2025人教B版高一（上）期末数学汇编：对数与对数函数（非选择题）

2025北京高一（上）期末数学汇编

对数与对数函数（人教B版）（非选择题）

一、填空题

1.（2025北京丰台高一上期末）函数"x）=lg（x-l）的定义域为.

2.（2025北京延庆高一上期末）已知log,“=唾256=2百，则lg（M）的值为______.

3.（2025北京密云高一上期末）如图，太极图通常被描绘为一个圆形图案，中间有一条S形曲线将圆形图

案分为两部分，体现了数学的“对称美”.已知。为坐标原点，若函数“X）的图象将圆。的圆周二等分，并

且将这个圆及其内部分成面积相等的两部分，则记“X）为圆。的一个“太极函数”.给出下列四个结论：

①对于圆。，它的“太极函数”有无数个；

②函数〃尤）=[5fX,是圆。的一个“太极函数”；

[x+x,x<0,

③函数/（工）=9-3%是圆。的一个“太极函数”；

④函数〃x）=ln（J、+l+x）是圆。的一个“太极函数”.

其中所有正确结论的序号是.

4.（2025北京密云高一上期末）计算：.Ig5+lg2+log39=.（用数字作答）

5.（2025北京房山高一上期末）据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：

我想在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上22颗麦粒，在

第4个格子里放上23颗麦粒，L,每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个

格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为264一1.你认为IO】。，io"，IO?。，io%四个数中

与264-1最接近的是.（参考数据：lg2#0.3010）

6.（2025北京房山高一上期末）函数/*）=云1+坨（5-0的定义域为.

7.（2025北京海淀高一上期末）函数=其中[0表示不超过。的最大整数.给出下列四个结论:

①/（x）的定义域为（-*0）U（0,+◎；

②方程〃x）=l没有实数根；

③函数g（x）=/（x）-2Inx的值域为（-In2,0]；

④存在实数f,使得当再,3e（0,+oo）且/（再）=/（々）=/时，都有丁

其中所有正确结论的序号是.

'2x-l,x<0

8.（2025北京二中高一上期末）设函数/（x）=1,则/'（/（-4））=__________；若/⑺"，贝！I

x^,x>0

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log।r+i）的最大值为.

2

9.（2025北京大兴高一上期末）已知lga=-lgb,则湖=,6的最小值为.

10.（2025北京西城高一上期末）给定函数〃x）.若曲线>=/（尤）上任意一点尸（x/）的坐标满足|引《忖，

则称函数f（x）具有“线性控制”性质.给出下列四个函数：

①〃x）=；x；②〃x）=6;

③=（X>0）；@/（x）=lg（-x）（x<-l）

其中具有“线性控制，，性质的函数的序号是.

11.（2025北京四中高一上期末）函数〃》）=」+log2（5x-/）的定义域是.

12.（2025北京朝阳高一上期末）函数/（》）=出（1+无）的定义域是.

/、1（2—4a）/+a,x<1

13.（2025北京清华附中高一上期末）已知函数/（x）=\,a>0且

[lnx,x>1

（I）a时，函数/（X）的最小值为；

（2）若函数/（x）的值域为R,那么实数。的取值范围是.

14.（2025北京顺义高一上期末）函数〃x）=4+lg（2-x）的定义域是.

二、解答题

15.（2025北京顺义高一上期末）已知函数〃x）=log2（l+x）+“og2（l-x）,且函数是奇函数.

（1）求实数f的值；

（2）设函数g（x）=",判断函数g（x）在区间（0,1）上的单调性，并证明你的判断；

（3）设函数/（x）=/（x）-1+；,写出函数尸（x）的零点个数.（结论不要求证明）

16.（2025北京清华附中高一上期末）已知函数〃x）=|log国（。>0,。工1）.

（1）若/（2）=；,求实数。的值；

⑵若0<西<々，且/（演）=/（9），求王超的值；

（3）若函数在；,3的最大值与最小值之和为1,求实数。的值.

17.（2025北京丰台高一上期末）已知函数/（x）=log2kl.

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(1)判断/(尤)的奇偶性,并证明；

(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出/⑺的图象，并写出f(x)的单调区间；

(3)求不等式的解集.

18.(2025北京延庆高一上期末)计算下列各式的值或简化下列各式：

(I)log28+log31+lg5+lg20；

55

(2)e%+log2(4x2)+log169+log278；

_2]_

5x卬，

(3)11_L；

一4心.(_5沁4)

6

m+m~'+2

(4)~~.

m2+m2

19.(2025北京延庆高一上期末)已知函数〃尤)=lg(x+D.

⑴求函数〃x)的定义域、值域；

(2)判断“X)的反函数是否存在，如果不存在，说明理由；如果存在，求出反函数的解析式;

(3)如果/(2机)</(%+2),求正的取值范围；

(4)令g(x)=/(10')+2ax,已知g(x)是偶函数，求。的值.

20.(2025北京西城高一上期末)已知函数/河=1"2(2-刈+题2(1+苫).

⑴求“X)的定义域；

⑵求不等式“X)VI的解集.

21.(2025北京房山高一上期末)已知函数/(》)的定义域为R,对任意实数见"eR,都有

f(m+n)=f{m)-f{n),且当x>0时，0</(x)<1.

⑴求”0);

(2)证明：当x<0时，/(%)>!；

⑶当/(lg(『-2a-3))>l时，求实数。的取值范围.

22.(2025北京石景山高一上期末)已知函数/(x)=ln(3+x)+ln(3-x).

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⑴求函数/(X)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性；

(3)求证:/(x)在(0,3)是减函数.

23.(2025北京四中高一上期末)已知函数/(x)=log4(x+2),g(x)=log2x.

⑴当f(x)>g(x)时，求x的取值范围；

⑵若函数y=g(s)-g］£|在［1,8］上的最大值为6,求实数冽的值；

(3)通过软件作图发现，当xe(TO)时，y(x)<x+l<g(x+2).试利用上述结论证明：

24.(2025北京首师大附中高一上期末)已知函数/(x)=ln(2-x)+ln(2+x).

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断/(x)奇偶性，并加以证明；

(3)若/(2加+I)<ln3,求实数加的取值范围.

25.(2025北京八中高一上期末)已知函数〃x)=log,匕?的图象关于原点对称，其中。为常数.

x-1

⑴求。的值；

(2)当xe［2,4］时，〃x)<log2(x+Q恒成立，求实数上的取值范围.

26.(2025北京房山高一上期末)已知函数/(x)=log2(--2无+。)的定义域是我.

(1)求实数。的取值范围；

(2)解关于x的不等式晨*"<±,

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参考答案

1.(1,+®)

【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域.

【详解】由题意得x-l>o,解得X>1,故函数定义域为(1,+8).

故答案为：。,+8)

2.4百

【分析】将对数式变成指数式，再根据指数、对数的运算性质求解即可.

【详解】因为唾4。=唾25方=2百，所以々=426,6=2523

所以仍=42/252£=10()26,

故怆(M)=坨100班=人1()4石=4百

故答案为：4G.

3.，1-3,4

【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.

【详解】①：圆。过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆。，其“太极

函数”不止1个，故①正确；

„,、x2-x(x>Q]

②：由于函数“X=2八，

x+x(x<0)

当％20时，一次<0,则/(—x)=x2—x=/(x),

当x<0时，-》>0,则/(一力=/+》=/卜)，故=12/一¥为偶函数，

JC+XIJC<U)

故根据对称性可知函数/(耳=[2+]\<0：不是圆口的一个“太极函数”，故②错误；

③：函数定义域为R,1(f)=f3+3x=_/a),也是奇函数，

故为圆O的一个“太极函数”，故③正确；

④：函数定义域为R,/(-x)=ln^Vx2+l-xj=ln「——=-ln(6+1-x)=-/⑺,故为奇函数，

故函数/(X)=ln(VZ71+x)是圆。的一个“太极函数”，故④正确.

故选：①③④

【点睛】方法点睛：

学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决

问题在新环境下研究旧性质主要是将新性质应用在旧”性质上，创造性地证明更新的性质.

4.23

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【分析】空一可利用分数指数塞的运算求解；空二利用对数的运算法则求解.

[详解]=(2-2『=2^=2'=2；

Ig5+lg2+log39=lg5x2+log33=lgl0+2=l+2=；

故答案为：2；3.

5.IO20

【分析】计算264的对数，比较可得答案.

【详解】Ig(264-l)«lg264=641g2,因为lg2=0.3010,所以1g啰,-1卜19.2659,

所以10%10%I。?。，os四个数中与264T最接近的是I。?。.

故答案为：10"

6.(3,5)

【分析】根据分母不为0,根号内要大于等于0且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得.

[x-3>0

【详解】由题可知，二八解得3<x<5.

[5-%>0

故答案为：(3,5),

7.②③④

【分析】举例说明判断①；解方程并结合函数的意义判断②；令[x2]=左eN*,结合单调性求出值域判断③;

取/=In左，左eN*,确定MJ2取值区间推理判断④即可得解.

【详解】对于①，当x时，[r]=0,函数“X)无意义，①错误；

对于②，由/(x)=l,得[x」=e,而[/]wZ,eeZ,因此方程/⑺=1没有实数根，②正确；

对于③，函数g(x)=ln[尤\-Inx?,令[无，=左©N*,贝！I后4工2<上+1,InA：<Inx2<ln(^+l),

In左一In(左+1)<ln[x21-Inx2<0,而In左一In(左+1)=In—^―=ln(l-----—),

k+\k+]

1~;随左的增大而增大，则1-1，21，ln(l-2In1,

因此-1112<皿/上出/40,函数g(x)=/(x)-21nx的值域为(-ln2,0],③正确；

对于④，取/=ln",4eN*,[x」=左eN*,k<x2<k+\由x>0,得五Wx<"+1，

-

令Xj,x2e[A^,Jk+1)，贝U|—遍l<Jk+]--\!k,由—~JkV2Q25'

得，^^+五\2025，而+五>2五，当2jF>2025,IX?t>1013\

此时Xi，%J斤+1),出上+1),[靖=[考]=左,

f(x0=f(x2)=\nk=t,都有区一务|<豕占，④正确，

所以所有正确结论的序号是②③④.

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故答案为：②③④

【点睛】关键点点睛：令［-］=左eN*,借助单调性是求出函数g(x)的关键.

8.V15-1

【分析】借助分段函数性质计算即可得空一;分区。及f>0计算可得/的范围，结合函数y=i°g2(x+i)的

2

单调性即可得解.

］__

【详解】/(/(-4))=/(2-(-4)-1)=/(15)=15^=JT；

若/V0,贝⑺=2-'-121,即2T22,即芯一1;

若看〉0,/⑺=.21，即

故三―1或年1,则，之1,

由y=logl(x+l)在定义域内单调递减，

2

故k>g।r+1)的最大值为bgia+1)=-1.

22

故答案为：V15；-1.

9.12

【分析】根据对数运算可解得斜的值，利用基本不等式可求。+方的最小值.

【详解】由题意，a>0,b>0,由lga=-lgb,得lga+lg6=0,即lga6=0,则.6=1；

由基本不等式得a+6W2疝=2,当且仅当。=6=1时，等号成立.

故答案为：1,2.

10.①④

【分析】对于①，直接利用题设定义，即可判断；对于②，由3-国=石(1一正),当0Vx<l时，］>此

即可判断；对于③，利用基本函数的图象与性质，在同一坐标系中作出y=x(x>0)和/ax(；］(x>o),

借助图象即可判断；对于④，在同一坐标系中作出y=r(xw-1)和/'(x)=lg(-x)(xV-l)的图象，数形结合,

即可求解.

1171

【详解】对于①，当〃x)=京时，因为回-闰=；国-国=-：忖区0恒成立，所以〃x)=?具有“线性控制”

性质，

对于②，当/(x)=6时，因为回-卜|=4-x=4(1-d),

当04x<l时，此时|引-国>0,即|4>恸,所以〃x)=&不具有“线性控制”性质，

对于③，令y=x(x20),在同一坐标系中作出y=x(x")和=(x20)的图象，

由图1知了=x(x»0)与=(尤20)相交于尸，不妨设点尸的横坐标为X。，易知当04x<x0时，

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所以当04x<x。时，回4国不成立，故〃x)=(x20)不具有“线性控制”性质,

对于④，令尸-x(x4-l),在同一坐标系中作出y=-x(x4-l)和/(x)=lg(-x)(xV-l)的图象，如图所示,

由图知，当xW-1时，f(x)=lg(-X)的图象恒在y=f下方，即1g(一x)<r=k|,

所以/(x)=lg(-x)(x<-1)具有“线性控制”性质，

【点晴】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据

此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，

透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万

变才是制胜法宝.

11.(O,3)u(3,5)

【分析】由分式，对数式可得函数定义域.

[x-3w0

【详解】由题，<，八=0"<3或3<x<5.

则函数/(x)=—^+1鸣(5》-巧的定义域是(0,32(3,5).

故答案为:(0,3)U(3,5)

12.(-1,+℃)

【分析】由对数的真数大于0,列式即可求其定义域.

【详解】由l+x>0得x>-l.

所以函数/'(x)=ln(l+无)的定义域是(T+s).

故答案为：(-1,+℃)

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13

13.0—<a<—

24

1(―V+—Y<1

【分析】(1)当。=；,/(X)=4',分别求出x<l和xNl时，函数值的范围，即可求出结果;

Inx,x>1

(2)因为xNl时，_y=lnx的值域为［0,+oo),从而得出(-8,0)是函数y=(2-4a/+a(x<l)值域的子集,

即可求出结果.

【详解】(1)当。=：,/(%)=<(4r+4，X<1,

「［inx9x>l

由解析式易知，当X<1时，/(X)单调递减，XN1时，〃尤)单调递增，

所以，当x<l时，/(x)当X之1时，/(x)>lnl=0,

442

故时，函数/(X)的最小值为0.

(2)因为x21时，>=lnx的值域为［0,+oo),

所以(-00,0)是函数y=(2-4a)罐+a(x<1)值域的子集，

2—4。<0

13

故0<。<1,解得—<“(—，

24

(2-4a)a+a>0

13

所以实数。的取值范围是

24

I3

故答案为：(1)0；(2)-<a<-.

24

14.［0,2)

【分析】根据函数定义域求法解决即可.

【详解】由题知,函数/(x)=V7+lg(2-x),

Ix>0

所以、八，解得04x<2,

［2—x>0

所以定义域为［0,2),

故答案为：［0,2)

15.(1"=一1

(2)函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，证明见解析

(3)2个零点

【分析】⑴根据奇函数定义，由〃-x)+/(x)=0,代入计算可求得蚱-1；

(2)利用函数单调性的定义证明函数的单调性；

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(3)借助函数奇偶性和单调性可得零点的个数.

1+x>0八

【详解】(1)令]_>0,解得所以函数/⑺的定义域为

由于函数/'(X)是奇函数，

所以函数f(x)在其定义域内满足/■(-x)+/'(x)=O,

贝I]log2(1-X)+40g2(1+X)+log2(l+x)+dog2(1-x)=0.

2

整理得：(1+Z)log2(l-X)=0,

注意到对任意的xe(-u)上式均成立，可得1+/=0,解得

(2)因为g(x)=F=4-1,可知函数g(x)在区间(0,1)上单调递增.

1—X1—X

证明如下(方法一)：

对任意国,X2€(°，1)，且王<龙2，

/、/、22222(x,-x?)

则g(xj-g(%)=^-----1-------H1=1---------=----「「

1—Xj1—%21—Xj1-X[Q—X])Q—4)

因为0<再<工2<L1—石>0,1-X2〉0,玉一工2<°,

可得g(xJ-g(X2)<0,即g(xj<g(%2)

所以函数g@)在区间(0,1)上单调递增.

证明单调性(方法二)：

对任意国,尤2€(0,1),且玉<%,

1—X]1_%2

_(+再)(1一%2)一(1+%2)(1一%)_2($一%)

(1一国)(1一%2)(1-X1)(1-X2)

因为0<石<工2<1/一项>0,1-x2>0,再一/<0,

可得g(xj-g(x2)<0，即g(Xl)<g(%2)，

所以函数g(')在区间(0」)上单调递增.

(3)由题意得尸(x)=log2(1+x)—log2(1—X)---1--=log2--------F—,

x21—xx2

1丫

根据第(2)小问得/(无)=log2产在区间(0,1)上单调递增,

L-X

又函数了=-工+工在区间(o,l)上单调递增，所以尸(X)在区间(0,1)上单调递增,

x2

当V时，F

log23--=log2V9-log2V8>0,

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当X=§时，F

根据零点存在定理得在区间(0,1)上存在一个零点,

同理可得在区间(-1,0)上存在一个零点,

所以函数尸(x)有2个零点.

16.(1)Q=4或。=“

⑵1；

(3)a=—或a=V3

3

【分析】(1)代入直接求解；

(2)计算可知log。(再工2)=0，由此得石工2=知

(3)分析得函数“X)在［；,3］上最大值是2,分类讨论可求解.

【详解】⑴由题意|bg"2|=；1,所以Ioga2=：1或叫.2=-15,解得.=4或0=1

(2)由题意llog.XikllogMzI,又0<玉<工2，且y=log“X在(0,+°°)上单调，

所以log.再+bg.x2=0,即log”(再z)=0,所以石工2=1；

(3)显然x=l时，/(x)=|log“x|取得最小值0,则函数〃x)在耳,3］上的最大值是2,

由(2)可知/(］)=/(2),

由对数函数性质知/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以〃2)</(3),

所以〃3)=|k)g“3卜2,解得.=6或q=

17.(l)/(x)是偶函数，证明见解析

(2)答案见解析，单调递增区间为(0,+8),单调递减区间为(-8,0).

(3){x|x<-16或x>16}.

【分析】(1)运用奇偶性定义证明即可；

(2)运用函数图象反正变换画图，写出单调区间即可；

(3)运用对数函数单调性，结合绝对值不等式知识计算即可.

【详解】(1)/(无)是偶函数，证明如下：

由已知，得/'(X)的定义域为卜卜片0},关于原点对称.

因为Vxe{x|xwo},者|3有_丫€卜,40},

且/(r)=iog2ri=iog2kl,

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所以/(一无)=/(力，故/(X)是偶函数.

(2)/(力的图象如下图所示.

/(%)的单调递增区间为(0,+8)，单调递减区间为(-8,0).

所以Iog2|x|>log216.

因为y=log2x在区间(0,+8)上单调递增，

且国>0,16>0,所以国>16,

解得x<-16,或x〉16,

故/(x)〉4的解集为%<-16或、〉16}.

18.(1)4；

311、

(2)-+-10§23+**610§32；

3-

(3)-/；

11

⑷加3+加？■

【分析】(1)(2)利用对数运算性质及换底公式化简计算.

(3)(4)利用指数塞的运算法则计算即得.

312

【详解】(1)log28+log31+1g5+1g20=log22+log33-+1g10=3-1+2=4.

In-A<1i<

28

(2)e+log2(4x2)+log169+log27=-+iog22

3+log32UQ+mlogz3+log32.

2]_

UR?o2..111,1.1

5x3/23-3-(-1)—2-2-(-4)34

(3)------15工」丁俨二^俨

-4x~ly^•(——iy%)一

6

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(4)加+"/+2_(加2+加2)2_gJ

m1+m2m2+m2

19.(1)定义域为(-1,+s),值域为R；

(2)存在，理由见解析，>=10*-1；

⑶(-(，2)；

1

(4)-“

【分析】(1)利用对数函数求出定义域及值域.

(2)确定/(x)单调性，结合反函数定义判断并求出解析式.

(3)由单调性解不等式.

(4)利用偶函数的定义求出参数值.

【详解】(1)函数/'(x)=lg(x+D有意义，则x+l>0,解得x>-l,

所以函数〃x)的定义域为(-1,+与，值域为R.

(2)函数/(x)存在反函数，

函数/(x)在(T,+8)上单调递增，对每个函数值V,都有唯一自变量x与之对应，因此“X)存在反函数,

由y=lg(x+l),得x+l=10‘*尤=10丫一1，所以/(x)的反函数为y=10，-l.

(3)函数/(x)在(一1,+⑹上单调递增，由/(2加)</(加+2),得一1<2加<切+2,解得一:〈根<2,

所以机的取值范围是(-,，2).

2

(4)依题意，g(x)=lg(10r+l)+2ax,其定义域为R,

由g(x)是偶函数，得g(x)-g(-x)=0,贝！IlgQO*+l)+2ax-lg(l(T*+l)+2ax=0,

11_

整理得4ox=lg(l(r+1)一]g(io、+i)=|g―.一=igi(r=f,而X不恒为0,

10r+l

所以4a=—1,即。=—.

4

20.(1)(-1,2)；

(2)(-1,0]31,2)

【分析】(1)利用对数函数定义列出不等式求出定义域.

(2)利用对数函数单调性，结合对数运算求解不等式.

f2-x>0

【详解】(1)函数〃x)=log2(2-x)+log2(l+x)有意义，则，八，解得T<x<2,

所以函数的定义域为(-1,2).

[―1<x<2

⑵不等式/(x”lolog。-x)+log2(l+x”lo

^log2[(2-x)(l+x)]<log22

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—1<x<2—1<x<2

则,即Y。,解得一IX。或1"<2,

2+x-x92<2

所以原不等式的解集为(T,0]u[l,2).

21.⑴/(0)=1

(2)证明见解析

(3)1-V?<67<-1或3<1+石

【分析】(1)令加=1,"=0,由己知等式可得”0)；

(2)设x<0,由题意可得/(-%+x)=/(-%)•f(x),则得/(-%)-/(x)=1,再结合0<)<1,可得/(x)>1；

(3)原不等式等价于/(lg(/-2-3))>〃0),利用单调性可得即可求得实数。的取值范

[a--2a-3>0

围.

【详解】(1)因为函数/(无)的定义域为R,对任意实数见”都有/(加+〃)=/(加)•/(〃)，

且当x>0时，0</(x)<1,

所以当加=1,〃=0时,/(1+0)=/(1)./(0),即〃1)=/⑴4(0),

所以"0)=1.

(2)因为当x<0时，r>0,所以/(-x+x)=/(-x>/(x),

即/(r)./(%)=/(0),由⑴知,/(0)=1,

所以/(T>/(X)=1,

]

所以〃x)=7(^)

因为-x>0,所以0</(-x)<l,

所以3)=房＞].

(3)任取再,XzWR,且不<工2，

贝1]/(王)一/(%)=/((王一X2)+9)一f(x2)=f(xl-x2)/(X2)-fg)=[/(^-%2)-1]/(^2),

由已知条件及(1),(2)可知，/(x2)>0.

又因为尤1<%2，所以玉-%<0.所以/(占-工2)>1，

所以/(再-尤2)T>°.所以[/(^-%2)-l]/(x2)>0,

所以/&)>/(%),

所以函数“X)的是R上的减函数，

当_2a-3))>1时,不等式转化为f(lg(a2-2a-3))>/(0).

因为函数〃x)的是R上的减函数，

所以不等式/(lg(a2-2a-3))>/(0)转化为

|lg(a2-2a-3)<0fa2-2fl-3<lJ1-V5<a<l+^

P,

V-2«-3>0'p-2a-3>0解信。〈一1或a〉3

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所以实数。的取值范围是1-石<a<-1或3<。<1+6.

【点睛】关键点点睛：(3)原不等式等价于，lg(1—2a-3))>/(0),利用函数/(%)单调性转化成

lg(Q?-2〃-3)<0

,进行求解.

/—2a—3>0

22.(1)(-3,3)

⑵偶函数.

(3)证明见解析

【分析】(1)根据对数型函数的定义域即可求解定义域;

(2)根据奇偶性的定义即可判断奇偶性.

(3)根据函数单调性的定义证明即可.

、,f3+x>0

【详解】⑴由题意知：、C，解得-3<x<3,

[3-x>0

所以/(x)的定义域为(-3,3).

(2)由(1)知/(x)的定义域为(-3,3),

VXG(-3,3),-XG(-3,3).

/(-x)=ln(3一%)+ln(3+x)=/(x),

所以/(x)是偶函数.

(3)对于"再,工2£(°，3),且再<%2,

/(西)-f(x2)=ln(3+再)+ln(3—占)一[ln(3+x2)+ln(3-x2)]

9_2

=ln(9-x：)-ln(9-)=Inx

因为0<玉<々<3,所以0V%；<¥<9,

9-Y2

所以9-才>9-君>0,即箕±1，

2

9-x

所以gp/(%,)-/(%,)>0,/(xj>/(x2),

所以函数〃x)在(0,3)是减函数.

23.⑴(0,2)

⑵：或1

(3)证明见解析

【分析】(1)根据对数函数的单调性和定义域解对数不等式；

(2)将问题转化为y=r+(log2〃Ll"Tog2机在0V/V3上的最大值为6,进而可得;

(3)利用/'(x)<x+l<g(x+2),分别赋值x=-0.9,x=-0.8即可证.

【详解】(1)由题意函数/(无)的定义域为(-2,+“)，g(x)的定义域为(0,+珠),

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由/(X)>g(无)得10g4(x+2)>log2x=log",

故x+2>x，得—l<x<2,

又x>0,故x的取值范围为(0,2).

xlog(mx)-log1

(2)y=g[mx)-g22=(log,m+log2x)(log2x-1)

设f=log2X,因故04/43,

2

则y=(log2m+=t+(log2m-l)/-log2m,

当_bg2；T<g,即加〉:时，当才=3时，取得最大值6,故(log2加+3)(3-1)=6,得加=1,

当即0<加<：时，当,=0时，取得最大值6,故(log?机+0乂。-1)=6,得%=£，

故实数机的值为Jy或L

64

(3)当xe(-l,0)时，/(X)<尤+l<g(x+2).试利用上述结论证明：1,1<202<1.2,

/(X)=