二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax²的图象与性质课件九年级数学下册

1.2二次函数的图象与性质第1课时y=ax²的图象与性质回忆知识❶二次函数的一般式是？y=ax²+bx+c（a≠0）❷对于一般式，最简单的形式是？y=ax²❸最简单的二次函数，是什么？当a=1时，y=x²接下来，我们对二次函数的图象的探究就从y=x²开始~一次函数图象是什么样的？它的图象画法，你还记得吗？一次函数图象是一条直线．图象画法：两点法（两点确定一条直线）一般步骤：列表、描点、连线接下来尝试画二次函数y=x²的图象．（1）列表：9410149y

的值是非负数，自变量的取值互为相反数时，两函数值相等．

观察表格，有什么特点吗？探索知识（2）描点：以x、y取的值分别作为横、纵坐标，描出相应的点（3）连线：光滑的曲线顺次连接观察图象有什么特点？左右两边的点关于y轴对称y=x²图象关于y轴对称y

=

x²

的图象的对称轴是

；

对称轴与图象的交点是

___________

；图象的开口向

_________

；图象在对称轴左边的部分，y

随着

x

的增大而

_________

，简称

“

左降；图象在对称轴右边的部分，y

随着

x

的增大而

_________

，简称

“

右升

”

．当

x

=_______

时，函数值最

_____，最值是_____

．

y轴（0,0）上减少增大0小0由图象可以得出

二次函数

y

=

x²的性质

当x>0时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．

当x<0时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．

图象在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．

一般地，当a>0时，y=ax²的图象都具有上述性质归纳

列表

0

2

描点和连线：画出图象在

y

轴右边的部分．

思考：为什么只列出x>0的表格？利用对称性，画出在

y

轴左边的图象例题分析试一试1

、试画出以下函数图象并填空：

函数y=6x²的图象开口_______，顶点是________，对称轴是_______,当x>0时，y随着x的增大而________.向上（0,0）y轴增大2、对于函数y=7x²，下列结论正确的是：A.y随着x的增大而增大B.图象开口向下C.图象关于y轴对称D.无论x取何值，y的值总是正的C3、在同一直角坐标系中画出二次函数y=3x²及y=0.25x²的图象，并比较它们的共同点与不同点。3、如图所示，已知二次函数y=ax²的图象经过点A．（1）求a的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．

探索知识画二次函数

y

=-

x²的图象．

（

1

）列表：

-9

-4

-1

0-1

-4

-9

观察表格，有什么特点吗？y

的值是负数和0，自变量的取值互为相反数时，两函数值相等．

（

2

）描点：

（

3

）连线：光滑的曲线顺次连接

观察图象有什么特点？观察图象可以得出

二次函数

y

=

-x²的性质

当x>0时，y随着x的增大而减小．简称为“右降”．

当x<0时，y随着x的增大而增大．简称为“左升”．

图象在x轴的下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展；当x=0时，函数y的值最大，最大值是0．

一般地，当a<0时，y=ax²的图象都具有上述性质归纳试一试3

、试画出以下函数图象并填空：

函数y=-10x²的图象开口_______，顶点是________，对称轴是_______,当x>0时，y随着x的增大而________.向下（0,0）y轴减小4、在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x²及y=-8x²的图象，并比较它们的共同点与不同点。总结向上

向下

（0,0）

y轴

当x<0时，递减；当x>0时，递增当x<0时，递增；当x>0时，递减当x=0时，y最小，值为0当x=0时，y最大，值为0一般来说|a|越大，抛物线的开口就越小，|a|越小，开口就越大．形如二次函数y=ax²的图象这样的曲线叫作抛物线，简称抛物线y=ax².（1）解：由题意得y=0.5x²（x>0）1.

底面是边长为

x(

cm)

的正方形，高为

0.5cm

的长方体的体积

y(

cm

³)

．（

1

）求

y

关于

x

的函数关系式，；（

2

）求体积

y

=8cm³时，底面边长

x

的值；（

3

）求出

x

为何值时，

y

≥4.5cm

³

．

（2）解：由(1)得y=0.5x²（x>0）

∴当y=8时，0.5x²=8

解得x=4或x=-4（不合题意，舍去）

∴体积为8

cm³时，底面边长为4cm（3）解：由(1)得y=0.5x²（x>0）

∵0.5>0∴x>0时，y随x增大而增大∵当

y

=4.5时，0.5x²=4.5

解得x=3或x=-3（舍去）∴当x=3时，

y

≥4.5拓展提升2、已知函数是图象开口向上的二次函数．（1）求m的值；（2）当x=3时，函数值是多少？当y=12时，求x的值；（3）试说明当x<3时，函数值的变化情况，并求当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？（1）解：由题意得m>0且m²-2m-1=2∴m²-2m-3=0

解得m=-1或m=3∵m>0∴m=3（2）解：由（1）得m=3∴该函数表达式为：y=3x²

∴当x=3时，y=3×3²=27

当y=12时，3x²=12，

解得x=2或x=-2（3）解：由（2）得y=3x²

∵3>0

∴当x<0时，y随x的增大而减小，

当0<x<3时，y随x的增大而增大

当x=0