2025年上海市中考数学试题（含答案解析）

2025年上海市初中学业水平考试

数学试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.下列代数式中，计算正确的是（）

A.m'+w5=2m3B.nr+nr=ni'

C.D.=/H6

2.用代数式表示。与/，差的平方，正确的是（）

A.a'-b2B.（a-bfC.a2-bD.a-b~

3.下列函数中，为正比例函数的是（）

3x

A.y-3x+1D.y=3x2C.y=-D.y=—

x'3

4.某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数,并对•此进行统计，如图所

示.关于这6（）人的分数，下列说法正确的是（）

A.中位数是12B.中位数是75C.众数是21D.众数是85

5.在正方形力8c。中，|方+而|：|而|的值为（）

A.当B.IC.41

D.2

6.在锐角三角形力4c中，AB=AC,5C=8,V48c的外接圆为。。，且半径为5,这4c

中点为。，如果以。为圆心的圆与。O相交，那么的半径可以为（）

A.2B.5C.8D.9

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7.分解因式：ab2+a2b=.

试卷第1页，共4页

——1>0

8.不等式组2的解集为.

2x+3>x

9.已知关于x的一元二次方程2/+x—m=0没有实数根，则M的取值范围是.

10.已知一个反比例函数在各个象限内，V随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析

式可以是.（只需写出一个）

11.方程Jx-6=2的解为.

12.将函数y=3.d的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为.

13.小明与小杰在玩卡牌游戏，已知小明手里有1.2,3,4四张牌，小杰手里有2,4,6,8

四张牌，小明从小杰手里抽出一张牌，如果抽到小杰手中四张卡牌中的任意一张概率都相等，

那么小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为—.

14.某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段

AB）的竖直高度2.7米，某人（线段C。）身高为1.8米，扫描仪测得乙4=53。，那么该人

与扫描仪的水平距离为米.（备用数据：sin53°«0.8,COS53°«0.6,tan53°«1.33,

精确到0.1米）

15.为了解乘客到达高铁站后离开的方式.某地开展问卷调查，共收到有效答复2000张，

调查结果如图所示.如果当地每天离开高铁站的人数约为1.8万人，那么当地每天乘坐出租

车离开的人数大约为一.

（\□公交车（60%）

□步行（15%）

□自行车（15%）

□出租车

16.据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先.已

知一皮秒等于1x10"秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写

次（科学记数法表示）.

试卷第2页，共4页

17.在矩形川?CO中，E在边CD上,£关于直线4。的对称点为尸，联结8E,AF,如果

四边形力年》是菱形，那么彳8:力。的值为.

18.已知•个圆与•个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接

正五边形的两条边，那么这个角的大小是一

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

4

19.计算：、一-202+"四+（；）.

V5+1

x-32_2

20.解方程:-------------

x-2x2-3x+2x-1

21.已知学校热水器有一个可以储200升（L）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自

动停止，如图所示为储水量y与加水时间》的关系，已知温度，（单位：℃）与x的关系为:

20x+100

（1）求y关于r的函数解析式并写出定义域；

（2）当水加满时，储水装置内水的温度为多少？

22.小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究.

（1）如图（1）所示，在梯形力8c。中，AD〃BC,ABLBC.设E为边48中点，将V4OE

绕点上旋转180。，点。旋转至点尸的位置，得到的△OEC是等腰三角形，其中=。。,

设力。=。，求边8C的长（用。表示）；

（2）如图（2）所示，已知梯形MQPV中，MN//QP,且MN<PQ,MQ=NP.请设计一

种方案，用一条或两条直线将梯形M0〃N分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运

动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰二角形.请写出两腰的线段，以及这两条或•条直线

试卷第3页，共4页

1.A

【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数第相乘、幕的乘方等基本法则;

逐一验证各选项的正确性即可.

【详解】解：A：渥+渥=2〃乙合并同类项时，系数相加,字母部分不变，〃/的系数为1,

故1+1=2,结果为2/,计算正确；

B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为2〃/，而非〃计算错误；

C：同底数塞相乘，底数不变,指数相加；3+3=6,结果应为一,而非加底计算错误;

D：塞的乘方运算中，底数不变，指数相乘；3x3=9,结果应为而非〃计算错误；

故选：A.

2.B

【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键；“。与力差的平方''指

先求,7减6的差，再将这个差整体平方，即（a-A）?.

【详解】解：鼠护：这是平方差公式的结果，表示。的平方减去力的平方，而非差的平

方，错误，不符合题意；

B.（a-b）\表示先求差再平方，正确，符合题意；

C./一方：仅对。平方后减去未对差整体平方，错误，不符合题意；

D.a-b\表示。减去b的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；

故选：B.

3.D

【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如y=h（々为常数且女=0）的函数是正比例函

数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可.

【详解】解：A：y=3x+i,该函数含常数项“+1”，不符合正比例函数y=履的形式，不

符合题意；

B：夕=3/，该函数为二次函数（最高次数为2）,而正比例函数为一次函数，不符合题意；

C：>'=1,该函数可写为y=3xT,属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意

D：»=该函数可化简为y=符合），=去（上=1）的形式，是正比例函数，符合题

33△

意；

故答案为：D.

答案第1页，共18页

4.D

【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数把一组数据按

大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照

这两个概念进行求解即可.

【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中

间的两个数是第30与31个数，而5+12V5+I2+21,故中位数是夕85+的=85；故只有

选项D正确；

故选：D.

5.C

【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键在正方形中，向量

相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可.

【详解】解设正方形边长为明由勾股定理得ACfB'BC?=口；在正方形力8CQ

中，AB+BC表示从4到4再到C的路径，其结果为向量刀，即|祝卜缶；

故选：C.

6.B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交

的条件是关键；根据题意，等腰V48C的外接圆半径为5,由等腰三角形的性质、勾股定理

求得。。=3：当。。与。。相交时，圆心距需满足条件+/•，代入数值求解厂

的范围，进而确定选项.

【详解】解：如图，连接/。并延长交。。于点E,

-AB=AC,。为4c中点,，

：.BD=DC=4,OD1BC；

•••锐角三角形48c中，AB=AC,

•••外接圆心O在力。上，

连接。8,由勾股定理得：OD=yJ（）B2-BD2=3：

答案第2页，共18页

A

设以。为圆心的圆的半径为「，。。，。0相交应满足：|5-，］<。。<5+，

gp|5-r|<3<5+r,解得：2<r<8；

在此范围的半径只有选项&

故选：B.

7.cih(a+b)

【分析】原式提取"进行分解即可.

【详解】解：原式="(a+b)

故答案为：ab(a+b)

【点睛】此题考查了提公i1式法的运用，熟练掌握因式分解的提公因式方法是解本题的关

键.

8.x>2

【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分,

即为不等式组的解集.

【详解】解：2

2x+3>x©

由①，得：x>2；

由②，得：x>-3；

・••不等式组的解集为：x>2：

故答案为：x>2.

9.m<--

8

【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到△<0,进行求解即可.熟练掌

握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键.

【详解】解：由题意，得：A=12-4X2(-W)<0,

答案第3页，共18页

解得：〃?＜一）；

O

故答案为：小

X

10.y=-（答案不唯一）

X

【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大

于0,据此可得答案.

【详解】解：•••一个反比例函数在各个象限内，y随工的增大而减小，

・•.该反比例函数的比例系数大于0,

符合题意的反比例函数解析式可以为），=,，

X

故答案为：，=L（答案不唯一）.

X

11.x=10

【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即

可.

【详解】解：「JT二不=2,

x-6=4,

•••x=10；

经检险，x=10是原方程的解，

故答案为：x=10.

12.y=3x2-2

【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即

可求解.

【详解】解：•.•函数y=3/的图像向下平移2个单位，

・•・平移后的新函数的解析式为J，=3--2；

故答案为：歹=3.d-2.

13.j

【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接用小杰手中卡牌上的数字与小明手中卡牌上

的数字相同的卡牌数除以小杰的卡牌总数即可得到答案.

答案第4页，共18页

【详解】解•••小杰一共有4种卡牌，其中有2张卡牌上的数字与小明手中卡片的数字相同,

2I

二小明抽出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样的概率为^=5，

故答案为：y.

14.1.2

【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点C作CE工48于点E,由题意，得

BE=CD=1.8,线段的和差求出力E的长，解RJ/ICE,求出CE的长即可.添加辅助线构

造直角三角形，是解题的关键.

【详解】解：过点、C作CEJ.4B于点、E,则：8E=CZ)=1.8米，

•••"=2.7米，

.'.AE=AB-BE=0.9^:,

CFCF

在Rt△力CE中，tanA=---=------a1.33,

AE0.9

.♦.CEal.2米；

故答案为：1.2.

15.1800A

【分析】本题考查利用样本估计总体，扇形统计图，根据扇形统计图求出样本中当地每天乘

坐出租车离开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可.

【详解】解：1.8x0—60%—15%—15%)=0.18(万人)=1800(人)；

故答案为：1800人.

16.2.5x109

【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于lx®?皮秒，再由该器件执行

•次擦写需要400皮秒列式求解即可.

【详解】解：1x1012+400=2.5x1()9,

,该器件一秒可以擦写2.5xKT次，

答案第5页，共18页

故答案为：2.5xl09.

17.述

33

【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的

性质可得0b=OE,设DF=DE=)n,则EF=DE+DF=2小，由菱形的性质得到

AB=AF=EF=2m,证明£)H=90°,利用勾股定理可得NO=后〃，据此可得答案.

【详解】解：•••£•关于直线力。的对称点为尸，

•••DF-DE»

设DF=DE=m,则EF=DE+DF=2〃］，

•••四边形力在8是菱形，

•••AB=AF=EF=2m,

•••四边形48CO是矩形，

:.ZADC-90。，

ZADF=180°-AADC=90°,

•••AD=JAF2-DF2=岛，

L

•••AB:AD=2m:y/3m=,

3

故答案为：”

3

18.36c或108c

【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如248C,

弦为4法8。时，此时/月8C恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆

外部时，即。。交/力叱的两边，截取的两条弦为/瓦。时・，进行求解即可.

【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如。。交N48C的两边，截取的两条弦为

AB.BC,此时。恰好是正五边形的一个内角，

答案第6页，共18页

A

（5-2）x180°

："ABC=——------=108°；

5

当角的顶点在圆外部，即。。交N/”的两边，截取的两条弦为力乙。。时，

,,,（5-2）x180°

则：NAED=NCDE=-——1-----=108°,

••"FED=NFDE=180°-108°=72°,

.­.ZF=180°-2x72°=36°;

综上：这个角的大小是36。或108。：

故答案为：36。或108。.

19.5

【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数箱的含义，先分母

有理化，计算分数指数基，绝对值，负整数指数暴，再合并即可.

4一2()5+|2一四+(£)

【详解】解：臼

4(V5-1)

—J20+\/5-2+8

(V5+l)(V5-I)

=>/5—1—2^5+>/5—2+8

20.x=5

【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即

可得到答案.

x-322

【详解】解:

x—2-3x+2x-\

方差两边同时乘以（x-2）（x-l）得：（万一3）。,1）-2=2（4-2）,

去括号得：X2-3X-X+3-2=2X-4,

移项，合并同类项得：x2-6x+5=0,

答案第7页，共18页

.­.（x-l）（x-5）=0,

.,•x-l=0s£x-5=0,

解得x=l或x=5,

检验，当x=l时，x-l=D,此时x=l是原方程的增根，

当x=5时，（X-2）（X-1）=12H0,此时x=5是原方程的解，

原方程的解为x=5.

21.（））^=40x+80（0<x<3）

⑵32c

【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是

解题的关键.

（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式.再求出函数值为200时白变量的值即可求出

定义域；

（2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可.

【详解】（1）解：设N关于x的函数解析式为区+可〃工0）,

/、/、/、（2%+力=160

把（0,80）,（2,160）代入》=依+可〃工0）中得6=8（），

4=40

16=80，

・•.）'关于X的函数解析式为y=4（）x+80,

当J,=40X+80=200时，x=3,

0<x<3；

（2）解；由（1）可得当y=200时，x=3,

二加满水时，x=3,

20x4-10020x3+100一

:.t=-----------=----------------=32

x+23+2

答：当水加满时，储水装置内水的温度为32c.

22.（l）8C=3a

（2）见解析

【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识：

答案第8页，共18页

(1)过点、D作DHd.BC于H,则由等腰三角形的性质得bC=2可；证明四边形48HQ是

矩形，则有=力。=〃；再由旋转知8尸=力。=”，则可求得F"的长，最后求得结果：

(2)连接QV,把△△力V。通过平移变换，再轴对称变换得到ANPG,则4NOG为满足条件

的等腰三角形.

【详解】(1)解：如图，过点。作。“1BC于，，

•:DF=DC,

:.FC=2FH-

vAD//BC,ABLBC,

=180°-ZJ5C=90°.

Z.A=AABC=Z.DHB=90°,

二四边形力片"。是矩形，

:.BH=AD=a：

由旋转知8/=力。=4,

/.FH=BH+BF=2a,

:.FC=2FH=Aa,

•••BC=FC-FB=4a-a=3a；

(1)

(2)解：如图(2),连接0MA〃，把△A/N0沿MP平移使M与P对应，得到APG”；

再把APG，沿。G对折，得到ANOG,〃与N是对应点，则aNOG是等腰三角形，其中两腰

分别为N。，NG,点N、0分别是梯形的顶点.

(2)

23.(1)见解析

答案第9页，共18页

(2)见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角

形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.

(1)连接。C,OD,由等边对等角得到=利用SAS证明厂,

得到尸，证明△OE尸s△。力8,得到=则可证明

(2)连接ODBD,由々=而，得至lj4O8=N8OO,AB=BD,证明

△408g△BOQ(SAS),得到NO8O=NO48,则可证明NOA4=/8FQ,进而证明

△OABsADBF,推出力私八/二^^^'再证明/力用=/。^/〜得到8。二。/，则可

证明/炉=。孔8".

【详解】(1)证明：如图所示，连接OC,0D,

•：OC=OD,

:.乙0CD=40DC,

在△OCE和△OO产中，

OC=OD

•NOCE=NODF,

CE=DF

.•.△0C石空aO。尸(SAS),

OE=OF,

•：OA=OB,

OEOF

：'~OA~'OB，

又•••NEOF=ZAOB,

:•△OEFS^OAB,

："OEF=/OAB,

:.AB，CD：

答案第10页，共18页

BD，

=俞，

Z.AOB=Z.BOD,AB=BD,

又,：OA=OB=OD,

.•."O6-8OO（SAS）,

,•"OBD=/OAB；

由（1）可得,4B〃CO,

；"OFE=/OBA,

又・：/OFE=/BFD,

：.NOBA=NBFD,

:.△OABs^DBF,

OBAB

二---=---,

DFBF

:.ABDF=OBBF；

•：OA=OB,

Z.OAB=NOBA,

:./DFB=/DBF,

•••BD=DF,

•••DF=AB,

答案第11页，共18页

--AB1=OBBF.

24.⑴8=T,c=4

⑵①3；②噂或|.

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）①先把抛物线y=V-4x+4的解析式化为顶点式求出点P坐标，再求出点。坐标；把

点力和点4坐标代入y=ax2++〃（a工1）中可得抛物线y=ax2+mx+〃ew1）的解析式为

据此可求出点。和点。的坐标，再表示出CD即可得到答

案；

②可证明P0〃N轴，即尸。〃8,则当四边形COP。是直角梯形时，只有P。，。。或

PQ-LDP,据此画出对应的示意图，讨论求解即可.

【详解】（1）解：•••抛物线y=/+bx+c过月（1,1）,8（3,1）,

1+6+c=1

9+3力+c=1'

b=-4

二V45

c=4

（2）解：①由（1）得抛物线y=/+&+c得解析式为》=/一41+4=（X-2）2,

二点P的坐标为（2,0）,

在y=x2—4x+4中，当x=0时，y=4,

二点。的坐标为（0,4）；

•••抛物线），=。/+掰x+"（awl）过点A,B,

a+〃?+〃=1

[9a+3ni+n=1'

m=-4a

〃=3a+1'

2

.，・抛物线y=ax+mx+〃（aw1）的解析式为y=ad-4QX+3。+1（a工1）,

答案第12页，共18页

•••抛物线y=a/—4aI+3〃+1/1）的对称轴为直线x=-券=2,

在y=加-4。工+3a+1（。=1）中，当工=2时，y=4a-8a+3a+l=-a+l,

当x=0时，y=3a+1,

.•.Q（0,3a+l）,0（2,-a+1）,

.•<0=|3〃+1-4|=|3〃-3|=3|〃-||,PQ=\-n+]-（｝\=\a-\\,

CD_3\a-]\_

：'~PQ~|^-i|~；

②・.・0（2,31）,尸（2,0）,

••.PQ〃y轴，即PQ〃C。，

・••当四边形COP。是直角梯形时，只有尸。_hC。或

:.-a+1=4,

•••a=-3,

:.3。+1=-8,

・•・。（0,-8）,

•••OD=8,

vP（2,0）,

答案第13页，共18页

：.0P=2,

在Rt△。尸。中，PD=JoD2+OP?=J4+22=2717,

.”。。人"一=姮;

PD2V1717

"(2,0),。(0,34+1),

3。+1=0,

1

a---,

।4

~ci+1=一

3

(4、

，。2,-:

/

如图所示，过点。作轴于兄则"(og)，

48

：.CH=4——=工QH=2,

33

在Rtac。”中，由勾股定理得欠Jc〃2+0〃2=J(|J

S吟

•—QH23

sinZ.HCQ=--=-777="

••C0105.

3

综上所述，当四边形。。尸。是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为近或"

175

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求角的正弦值，二次函数的性质，二次函数与

答案第14页，共18页

几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

2

25.⑴①见解析；②行

(2)AF=5币+6

2

【分析】(1)①延长"54B交于H,可证明会/(AAS),得到

EH=EF,/H=/CFE,则可证明力E=£77,得到/，=/84七，则N84E=NCbE；

②如图所示，延长8兄力。交于M,由平行四边形的性质得到力。〃8。，AD=BC,证明

BEGE_BGBC_BF_CF

YBEG3MAG,^BCF^MDF,得至lj=1,则

AMAGGMDMMFDF

BF=MF,BC=DM；设CE=BE=m,则8C=OM=2〃？，AM=AD+DM=4m,进而

GEBGBE1_.^BG2_^._GE

==—-=-,即pn可得5到||二=:；可证明-------------C-F-fc--下一二，

AGMGAM4GF3§△哂S4GFA4G4

沁二期二白，设$上=4”，则S）GL"，SMG=6〃，则S—=£，据此可得答案

'△AFG7032

(2)延长4。，EF交于M,由平行四边形的性质可得/1O〃8C,CD=AB=3,证明

ECEFCF

△AEFS、ME4,4AEFS4ECF,再证明△EC/S'MW,得到一^_==,求出

DMFMDr

DF=CD—CF=2,设CE=s,月？=/,则由相似三角形的性质可得=AF=t2,

DM=2s,FM=2/,进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由"EFs^MEA,得到

i_st

'=/-='一，贝""'+”2，解方程即可得到答案.

stf+2/5+2ssi_厂

7+2/5+2.s

【详解】（1）解：①如图所示，延长M，4B交于H,

•••四边形48CQ是平行