云南省昭通市云南师范大学附属镇雄中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

2025—2026年（上学期）云师大附属镇雄中学高二年级期中考·数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数=（）A. B. C.5 D.2.若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（）A.2 B.1.2 C.2.4 D.13.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（）A. B. C. D.4.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C.6 D.5.已知，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集是（）．A.B.C.D.7.一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（）A. B. C. D.8.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A B. C. D.二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，底面为正方形的四棱锥，平面，，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.直线与平面所成的角为C.平面与平面的夹角为D.点到面距离为10.已知直线与,则下列说法正确的是（）A.与交点坐标为B.过与的交点且与垂直的直线方程为C.,与轴围成的三角形的面积是D.与的交点在圆外11.已知实数满足方程，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最大值为C.的最大值为 D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作圆：的切线，切线的方程为__________．13.若正数满足，则的取值范围是_____．14.二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为________.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线和直线的交点为.（1）求过点且与直线平行的直线方程；（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程.16.如图，在圆内接中，内角，，所对的边分别为，，，满足.（1）求；（2）若点是劣弧一点，由圆内接四边形的性质可知：，，，，求四边形的面积.17.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点在棱上.（1）求证：平面平面；（2）当，且时，确定点的位置，即求出的值.18.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？（3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．19.设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，记圆的圆心轨迹为.（1）求的方程；（2）过曲线上一点作两条直线，，且点，点都在曲线上，若直线的斜率为，记直线的斜率为，直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值请求出值，并说明理由.参考答案1.【答案】D【详解】依题意，，所以.故选：D2.【答案】A【详解】依题意，直线过圆的圆心，则，解得，所以圆心到直线的距离为.故选：A3.【答案】B【详解】由，得，，即，，又，则，，所以为直角三角形，，所以，故选：B.4.【答案】A【详解】由棱长为2正方体的顶点都在同一球面上，得该球的直径等于正方体的体对角线长，所以该球的表面积为.故选：A5.【答案】C【详解】若，则若，则，将两式子相加可得，化简得，由两角和的正弦公式得，故C正确.故选：C6.【答案】D【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.7.【答案】D【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即，设点关于直线的对称点，则，即，解得，即，于是反射后的光线所在的直线方程为，即，对于A：时，；对于B：时，；对于C：时，；对于D：时，.故选：D8.【答案】D【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：D.9.【答案】ABD【详解】A选项，因为平面，平面，所以，，又四边形为正方形，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，设直线与所成的角大小为，则，故，A正确；B选项，因为四边形为正方形，所以⊥，又平面，平面，故，因为，平面，所以⊥平面，故可取为平面的法向量，设直线与平面所成的角大小为，则，故直线与平面所成的角为，B正确；C选项，设平面的法向量为，则，令得，故，平面的法向量为，故，故平面与平面的夹角不为，C错误；D选项，由C选项知，平面的法向量为，故点到面的距离.10.【答案】BC【详解】对于A,,即与交点坐标为,故A错误;对于B,因为直线的斜率为,所以与垂直的直线的斜率为,则过与的交点且与垂直的直线方程为,化为一般式为:,故B正确;对于C,设与交点为,,与轴的交点分别为,,与轴围成的三角形为,如图:当时,可得,所以,故C正确;对于D,,所以与的交点在圆内,故D错误.故选:BC.11.【答案】AC【详解】由圆的方程，可化为，设圆的圆心为，可得圆心坐标为，半径为，对于A中，设，即，由，解得，即的最大值为，所以A正确；对于B中，由，表示原点到圆上点距离，又由，则的最大值为，所以的最大值为，所以B不正确；对于C中，设，即，由，解得，即的最大值为，所以C正确；对于D中，设，即，由，解得或，所以D错误.故选：AC.12.【答案】【详解】因为点在圆上，所以过点的切线与垂直，又因为，故切线的斜率，所以切线的方程为，即．13.【答案】【详解】∵，∴，当且仅当时等号成立，整理得，解得或（舍去）∴，∴的取值范围是．14.【答案】60°##【详解】设平面与平面的夹角为,因为,,所以,,由题意得,所以,所以,即,所以,即平面与平面的夹角为.故答案为:.15.【解析】（1）由解得,所以，设所求直线为,因直线过点，所以解得，所以所求直线方程为.（2）直线与直线垂直,所以可设，又因为到的距离等于，解得或，所以所求直线方程为或.16.【解析】（1）由结合正弦定理得，所以，因为，所以，所以，则；（2）在中，，，，则由余弦定理得，解得，因为，，，均在圆上，且，所以，在中，，，所以由余弦定理可得，解得或（舍），所以四边形的面积.17.【解析】（1）∵正方形ABCD，则.平面,平面，所以.，所以平面.因为平面，所以平面平面.(2)设，所以平面，即三棱锥的高，在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB=中斜边PB的高，，即E为PB的中点.18.【解析】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得，样本成绩的平均数约为．区间，，的频率分别为．因为，的频率为，故中位数位于内设中位数为x，则，解得x＝75；（2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），其中样本答卷成绩在的市民人数为，用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．（3）