2026年高考数学一轮复习：常用逻辑用语（讲义）解析版

专题1.2常用逻辑用语(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型I充分条件与必要条件的判断】.................................................................3

【题型2根据充分条件、必要条件求参数】............................................................4

【题型3全称量词命题与存在量词命题的真假】.......................................................5

【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】.......................................................6

【题型5根据命题的真假求参数】.....................................................................7

【题型6常用逻辑用语与集合综合】...................................................................9

1、常用逻辑用语

考点要求真题统计考情分析

常用逻辑用语是高考数学的重要考点，

从近几年高考情况来看，常用逻辑用语

(1)必要条件、充分条件、2022年天津卷：第2题，5分

较少单独命题考查，偶尔以已知条件的

充要条件2023年新高考I卷：第7题，

形式出现在其他考点的题目中，难度不

(2)全称量词与存在量词5分

大.重点关注以下两点：①集合与充分、

(3)全称量词命题与存在2024年新课标H卷：第2题，

必要条件相结合的问题的求解；②命题

量词命题的否定5分

的否定和全称量词命题与存在量词命题

的真假判断.

知识梳理

知识点1常用逻辑用语

1.充分条件与必要条件

命题真假“若P，则q”是真命题”若P，则4”是假命题

由条件〃不能推出结论小

推出关系及由〃通过推理可得出外

符号表示记作：p=q记作：p#q

p是q的充分条件〃不是夕的充a条件

条件关系

g是p的必要条件夕不是〃的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

2.充要条件

如果“若p,则和它的逆命题“若夕，则均是真命题，即既有夕=外乂有q=p,记作〃oc/.此时p

既是q的充分条件，也是q的必要条件.我们说〃是q的充分必要条件，简称为充要条件.

如果p是夕的充要条件，那么夕也是p的充要条件，即如果pog,那么p与g互为充要条件.

3.全称量词与全称量词命题

全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号V

全称量词

含有全称量词的命题

命题

“对M中任意一个x,有p(x)成立“，可用符号简记为

形式

4.存在量词与存在量词命题

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示3

存在量词

含有存在量词的命题

命题

“存在M中的一个x,使p(x)成立"可用符号简记为

形式

"□.x-e,w,p(xr

5.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)全称量词命题p：VxGM,p(x)的否定：Bx^M,「p(x)；全称量词命题的否定是衣在量逅I命题.

(2)存在量词命题p：p(x)的否定：VAGM,」p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题.

【方法技巧与总结】

1.从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件

设,4={x|p(x)},5={x|g(x)}.

(1)若力则〃是g的充金条件(〃=>q)，夕是〃的必要条件：若力B,则〃是q的充分丕必要条件,

q是p的必要不充分条件,即〃nq且q4p：

⑵若则〃是q的必要条件，g是p的充分条件：

(3)若力=4,则〃与夕互为充要条件.

2.全称量词命题与存在量词命题的真假判断

（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合A1中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合〃中的一个xo,使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个xo使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

举一反三

【题型1充分条件与必要条件的判断】

【例1】（2025•天津滨海新•三模）已知a、bWR,则“aLb”是a2Hb2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】求出a2Hb2的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【解答过程】由a2Hb2可得。工。且a/—b,

因为“Q**b且ab”,七丰b"u“a*b且ab”,

因此，“a*b”是“出丰房”的必要不充分条件

故选：B.

【变式1-1］（2025•陕西渭南•三模）设£R,则“孙>0”是比2+y2>。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即又判断.

【解答过程】由孙>0可知x>0,y>0或xVO,y<0,此时％2+y2>（）,

即%y>0"="％2+,2>0，，；

但当％2+y2>0时，取无=1,y=0,此时孙=0,

即什2+y2>0">0”，

综上所述，“孙>0”是+/>0”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1・2】（2025,河南・模拟预测）己知集合4={%|3a>-2W0},则使得“1WA且2£A”成立的一个充

分不必要条件是（）

12121

A.-<a<-B.a<0C.~<n<-D.（1~>-

33333

【解题思路】当1W4且2c力时求出Q的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.

【解答过程】由题可知1"且2c4=像二打；，解得gvaq,

所以使得“1€4且2c4”成立的一个充分不必要条件是集合{a£<a4：}的一个真子集,

因为只有选项A中的{a*<aV|}是{*V0工|}的真子集，

故选：A.

【变式1-3]（2025•天津河东•二模）已知XWR,命题p：炉工1,命题/团H1,则〃是夕的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分乂不必要条件

（解题思路】由命题间的必要不充分条件判断即可.

【解答过程】命题p：%3不1即工/1,

命题q：|x|丰1即%:#±1,

所以命题q能推出命题p,而命题p不能推出命题q,

所以〃是q的必要不充分条件.

故选：C.

【题型2根据充分条件、必要条件求参数】

[例2]（2025•吉林延边•一模）若的充分不必要条件是“0<x<1"，则实数m的取值范围是（）

A.?n<0B.TH<0C.in>0D.m>0

【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数m的取值范围.

【解答过程】Ftl"%>?n"的充分不必要条件是"0<x<1",

得卜[0<x<l}c{x\x>m],但"10<x<l}^{x\x>m},

所以m<0.

故选：B.

【变式2-1]（2025•山东济南•二模）已知力=（川1VuV2},B={%|%Va},若€A”是“x£B”的充分不必

要条件，则a的取值范闱是（）

A.a<1B.a>1C.a<2D.a>2

【解题思路】利用充分不必要条件求参数，得到力G儿即可求解.

【解答过程】因为答EA”是“%€8”的充分不必要条件,所以4cB,所以a>2.

故选：D.

【变式2・2】（2025•山东泰安,模拟预测）已知p：x>a,q：|x+2a|<3,且p是q的必要不充分条件，则

实数a的取值范围是（）

A.(—8,—1|B.(—8,-1)C.[1>4-oo)D.(1,+oo)

【解题思路】利用绝对值不等式的解法化简q:-2a-3Vx<-2。+3,再由充分条件与必要条件的定义，

结合集合的包含关系列不等式求解即可.

【解答过程】因为q：|x+2a|<3,

所以q:-2a—3<%<—2a+3>

记乂=(x\—2a—3<x<—2a+3)；

p:x>af记为8={%|%Na}.

因为p是q的必要不充分条件，所以为$8,

所以a<—2a—3,解得a<—1.

故选：A.

【变式2-3](2025,江西萍乡•二模)集合4=3-1<%<2},8={万一2<X<叫，若％eB的充分条件

是x64则实数〃[的取值范围是()

A.(-1,2)B.[2,+oc)C.(-2,2]D.(2,+8)

【解题思路】根据题意人是8的子集，从而求解.

【解答过程】/I={x|-1<x<2},F={x|-2<%<m],

因为％68的充分条件是“€4所以4G8,

则m>2,

故选：B.

【题型3全称量词命题与存在量词命题的真假】

【例3】(2025•河北唐山•一模)已知命题p:V%€R,%2>0：命题q:mx>OJnxV0.则()

A.p和q都是真命题

B.p是假命题，q是真命题

C.p是真命题，q是假命题

D.p和q都是假命题

【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对「判断特称命题为真只需要举例说明.

【解答过程】对于命题p：VxeR*2>0,因为当无=0时，X2=0,故命题p是假命题：

对于命题q：>O,lnx<0,当％3时，ln^=-1<0,故命题q是真命题.

故选：B.

【变式3-1]（2025•河北秦皇岛•模拟预测）已知命题p:Vx€R,II-万41,命题q:儿>0,%2=%,则（）

A.p和q都是真命题B.」p和q都是真命题

C.p和-«q都是真命题D.-1P和1q都是真命题

【解题思路】判断出p、q的真假，即可得出结论.

【解答过程】对于命题P，不妨取x=3,则|1-3|>1,则命题p为假命题，

对于命题q,由=无可得%=0或％=1,则命题q为真命题，

因此，「p和q都是真命题.

故选：B.

【变式3-2]（2025•河北秦皇岛•模拟预测）已知命题p:Vx£R,|1-x|<1,命题q:三%>0,d=%,则（）

A.p和q都是真命题B.」p和q都是真命题

C.p和都是真命题D.「p和「q都是真命题

【解题思路】判断出p、q的真假，即可得出结论.

【解答过程】对于命题p,不妨取x=3,则则命题p为假命题，

对于命题q,由32=%可得%=0或％=I,则命题q为真命题，

因此，「p和q都是真命题.

故选：B.

【变式3-3]（2025•辽宁辽阳•二模）已知命题p:VxERN#+1>%,命题q:三3>0,返>/,则（）

A.p和q都是真命题B.-1P和q都是真命题

C.p和「q都是真命题D.「p和」q都是真命题

【解题思路】利用荷旧判断命题p的真假，举例说明，令％=今可判断命题q的真假性.

【解答过程】由7^中>必=田之心得p是真命题，「p是假命题；

当人=决寸，返=日,》2=：,则三]>0,〃>，，贝必是真命题，->q是假命题.

综上，p和q都是真命题.

故选：A.

【题型4全称量词命题与存在量词命题的否定】

【例4】（2025贵州黔东南三模）命题“以£氏工+闭工0”的否定是（）

A.BxeR,x+\x\>0B.3xR,x+|x|<0

C.VxeR,x+|x|<0D.3xeR,x+|x|<0

【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.

【解答过程】由全称量词命题的否定可知，

命题以eR,%+|x|>0的否定是北eR,%+|x|<0,

故选：D.

【变式4・1】(2025•甘肃白银•模拟预测)命题(0,2),2%-必之$皿一)”的否定是()

A.Vx0(0,2),2X-X2>sin(y)B.VxG(0,2),2x-x2<sin(y)

C.3x€(0,2),2x-x2<sir(y)D.3%^(0,2),2x-/zsin(薮)

【解题思路】根据全称量同命题否定的规律，改变量词否定结论，找出结果.

【解答过程】易得全称量词命题(0,2),2工一％2之4]](?)"的否定是存在量词命题与工£(0.2),2x

X2<Sin(y)»

故选:c.

【变式4-2](2025•云南•模拟预测)命题“VxW/?,/+%-520”的否定是()

2

A.VxG/?,X+X-5<0B.3X06R,XQ+x0-5<0

2

C.Vxx4-x-5<0D.3x0R,%§+x0—5<0

【解题思路】根据题意，由全称令题的否定是特称命题即可得到结果.

2

【解答过程】命题“Dx£R,x+x-5>0”的否定是叼X。£R.君+x0-5<0”.

故选：B.

【变式4-3](2025•湖南邵阳•二模)命题”〃>1,眇-2>0”的否定为()

A.Vx<1,ex-2>0B.Vx>1,ex-2<0

C.3x<l,ex-2>0D.3x>1,ex-2<0

【解题思路】根据全称量词命题的否定是特称量词，改量词否定结论即可.

【解答过程】命题"%>[，^-2>0”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.

所以命题e"-2>0”的否定为>1,ex-2<0M.

故选：D.

【题型5根据命题的真假求参数】

【例5】(2025・河北•模拟预测)若命题TxeR,x2+2x+a<0”为真命题，则。的取值范围是()

A.(—8,1]B.(—8,1)C.(—8,0]D.(—8,0)

【解题思路】根据存在性命题真假性可得ANO,运算求解即可.

【解答过程】若命题6R,x2+2x+a<0”为真命题，

则A=4-4aNO,解得QW1,

所以a的取值范围是（一co,l].

故选：A.

【变式5-1]（24-25高三下•江苏苏州•开学考试）若命题“VxER,必一2。工+6Q>0”是假命题，则。的取

值范围是（）

A.（0,6）B.（—co,0）U（6,+oo）

C.[0,6]D.（-8,0]U[6,+8）

【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得a的取值范围》

【解答过程】命题，％WR,%2-2w+6a>0”是假命题,

贝ij三xWR,x2—2ux+6u<0是其命题，

：.L=4a2-24a>0,

解得：a>6或a<0,

即a的范围是（一8,0]u[6,+co）.

故选：D.

【变式5-2]（25-26高一上•全国•单元测试）已知命题三勺G{x|-1<x<1},一瘾+3%（）+Q>0”为真命

题，则实数Q的取值范围是（）

A.{a\a<-2}B.{a\a<4}C.（a\a>-2}D.{a\a>4}

【解题思路】根据命题是真命题的意思求解即可.

【解答过程】因为命题F/e{x|-l<x<l）,-xl+3x0+a>0”为真命题，

所以命题叼孙G[x\-l<x<l）,a>XQ-3%o”为真命题,

所以%。W{%|-1W%W1}时，a>（焉一3x0）m.n.

2

因为y=/-3%=G一|）_2,

所以当％W{万一1W%W1}时，y„in=-2,此时％=1.

所以%0£3-1WxW1}时，Q>（就一3%o）min=-2,即实数a的取值范围是>一2}.

故选：C.

【变式5・3】（24-25高一上•江苏苏州•阶段练习）已知命题p:Vz£{x|lWxW2},都有好一。20,命题q：

存在&6/?,扉+2ax（）+2—a=。，若p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是（〉

A.{a\a<—2}B.{a\a<1}

C.{a|a4-2或。=1}D.{a|-2VaV1或a>1}

【解题思路】求得p为真命题，实数a的取值范围；q为真命题，实数a的取值范围；进而可得p与q全为真命

题时，实数a的取值范围，进而可得结论.

【解答过程】若P为真命题,则a£（，）min，又上€{刘1/义工2},所以（，）min=l，所以

若q为真命题，则g+2QX（）+2-Q=0有解，所以A=（2a）2一4x1x（2-a）20,

解得Q>1或a<-2,

所以p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{a|a工一2或。=1）,

所以p与q不全为真命题，则实数Q的取值范围是{a|-2Va<1或a>1}.

故选：D.

【题型6常用逻辑用语与集合综合】

【例6】（2025•广东茂名•二模）设集合力=W-5%+6V0},8={x|x>-2},则x£4是％W8的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据已知条件，推得A是B的真子集，即可判断.

【解答过程】•・•集合4=区-5%+6V0},B={x\x>-2},

：.A=\x\x>g},B={x\x>—2},

・•"是8的真子集，

•,•x64是％eB的充分不必要条件.

故选：A.

【变式6-1]（2025•甘肃兰州•一模）已知集合8={-1,0,1},8={1,2,3},以下判断正确的是（）

A.%€4是％€8的充分条件B.X€4CB是x68的既不充分也不必要条件

C.无EA是XEAU8的必要条件D.%£71~6是工£{1}的充要条件

【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误.

【解答过程】对于A,当％=-1时，成立，XW8不成立，所以％WA不是％W8的充分条件，故A错

误；

对于B,因为4={-1,0,1},8={1,2,3},所以4nB={1},

因为所以x=l,所以氏所以是B的充分条件，故B错误；

对于C,因为4={-1,0,1},B={1,2,3},所以HUB={-1,0,1,2,3},当％=2时，

XEAU8成立，但％E4不成立，所以％WA不是“WAU8的必要条件，故C错误；

对于D,因为力八8={1},xEACiB,所以％=1,所以工£{1},所以是工€{1}的充分条件，

由XE{1},可得％=1,所以％wanB,所以xwAn8是％w{1}的必要条件，

所以xw/nB是xe{l}的充要条件，故D正确.

故选：D.

【变式6-2]（24-25高一上•甘肃甘南期末）已知集合。={川。+14无<2Q+1},Q={x\-2<x<S].

⑴若a=4,求（CRP）AQ；

（2）若七GP”是“％GQ”的充分不必要条件，求实数a的取值范制

【解题思路】（1）当Q=4时，求出集合P,利用补集和交集的定义可求得集合（（：/）口（?；

（2）分析可知P是Q的真子集，分P=0、PH0两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数a的不

等式（组），综合可得出实数a的取值范围.

【解答过程】（1）当a=4时。，集合P={x|54无49},可得CRP={X|X<5或%>9},

因为Q=M-2<x<5],所以（CRP）nQ={x\-2<x<5].

（2）若“％€P”是“%€Q”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集,

当a+l>2a+l时，即a<0时.此时尸=0,满足P是Q的真子集；

（2a4-1>a+1

当PO0时，则满足|2a+1<5，解得0WQW2,

（a+1>-2

当a=0时，P={1},此时P是Q的真子集，合乎题意；

当a=2时，P={x|3<x<5},此时P是Q的真子集，合乎题意.

综上，实数a的取值范围为{a|aW2}.

【变式6-3]（24-25高一上•福建度门•阶段练习）设全集U=R,集合力={RlWxW5},集合8={%]-1一

2a<x<a-2].

（1）若“xG4”是"G8”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；

（2）若命题则XW/T是假命题，求实数a的取值范围.

【解题思路】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.

（2）将真命题转化成B是A的子集，然后分情况讨论集合8为空集和非空集合，即可求解.

【解答过程】（1）由题意可知：集合A是集合8的真子集，

因此已一乳曾或「1一乳管，解得—7,

（a—25（a—2>5

所以实数a的取值范围为{a[a>7）.

（2）若命题“V%WB,则4WA”是真命题,则有8£4

当5=0时，—1—2Q>Q—2,解得a<；•3，符合题意，因此aV；J：

当BH。时，而4={x|l<x<5}.B={x\—1-2a<x<a-2],

则1工一1-2QWQ-2W5,无解，

所以“VxEB,则4”是真命题，实数a的取值范围QV/

那B,则xw4”是假命题时，azg.

过关测试

一、单选题

1.（2025・辽宁•三模）"a>b”是七2>川”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题思路】举反例a=-Lb=-2和a=-2,b=-1可得出.

【解答过程】若a=-l,b=-2,则满足a>b,但不满足。2>力2,故无法得到次>反；

若。=一2,力=一1,则满足次>一,但不满足a>力，故a?>反无法得到。>6，

故"a>/是“a?>川”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

2.（2025・天津和平•三模）命题TxEN,/>i”的否定是（）

A.VxWN,x2<1B.VxGN,x2<1

C.VxWN,x2<1D.VxGN,x2<1

【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.

2M

【解答过程】命题叼xWN,炉>1”的否定是“v%N,x<lf

故选：D.

3.（2025・上海静安•模拟预测）“一2工0工2”是“忱+2|+优-2|-4"的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【住题思路】分类讨论求解反I2|I|x2|<4,即可判断.

【解答过程】当%>2时，|x+2|+|x-2|=x+2+x-2<4=>x<2,不成立；

当2时，|%+2|+|%—2|=-%—2—%+2W4=%之一2,不成立；

当一2WxW2时，|%+2|+忱-2|="+2+2-x=444,成立；

所以“一2W%W2”是“反+2|4-\x-2\<4”的充要条件.

故选：C.

4.（2025•甘肃•模拟预测）若命题p:V%>1,%2-3%+2>0,则（）

A.p是真命题，且-«p:>Lx2-3%+2W0

B.p是真命题，且->p:三%W1,%2—3x+2W0

C.p是假命题，且1,%2-3x+2W0

D.p是假命题，且「pTxWl/Z-Sx+ZWO

【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解•.

【解答过程】当％=：时，x2-3x+2=-^<0,

所以p是假命题，且-»p：mx>l,%2-3X+2W0.

故选：C.

5.（2025•吉林•模拟预测）已知命题p:V%WR,团>0,命题qFx>0,x3=x,则（）

A.p和q都是真命题B.p和->q都是真命题

C.-）p和q都是真命题D.ip和iq都是真命题

【解题思路】举出反例证明p为假命题，所以「p为真：找出实例证明q为真命题，所以「q为假：由此即可求

解.

【解答过程】对于命题p，x=0时，团=0,

所以p:Vx£R,|x|>0为假命题，「p为真命题，

对于命题q,x3=x,解得％=0,x=-1或x=1>0,

所以q：m%>0,x2=x,为真命题，iq为假命题，

所以-Ip和q都是真命题.

故选：C.

6.（2025•重庆•模拟预测）若4是8的充分不必要条件，8是C的充要条件，。是。的必要不充分条件，

则4是。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可;

【解答过程】若力是4的充分不必要条件，4是C的充要条件，。是。的必要不充分条件，

则,4是。的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7.(2025•湖北宜昌•二模)已知命题p:V%€R,II-汨41,命题qTx>0,%2>2X,则()

A.p和q都是真命题B.-ip和q都是真命题

C.p和-iq都是真命题D.-ip和->q都是真命题

【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.

【解答过程】对于命题P，不妨取》=3,则则命题p为假命题，

对于命题q,不妨取x=3,由9)8,则命题q为真命题，因此，和q都是真命题.

故选：D.

8.(2025•云南•模拟预测)已知命题：石％6(0,+«)),2产一欧+1v0”为假命题，则实数Q的取值范围

是()

A.(-oo,2V2]B.(-8,2]

C.(-a),l]D.(一吗

【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基

本不等式求解实数a的取值范围.

【解答过程】已知命题飞”6(0,+8),2%2一。％+1<0，，为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，

可知其否定“Vxe(0,+8),2必一以+120”为真命题.

由2工2—ax+1>0,xE(0,4-oo),移项可得QX<2x24-1,

因为％>0,两边同时除以％,得到aW2x+：在(0,+8)1二恒成立.

在2无+工中，因为无>0,所以2A•和L都是正实数，WO2x+->2l2x--=2V2f

xxxy]x

当且仅当2X=L即无=4时等号成立.

x2

因为Q<2%+：在(0,+8)上恒成立，所以a要小于等于+：的最小值2企，

即aW2衣，所以实数Q的取值范围是(一oo,2&].

实数Q的取值范围是(—8,2加].

故选：A.

二、多选题

9.（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.-->是“a<b”的充分不必要条件

ab

B.4n8=0.是4=。的必要不充分条件

C.若Q,b,cen,则“QC?>阮2”的充要条件是“a>b”

D.若a,bWR,则叱+b2H0，，是“⑷+依中0”的充要条件

【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解.

【解答过程】A选项：当Q=2,b=—2时，满足3但是不能推出a<b；

反之当。=-2,b=2时，满足Q<b,但是不能推a出b所以两者既不充分也不必要，故A错误：

B选项：当力={1},B=⑵,月Ci8=0,但是不能推出4=0

当力=00寸，4n8=0,故B正确；

C选项：当c=0时，不能由a>力推出川2>儿2,故C错误；

D选项：a2+b20等价于aH0,b00等价于|a|+|b|H0,故D正确；

故选：BD.

10.（2025•重庆•三模）命题”存在”>0,使得血/+2%一1>0，，为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.m>-2B.m>-1C.m>0D.m>1

【解题思路】根据题意，转化为存在％>0,设定血>手，利用二次函数的性质，求得上W的最小值为-1,

求得m的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.

【解答过程】由题意，存在％>0，使得mx2+2x-l>0,即犯>子=（»2-2x：=（：-1）2-1,

当工一1=0时，即x=l时，上装的最小值为一1,故巾>一1；

XX4

所以命题“存在”>0,使得m%2+2%-1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>-1}的真子集，

结合选项可得，C和D项符合条件.

故选：CD.

11.（2025・贵州安顺•模拟预测）已知集合A={ad},、={x|l<x<4},若“xeA”是“%eB”的充分条件,

则实数Q的取值可以是（）

A.1B.V2C.2D.4

【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即

可.

fl<a<4

【解答过程】由题意得1<a2<4,解得1<a42,则BC符合题意.

（aH/

故选：BC.

三、填空题

12.（2025・四川成都•模拟预测）已知命题p:V%ER,2X>1,则”是_力。€兄2出41、.

【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得.

【解答过程】［t|p：VxGR,2*>1可得：->9与％0£区2乂。工1.

x

故答案为:3x0eRt2^<1.

13.（2025•河北石家庄•三模）若命题p：Vx>0,X2-7X+6<0,则命题"的否定为三%>0,/-77+6>

【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量伺，否结论，可得答案.

【解答过程】命题p：Vx>0,必一7%+6W0的否定为：3x>0,X2-7X+6>0,

故答案为：Sx>0,—lx+6>0.

14.（2025•西藏拉萨•一模）已知命题：m?一1=（m+小2）%，，为真命题，则m的取值为「L.

【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可.

【解答过程】因为命题：“WrWR，77?-1=（m+m，）%，，为真命题，

即等式m2-1=（m+血2沈恒成立，

2

R|J（m-l=0

\m+?n2=0

解得m=-1,

故答案为：一1.

四、解答题

15.（25-26高一上•全国•课后作业）写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由.

（l）p:3%GR,x2=-1：

（2）p：不论TH取何实数，关于X的方程加2%2+%-1=0必有实数根：

（3）p：有的平行四边形的对角线相等；

（4）p：有些实数的绝对值是正数.

【解题思路】先求山命题的否定，再判断真假即可.

【解答过程】(1)因为p：三%€R,%2=-1,所以-ip：V%£R,%2户一1.

显然当％£R时，x2>0,x2^-1,所以命题p为假命题，p的否定为真命题.

(2)因为p：不论m取何实数，关于x的方程血2必+工一1=0必有实数根，所以」p：存在实数m,关于工

的方程Tn?/+x-l=O没有实数根.

当执=0时，方程％-1=0有实根；当mH0时，，方程Tnz%?+%-1=o的判别式&=1+47n2>o,故命

题&为真命题，命题P的否定为假命题.

(3)因为p：有的平行四边形的对角线相等，所以「p：所有平行四边形的对角线都不相等.命题p是真命题,

命题p的否定是假命题.

(4)因为p：有些实数的绝对值是正数，所以」p：所有实数的绝对值都不是正数.命题p为真命题，命题p

的否定是假命题.

16.(24-25高一上•四川绵阳•阶段练习)设p:实数%满足X2-2ax-3a2<0(a>0),q：实数a•满足0<0.

⑴若Q=l,且p,q都为其向潞，求”的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数Q的取值范围.

【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围，求交集即可.

(2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知q所代表的范围是p所代表的范围的真子集，列出不等式组，进

而即得.

【解答过程】(1)Q=1时，X2-2X-3<0,-1<x<3,

即p:-1VxV3,

由q得(％-4)(%-2)<0,解得2<%<4又q:2<x<4,

而p，q都为真命题，所以2Vx<3；

(2)a>0,x2—2ax—3a2<0<=>—a<x<