2025-2026学年河南省商丘市联考九年级上学期1月期末考试数学试卷【附解析】

/2025-2026学年河南省商丘市联考九年级上学期1月期末考试数学试题一、选择题

1.下列式子中是最简二次根式的是（

）A.m2−1 B.12 C.16 D.

2.计算2sin45∘A.1 B.2 C.−2 D.

3.一元二次方程x2−5A.x=5 B.x1=5,

4.下列计算正确的是（

）A.8−3=8−3 B.4

5.下列关于一元二次方程ax2+bx=0（a，A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根

C.方程没有实数根 D.方程有一个实数根

6.若α是直角三角形的一个锐角，sinα=3cosαA.3+23 B.1−23

7.九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（

）A.x(x−1)=28 B.x

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=4，则点A.74 B.2 C.94

9.已知二次函数y=3(x−2)2+1，以下结论错误的个数为（

）

①其图象的开口向上；

②其图象的对称轴为直线x=−2；

③其最大值为1；A.1 B.2 C.3 D.4

10.M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE:BE等于(A.2:1 B.1:2 C.二、填空题

11.如果最简二次根式x−1与5−

12.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则袋中红色幸运星颗数约为___________颗．

13.在平面直角坐标系中，点P(

14.如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BD上的点，EF∥AB．若DE=12

15.如图，四边形ABCD是菱形，点E是CD边上的一动点，过点E作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，

(1)四边形OGEF的形状是________________．

(2)若BD=三、解答题

16.计算：（1）(1（2）解方程：3x

17.2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会——2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目．（1）甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是__________；（2）请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率．

18.已知关于x的方程x2（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．（2）若▱ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．当m为何值时，▱

19.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，连接EF,CE（1）求证：△AFE（2）若AB=8，求

20.如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30∘，从B点测得C点的俯角为45∘，已知BD=69

21.某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每针降低1元，每周可多卖出20件．（1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？（2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？

22.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x=（1）求二次函数的表达式；（2）当y<0时，写出（3）当a≤x≤a+1时，二次函数

23.综合与实践

【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB=6，AD=5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N′．

【探究发现】(1)如图②，当点C与点D重合时，MN′交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；

(2)如图③，当点N′落在AD边上时，BC恰好经过点N，N′C与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形MN′GN的面积；

【引申探究】(3

参考答案与试题解析2025-2026学年河南省商丘市联考九年级上学期1月期末考试数学试题一、选择题1.【答案】A【考点】最简二次根式的判断【解析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：(1)被开方数不含分母；【解答】解：A．m2−1为最简二次根式，所以A选项符合题意；

B．12=23，所以B选项不符合题意；

C．16=4，所以C选项不符合题意；

D．2.【答案】C【考点】特殊角三角函数值的混合运算【解析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】2sin45∘−tan260∘

=23.【答案】C【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】利用因式分解法解方程即可．【解答】解：x²−5x=0,

x(x−5)=0

4.【答案】C【考点】二次根式的混合运算【解析】根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断即可求解．【解答】解：A、原式＝22−3，所以A选项错误，不符合题意；

B、原式＝2+3=5，所以B选项错误，不符合题意；

C、原式＝9×16，所以C选项正确，符合题意；

D5.【答案】B【考点】根的判别式【解析】首先用b表示出根的判别式Δ=b【解答】由题可知二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为0，

∴Δ=b2−4ac=b2−4a×0=b6.【答案】C【考点】利用同角三角函数关系求值【解析】把sinα=3【解答】解：把sinα=3cosα代入原式，

则原式=7.【答案】B【考点】一元二次方程的应用——其他问题【解析】设共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加(x−1【解答】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛(x−1)场，

但两班之间只有一场比赛，一共有12x(x−1)8.【答案】D【考点】根与系数的关系二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质根据一元二次方程根的情况求参数抛物线与x轴的交点【解析】由题意知，x2+bx+c=0，该方程有两个相等的实数根，则Δ=b2−4c=0，设点M到直线l的距离为m，则AxA,m，Bx【解答】解：由题意知，当y=0时，x2+bx+c=0，该方程有两个相等的实数根，

∴Δ=b2−4c=0，

设点M到直线l的距离为m，则AxA,m，BxB,m，

当y=m时，x2+bx+c=m，xA、x9.【答案】C【考点】y=a（x-h）²+k的图象和性质【解析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数的最值，解答本题的关键是掌握二次函数的图象性质．

根据二次函数y=【解答】解：∵二次函数y=3(x−2)2+1，

则a=3>0，

∴该函数图象开口向上，故①正确；

其图象的对称轴为直线x=2，故②错误；

当x=2时，函数有最小值1，故③错误；

当x10.【答案】A【考点】矩形与折叠问题相似三角形的性质与判定与三角形中位线有关的求解问题【解析】先设DE与MN交于点F，由于MN是AD、BC的中点，所以根据梯形中位线定理，可知MN∥AB，在ΔADE中，MF∥AE，M是AD中点，根据相似三角形的性质可知F也是DE中点，利用三角形中位线定理，可知AE=2MF，又由于△ADE沿DE翻折，MN【解答】解：连接MN，设DE与MN交于点F，

∵M、N分别是AD、CB上的中点，

∴MN∥AB，

∴△DMF∽△DAE，

又∵M是AD的中点，

∴MFAE=DMDA=12

∴MF=12二、填空题11.【答案】【考点】同类二次根式化为最简二次根式【解析】根据同类二次根式的定义得出1−【解答】解：∵最简二次根式x−1与5−x是同类二次根式，

∴x−112.【答案】【考点】已知概率求数量利用频率估计概率【解析】设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数．【解答】设袋中红色幸运星有x颗，

根据题意，得：x20+x+15=0.5，

解得：x=13.【答案】(−【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可解答．【解答】解：点P(2,−6)关于原点对称的点的坐标是(−14.【答案】【考点】利用平行四边形的性质求解相似三角形的性质与判定【解析】本题考查平行四边形性质，相似三角形判定及性质．根据题意可得△DEF∼△DAB【解答】解：∵EF∥AB，

∴△DEF∼△DAB，

∵DE=12EA，EF=3，

∴DEDA15.【答案】矩形,4【考点】根据矩形的性质与判定求线段长利用菱形的性质求线段长勾股定理的应用【解析】由条件可知判断四边形OGEF是矩形；

(2)连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD=DC，

∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，

∴四边形OGEF是矩形，

故答案为：矩形．

(2)连接OE，则OE=GF，

当OE⊥DC时，GF的值最小，

∵BD=42，AD=26，

∴OD=三、解答题16.【答案】1x1=【考点】实数的混合运算解一元二次方程-因式分解法零指数幂负整数指数幂零指数幂、负整数指数幂【解析】（1）根据零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的意义进行计算，进行计算即可求得答案；（2）先将方程化成一般式，然后运用因式分解法解答即可；

本题考查了实数的运算，解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【解答】（1）解：原式=1+3（2）3x(x−1)=2−2x，

3x(x−1)+217.【答案】1“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为14【考点】根据概率公式计算概率列表法与树状图法【解析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况总数即可．【解答】（1）解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是12（2）将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B，

画树状图如下：

共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种，

∴“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为28=18.【答案】证明见解析m=1【考点】根的判别式利用菱形的性质证明利用平行四边形的性质求解【解析】（1）利用根的判别式即可得出答案；（2）当Δ=(m−1)2【解答】（1）解：x2−mx+m2−14=0

∴Δ=(−（2）解：∵▱ABCD是菱形，

∴AB=AD，

∵▱ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．

∴方程有两个相等的实数根，

∴(m−1)2=0，

解得：m=1，19.【答案】证明见解析4【考点】利用矩形的性质证明相似三角形的性质与判定同(等)角的余(补)角相等的应用根据矩形的性质求线段长【解析】（1）由矩形的性质可得∠FAE=∠EBC=90∘，利用余角性质得∠AEF=∠BCE，进而由相似三角形的判定即可求证；

(【解答】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠FAE=∠EBC=90∘，

又∵EC⊥EF，

∴∠CEF=90∘（2）解：由(1)得△AFE∽△BEC，

∴AFBE=AEBC，

∵E、F分别是AB、AD的中点，且AD=BC，20.【答案】两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为(69【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题等腰三角形的判定与性质解直角三角形的相关计算【解析】作BE⊥AC，知CE=BD=69米，由∠CBE【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，

则CE=BD=69米，

在Rt△BCE中，∵∠CBE=45∘，

∴CE=BE=69米，

∴CD=BE=69米，

在Rt21.【答案】销售单价为65元销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元【考点】二次函数的应用——销售问题营销问题(一元二次方程的应用)【解析】（1）设销售单价为x元，则每件附中的利润为(x−50)元，每周能卖出（2）设该店铺每周销售利润为W元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出W关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】（1）设销售单价为x元，由题意得：

(x−50)×80−x1×20+200=7500，

整理得：−x2+140x−4875（2）设该店铺每周销售利润为W元，由题意得：

W=(x−50)×80−x1×20+200=−20x2+2800x−9000，22.【答案】y−1−5【考点】二次函数综合——其他问题二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质待定系数法求二次函数解析式根据交点确定不等式的解集【解析】（1）根据对称轴和A点坐标，求得点B的坐标，然后代入二次函数解析式，求解即可；（2）令y=0求得