2025年线性代数数学实验与编程实现试题

2025年线性代数数学实验与编程实现试题一、矩阵运算与行列式计算实验（一）基础编程题（共20分）给定3阶矩阵A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，使用Python的NumPy库完成以下操作：计算矩阵A的行列式值求解矩阵A的逆矩阵（若存在）计算矩阵A的特征值与特征向量将矩阵A正交对角化并验证结果编程实现n阶三对角行列式的计算函数，其中主对角线元素均为2，上下次对角线元素均为1。要求：输入参数为正整数n（3≤n≤1000）输出行列式计算结果分析时间复杂度并优化算法（提示：可使用递推关系）（二）应用分析题（共30分）某城市交通管理部门采集了早高峰时段5个路口的车流量数据，形成如下矩阵：A=[[120,85,60,45,30],[95,110,75,50,40],[80,90,130,70,55],[65,75,85,100,65],[50,60,70,80,90]]其中A[i][j]表示从路口i到路口j的每小时车流量（单位：辆）。请完成：计算该有向图的邻接矩阵并分析强连通性使用PageRank算法计算各路口的重要性指数（阻尼系数取0.85）若要在第3个路口新增一条通往第5个路口的单向车道，分析对整个交通网络的影响（通过矩阵扰动理论）建立车流量预测模型，基于前四周数据预测下周一各路口的流量分布（要求使用矩阵分解方法）二、线性方程组与数据拟合实验（一）算法设计题（共25分）对比实现以下三种线性方程组求解算法：Gauss消去法（列主元）Jacobi迭代法共轭梯度法针对稀疏矩阵（非零元素占比<10%）和稠密矩阵分别测试，要求：记录迭代次数与收敛时间分析不同算法的适用场景可视化残差变化曲线编写程序实现基于L1正则化的稀疏信号恢复，解决如下问题：已知测量矩阵Φ∈R^(m×n)（m<n）和观测向量b=Φx+ε，其中ε为高斯白噪声（σ=0.01），x为稀疏向量（非零元素≤10）。要求：实现基追踪（BasisPursuit）算法使用交替方向乘子法（ADMM）求解分析测量数m对恢复精度的影响（二）工程应用题（共25分）某实验室采集了某种新型材料的应力-应变数据如下表：应变(×10^-3)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0应力(MPa)285582108133155172185193198请完成：使用最小二乘法分别进行线性拟合、二次拟合和三次拟合基于正则化方法解决过拟合问题（选择合适的正则化参数）预测应变达到6.0×10^-3时的应力值并评估置信区间若考虑温度影响（25℃~85℃），补充实验数据并建立多元线性回归模型三、矩阵分析与机器学习实验（一）综合实验题（共40分）主成分分析（PCA）实验：对MNIST数据集（手写数字）进行降维，保留95%的信息可视化前两个主成分构成的二维散点图对比PCA与t-SNE的降维效果（使用轮廓系数评估）分析协方差矩阵的特征值分布（解释"肘部法则"）推荐系统实现：基于MovieLens-1M数据集（包含6040用户对3952部电影的评分）：构建用户-物品评分矩阵实现SVD++算法进行评分预测计算用户相似度矩阵（使用余弦相似度和Jaccard相似度）设计Top-N推荐算法并评估准确率（Precision@K和Recall@K）（二）开放性实验（共30分）选择以下任一主题完成实验报告：图像压缩与恢复：使用奇异值分解（SVD）实现JPEG图像压缩分析不同奇异值保留比例对图像质量的影响实现基于低秩矩阵恢复的图像去噪算法网络社区发现：基于谱聚类算法划分社交网络社区计算模块度（Modularity）评估划分效果可视化社区结构并分析核心节点量子态tomography：实现密度矩阵重构算法分析测量基数量对重构精度的影响验证量子态的正定性与迹条件四、编程实现要求开发环境：Python3.8+（推荐使用JupyterNotebook）核心库：NumPy,SciPy,Matplotlib,Scikit-learn代码要求：模块化设计，每个实验题目单独封装为类或函数关键步骤添加注释，算法复杂度分析包含单元测试用例提交内容：源代码文件（.py或.ipynb）实验报告（PDF格式，包含结果分析与可视化）数据文件（若有自定义数据集）五、评分标准项目权重评分要点算法实现30%正确性、效率优化、代码规范性实验分析25%结果解释、误差分析、参数调优创新应用20%问题建模能力、跨学科应用可视化呈现15%图表设计、交互性、结果可读性文档完整