—27rr(r+/i)—=—2(r+h)—=可

化简得15/i2+16rh—48r2=0,解得3/i=47或5h=—12厂(舍去)，

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所以3h=4r,即

r3

故选：c.

根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案.

本题考查旋转体侧面积与表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题.

7.【答案】D

1125

上Q=52.I2.I2.I2.I

【解析】解:由屉思可倚'n-寸'^i=l(1+0.05)1'=(1+0.05)1+(1+0.05)2+-+(1+0.05)5

=2+4+8+…+32=2(5)=62,

1二—L

5_i_5______72

所以尸"=Zi=i(i+0.05)i+(1+0.05)二62+(1+0.05)5一〃，

解得色=10X1.055,

同理九二4时，/4=42x1.054,

在1、〕尸5_10X1.055_10x1.05_1

所以T=42x1.054=42=4

故选：D.

根据PU=£21岛7+舟市分律=5和n=4,利用等比数列的前n项和公式，分别求得电，/5求解•

本题以新定义为载体，主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：设a+S=。，则a=6—s，

所以sin(0—S)+2s讥0=(2—cos8)sin0+sin。cos0=2,

2222

J(2—cosd)+sin0sin(/?+</?)=2<(2—cos3)+sin0=V5—4cos3f

其中七加0=产匕，当/?+8=与+2/C7T时取得等号，

z-cost/z

解得cos。<J,不妨取e为锐角，

此时有tcmg=qtanB=-7===sin/3=^,sina=7,符合题意.

7V15o4

故选：B.

设a+0=8,利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可.

本题主要考查了辅助角公式及正弦函数性质的应用，属于中档题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于4选项，直线匕：久+ay+2=0,l2：2ax+y+1=0,

若，1与％垂直，贝U1x2a+ax1=0,解得a=。，又a>0,所以％与%不可能垂直，故N选项正确;

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对于B选项，圆。：x2+y2=a2,当a=l时，圆。：x2+y2=1,半径为1,小x+y+2=0,

圆心到直线的距离&1,即直线人与圆。相离，故2选项错误;

对于C选项，若口=苧，圆。：％2+/=：,半径为苧，/2.y1~2x+y+1=0,

圆心到直线的距离d=J+曰=*<=苧，即直线6与圆。相交，故。选项正确;

对于。选项，圆。：%2+y2=a2,圆心(0,0),半径a,

另一圆(%-2a尸+y2=4,圆心(2见0),半径2,

圆心距为d=2a,

若两圆无交点，则d>Q+2或d<|a-2],

由d>a+2可得2a>a+2=>a>2,

由d<|a—2|可得2Q<|a—2|,且a>0,

即4a2<(a—2)203a2+4a-4<0,即(3a-2)(a+2)<0,解得一2<a<|，

2

又a>0,所以0<a<©,

即两圆无交点时a>2或0<a<I，故。选项错误.

故选：AC.

由两直线垂直的关系式即可判断力，由直线与圆的位置关系即可判断BC,由两圆的位置关系即可判断D.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4因为函数/0)的定义域为R,且/(x+y)-2xy=/(x)+fO),/⑴=0,

令x=y=l,可得f(l+l)—2=/(1)+/(1),即f(2)=2］(l)+2,

所以/(2)=2,所以N正确；

对于B,因为函数的定义域为R,且+y)—2xy=f(x)+/(y),

所以令x=y=g,W/(|+|)-|=+/(|)r

即2f4)=/(l)T，/(l)=0,所以/"4)=-］所以B正确；

zzzq

对于C,令y=1,贝！］/(%+1)-2%=f(x)+f(l)且f(l)=0,所以/(%+1)=/(x)+2%,

令gQ)=f(x+1)，则g(-%)=/(-%+1),

由+1)=/(%)+2%,可得f(—%+1)=f(—%)—2x,

则g(%)+g(-％)=f(x+1)+f(-％+1)=f(x)+2%+f(-%)-2%=/(%)+f(-％),

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令2=0y=0,可得/(0)-。=/(0)+/(0),解得/(0)=0,

令丫二一％,可得/(0)-2%(-%)=/(%)+/(-％),所以/(x)+/(-％)=2%2,

因为2%2不恒为0,所以0(%)不是偶函数，即/(%+1)不是偶函数，所以。错误；

对于。，设九(%)=/(%)-第2,则九(一%)=/(一%)一

令y=-x,可得/(%)+/(-％)=2/,

所以/;(%)+%(—%)=/(%)—%2+/(—x)—%2=/(%)+/(-%)—2/=2x2—2x2=0,

即九(一%)=-八(%),所以无(%)为奇函数,即/(%)-％2是奇函数，所以。正确.

故选：ABD.

令X=y=1,求得-2)=2,可判定/正确;令尤=y=求得-J)=—可判定B正确;令g(x)=f(x+1),

ZZ4

得至Ug(%)+g(—％)=/(%)+/(-%),令％=0,y=0,求得/(0)=0,再令y=-%,求得/(%)+/(-％)=2%2,

由2/不恒为0,可判定C错误；设八(%)=/(%)-x2,令y=-x,得到f(%)+/(-%)=2x2,求得九(%)+h(-

%)=0,可判定。正确.

本题考查抽象函数的性质，属中档题.

11.【答案】BCD

【解析】解：令％=0,因此曲线r的方程变为(0+y2)(0+y2-4)=sin20-cos2y,

即y2(y2—4)——cos2y,结合sin2y+cos2y=1,化简可得y”—4y2+1—sin2y=0.

令/(y)=y4-4y2+1—sin2y,

/(0)=1,/(l)=-2-sin2l<0,因此/(0)"(1)V0.

根据零点的存在性定理可知，f(y)=y'-4y2+1-sin2y在区间[-2,-1],[0,1]内有零点,

因此「与y轴有交点，故4选项错误；

若曲线关于直线y=%对称，因此将曲线方程中的'与y互换后方程不变，

将％与y互换，原方程(7+y2)(%2+y2-4)=sin2%—cos2y,

变为(y2+x2)(y2+x2-4)=sin2y—cos2%,

需验证右边sin?%—cos2y与sin2y—cos?%是否相等：

利用三角恒等式sin2a+cos2a=1,对右边变形：

sin2%—cos2y=sin2%—(1—sin2y)=sin2%+sin2y—1,

sin2y—cos2%=sin2y—(1—sin2%)=sin2%+sin2y—1.

因此sin?%—cos2y=sin2y—cos?久恒成立，故曲线「关于直线y='对称，故B选项正确；

设P(%,y),因此|。尸|=JN+y2,

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令t=x2+y2(t>0),因此曲线广的方程可化为-4)=sin2x-cos2y.

因为为0<sin2%<1,0<cos2y<1,所以一1<sin2%—cos2y<1,—1<t(t-4)<1.

解不等式一4)41,可得2-<5<t<2+<5(Z).

再解不等式-4)之一1,即产一41+120,同理可得tW2—门或t22+②.

综合⑦②，可得。<—或2+因此|0P|=/71，2+怖<7^,故C选项正

确；

若曲线y=?与厂有公共点，因此工。0,

将'=?代入曲线r的方程(/+y2)(%2+y2-4)=sin2%—cos2y中，

(%2+^2)(x2+%-4)=sin2x—cos2

因为-1<sin2%—cos2-<1,

X

令m=x2+^->2JN.,-21al(当且仅当/=,,即％=±|a|时取等号)，

因此—4)W1,即Hi?一4nl-iwo,解得2—，石WmW2+，亏.

所以2|a|W2+即|a|<1+因此一(1+<a<1+,故。选项正确.

故选：BCD.

本题可根据曲线方程的性质，逐一分析每个选项.

本题考查曲线与方程，属于中档题.

12.【答案】7

【解析】解：由题意可知，方一石=(一4,一1一k),

因为彼J.①一£),

所以a,0—b)=—8+l+k=0,

则实数k=7.

故答案为：7.

先根据平面向量的减法得出方-反最后应用平面向量垂直的数量积的坐标公式计算求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

13.【答案】g

【解析】解:数列｛an｝的前"项之积为〃，已知〃+i—Tn=2n,且%=1,

故当n22时，7n-=2(n—1),

第9页，共15页

可得Tn=加+(72-71)+(73—72)+-+(Tn-7n-l)=1+2+4+…+2(/1—1)="n—1)+1,

而T1=%=1满足上式，因此7\=n(n-1)+1,

g、iT30+131

所以。6="6=的=五・

故答案为：

根据给定条件，利用累加法求出〃，进而求出。6的值.

本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题.

14.【答案】3

【解析】解：先证：一元三次方程韦达定理.

(b

+盯+%3=--

设方程+bx2+CX+d=0(aW0)有三个根，则有＜%1%2+X2X3+X3X1=?，

_d

证明：因为方程a%3+b%2+c%+d=0(aW0)有三个根，

2x

因此方程Q%3+bx+c%+d=0(aW0)即为a(%—%])(%—x2)(一％3)=。，

2x

变形为Q%3—a(X1+%2+X3)X+a(%1X2+%2%3+—ax1x23=°，

b

+久2+久3=--

Xi%+%2%3+%3第1=:，

(2

d

(23=一

由题意函数“久)=x3-m%2+2的三个零点从小到大依次成等差数列，

设三个根分别为Q-d,a,a+d,

3a=m

(a—d)a++d)+(a—d)(a+d)—0,

1(a-d)a(a+d)——2

3a=m

即3a2—d2=0,

.(a?—d2)=-2

将十=3次代入a(q2_&2)=_2,

可得=1,即a=1,

因此TH=3.

故答案为：3.

结合一元三次方程韦达定理和等差中项列出等式求解即可.

本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题.

第10页，共15页

15.【答案】％=—2+"，kEZ；

lo3

BC=7

【解析】(1)因为函数/(%)=V^cos®%+^)®>0)的最小正周期为冬

可得空=等，故3=3,

0)3

故/(%)=V-3cos(3x+

令3%+[=k7i(kEZ),解得第=—3+塔，kEZ

Olo39

可得人支)图象的对称轴方程为久=-白+等，k€Z；

loo

(2)由/■弓)=0得cos(4+5=0,

又46(0,兀)，所以力+£=5即A=今

OZD

因为4B+HC+BC=44B,所以BC+8=3AB,

设A8=t(t>0),贝！|BC=3t-8,

由余弦定理可得BC?=AB2+AC2-2ABXACXcosA,

即(3t-8)2=饪+64—8t,化简得怔-5t=0,

解得t=5*即4B=5,

故3C=3x5-8=7.

(1)由周期公式求得3=3,再通过整体代换即可求解；

(2)由(1)求得4=与再设4B=t(t>0),得到BC=3t—8,由余弦定理列出等式即可求解.

本题考查三角函数的性质的应用及余弦定理的性质的应用，属于中档题.

16.【答案】an^~

5口=(九一1).2n+1+2

【解析】⑴由数列5｝中，的=，，需=券+露，

可得2"+i%+i—2八%=1.

所以数列｛2%n｝是首项和公差均为1的等差数列，

所以2na九=1+(n—1)x1=n,所以a九=

7)2

nn

(2)bn=—=n-2>0,可得=bn=n,2,

第11页，共15页

所以Sn=1x21+2x22+3x23+•••+(n-1)-251+n-2n,

234nn+1

2Sn=1x2+2x2+3x2+••■+(n-1)-2+n-2,

nn+1

两式相减可得一Sn=2+22+23+…+2"T+2-n-2,

即_S=2、匕2")_n+l=Qm.«+l_,

n1-Ln222

故Sn=(n-1)-2"+1+2.

n

(1)将已知等式变形为"+%n+i-2an=1,结合等差数列的通项公式，即可求得答案；

(2)写出|0|的表达式，利用错位相减法求和，即可得答案.

本题考查数列的递推式和等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查

转化思想和运算能力，属于中档题.

17.【答案】(%—5)2+y2=4.

(0(1)0);(ii)|

【解析】(1)解：圆c：(x-a)2+y2=r2(a>4,r>0),过圆C内的点4(4,0)的弦长的最大值为4,最小值

为2c.

圆的最长弦为直径，2r=4,得r=2.

最短弦为与直径垂直的弦，由垂径定理可得：2J浮一9一4尸=24,又a>4,,a=5,

故圆C的方程为Q.5)2+y2=4.

(2)解：(i)设PQ,y),则鬻=段落，

•・•点P在圆C上，.•.将V=4—(%—5)2代入上式，

7日|PB|2_(%—p)2-(%-5)2+4_(10-2b)x+b2-21

巧两7二(%-4)2-(%-5)2+4-2x-5，

•••该式的值为常数，.•.竽=产，解得6=1(6=4舍去)，

•・•点B的坐标为(1,0).

3)解：由①可知舞=等=4,|PB|=2|P*・

11/11乙4J

.|PD12Tp*2|PD|2Tp*2||=IPDITP4I..=IPDI+IP4I

••|P3|+2|PD|十一2(|P4|+|尸。|)十।利―2十।力1一2'

易知,\PD\+\PA\>\AD\=5,当点P在线段D4上时等号成立，

故殴产的最小值为执即原式的最小值为•!.

(1)根据圆的弦长性质(过圆内一点的弦，直径最长，垂直于圆心与该点连线的弦最短)，结合圆的标准方程

求解参数；

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(2)(0：通过设点坐标、利用距离公式和圆的方程，结合“定值”的代数意义(系数与常数项分别相等)求解

点的坐标；

GO：利用⑴的定值结论化简表达式，再结合几何意义或代数变形求最小值，涉及距离公式、代数式化简与

最值分析.

本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

18.【答案】y=x+l.

6+8).

//⑷"㈤

【解析】(1)导函数//(%)=ex-2mx,

那么//(0)=I,7(0)=1,

因此切线为y=%+1.

(2)记g(%)=(O(%),那么导函数g/(%)=ex-2m,

由于函数f(%)有两个极值点，因此g(%)有两个零点.

若m<0,那么gz(%)>0,g(%)单调递增，不符合题意.

若m>0,当％E(仇2m,+8)时，g7(%)>0,g(%)单调递增，则当％E(-8,仇2m)时，g/(x)<0,g(%)

单调递减，

所以gQOrn讥=g(ln2m)=2m(l—ln2m)

又当％T+8或久T-8时，都有g(%)->+oo,

因此只需2m(l-ln2m)<0,即1一m27n<0,解得TH>

即me(|,+oo).

(3)根据f'(a)=f(a+1)-/(a),

得e°—2ma=ea+1—m(a+l)2—ea+ma2,整理得a=ln^^.

根据//s)=/(b)—f(b—i),

得e"-2mb=eb—mb2—eb~r+m(b—l)2,解得b=1+Inm.

所以//(a)—f/(b)=-2mln-^^—me+2m(l+Inrri)

1

=m[-———(e-2)+2/n(e—2)]

设函数h(%)=§—%+21nx,则九7(%)=_40，

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所以攸x)在